陜西省中考數(shù)學(xué) 專題跟蹤突破三 圓

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1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 圓 1．(2015河南)如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A，B重合的一個動點，延長BP到點C，使PC＝PB，D是AC的中點，連接PD，PO. (1)求證：△CDP≌△POB； (2)填空： ①若AB＝4，則四邊形AOPD的最大面積為__4__； ②連接OD，當(dāng)∠PBA的度數(shù)為__60__時，四邊形BPDO是菱形． 解：(1)∵PC＝PB，D是AC的中點，∴DP∥AB，∴DP＝AB，∠CPD＝∠PBO, ∵BO＝AB，∴DP＝BO，在△CDP與△POB中， ∴△CDP≌△POB(SAS)　(2)①當(dāng)四邊形AO

2、PD的AO邊上的高等于半徑時有最大面積， (42)(42)＝22＝4?、凇逥P∥AB，DP＝BO，∴四邊形BPDO是平行四邊形，∵四邊形BPDO是菱形，∴PB＝BO，∵PO＝BO，∴PB＝BO＝PO，∴△PBO是等邊三角形，∴∠PBA的度數(shù)為60 2.(2015青海)如圖，在△ABC中，∠B＝60，⊙O是△ABC的外接圓，過點A作⊙O的切線，交CO的延長線于點M，CM交⊙O于點D. (1)求證：AM＝AC； (2)若AC＝3，求MC的長． 解：(1)證明：連接OA，∵AM是⊙O的切線，∴∠OAM＝90，∵∠B＝60，∴∠AOC＝120，∵OA＝OC，∴

3、∠OCA＝∠OAC＝30，∴∠AOM＝60，∴∠M＝30，∴∠OCA＝∠M，∴AM＝AC　(2)作AG⊥CM于G，∵∠OCA＝30，AC＝3，∴AG＝，由勾股定理得，CG＝，則MC＝2CG＝3 3．(2015貴港)如圖，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，⊙O的切線BM與AO的延長線相交于點M，連接AC，CM. (1)若AB＝4，求的長；(結(jié)果保留π) (2)求證：四邊形ABMC是菱形． 解：(1)連接OB，∵OA＝OB，OE⊥AB，E為OD中點，∴OE＝OD＝OA, ∴在Rt△AOE中，∠OAB＝30，∠AOE＝60，∠AOB＝1

4、20， 設(shè)OA＝x，則OE＝x，AE＝x，∵AB＝4，∴AB＝2AE＝x＝4， 解得：x＝4，則的長l＝＝ (2)由(1)得∠OAB＝∠OBA＝30，∠BOM＝∠COM＝60，∠AMB＝30， ∴∠BAM＝∠BMA＝30，∴AB＝BM，∵BM為圓O的切線，∴OB⊥BM, 在△COM和△BOM中，∴△COM≌△BOM(SAS), ∴CM＝BM，∠CMO＝∠BMO＝30，∴CM＝AB, ∠CMO＝∠MAB，∴CM∥AB, ∴四邊形ABMC為菱形 4．(2015東營)已知在△ABC中，∠B＝90，以AB上的一點O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交AC于點D，交AB

5、于點E. (1)求證：ACAD＝ABAE； (2)如果BD是⊙O的切線，D是切點，E是OB的中點，當(dāng)BC＝2時，求AC的長． 解：(1)連接DE，∵AE是直徑，∴∠ADE＝90，∴∠ADE＝∠ABC，∵∠DAE＝∠BAC, ∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴ACAD＝ABAE　(2)連接OD，∵BD是⊙O的切線，∴OD⊥BD，在Rt△OBD中，OE＝BE＝OD，∴OB＝2OD，∴∠OBD＝30，同理∠BAC＝30，在Rt△ABC中，AC＝2BC＝22＝4 5．(2015河池)如圖，AB為⊙O的直徑，CO⊥AB于O，D在⊙O上，連接BD，CD，延長CD與AB的延長線交于E，F(xiàn)在

6、BE上，且FD＝FE. (1)求證：FD是⊙O的切線； (2)若AF＝8，tan∠BDF＝，求EF的長． 解：(1)連接OD，∵CO⊥AB，∴∠E＋∠C＝90，∵FE＝FD，OD＝OC，∴∠E＝∠FDE，∠C＝∠ODC，∴∠FDE＋∠ODC＝90，∴∠ODF＝90，∴OD⊥DF，∴FD是⊙O的切線　(2)連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90，∴∠A＋∠ABD＝90，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＋∠ODB＝90，∵∠BDF＋∠ODB＝90，∴∠A＝∠BDF，而∠DFB＝∠AFD，∴△FBD∽△FDA，∴＝， 在Rt△ABD中，tanA＝tan∠BDF＝＝，∴＝

7、，∴DF＝2，∴EF＝2 6．(2015恩施州)如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，過點O作OH⊥AB交圓于點H，點C是弧AH上異于A，B的動點，過點C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分別為D，E，過點C的直線交OA的延長線于點G，且∠GCD＝∠CED. (1)求證：GC是⊙O的切線； (2)求DE的長； (3)過點C作CF⊥DE于點F，若∠CED＝30，求CF的長． 解：(1)連接OC，交DE于M，如圖，∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH，∴∠DOE＝∠OEC＝∠ODC＝90，∴四邊形ODCE是矩形，∴∠DCE＝90，DE＝OC，MC＝MD，∴∠CED＋∠MDC＝90，

8、 ∠MDC＝∠MCD，∠GCD＝∠CED，∴∠GCD＋∠MCD＝90，即GC⊥OC，∴GC是⊙O的切線　(2)由(1)得，DE＝OC＝AB＝3　(3)∵∠DCE＝90，∠CED＝30，∴CE＝DEcos∠CED＝3＝，∴CF＝CE＝ 7．(2015廣元)如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦于點E，交⊙O于點F，且CE＝CB. (1)求證：BC是⊙O的切線； (2)連接AF，BF，求∠ABF的度數(shù)； (3)如果CD＝15，BE＝10，sinA＝，求⊙O的半徑． 解：(1)連接OB，∵OB＝OA，CE＝CB，∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC，

9、又∵CD⊥OA，∴∠A＋∠AED＝∠A＋∠CEB＝90，∴∠OBA＋∠ABC＝90，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切線　(2)連接OF，AF，BF，∵DA＝DO，CD⊥OA，∴AF＝OF，∵OA＝OF，∴△OAF是等邊三角形，∴∠AOF＝60，∴∠ABF＝∠AOF＝30　(3)過點C作CG⊥BE于G，∵CE＝CB，∴EG＝BE＝5，∵∠ADE＝∠CGE＝90，∠AED＝∠GEC，∴∠GCE＝∠A，∴sin∠ECG＝sinA＝，∴EC＝13，又∵CD＝15，∴DE＝2，在Rt△ECG中，∵CG＝＝12，△ADE∽△CGE，∴＝，∴AD＝＝，∴⊙O的半徑OA＝2AD＝ 8．(2015淄博)如圖，點

10、B，C是線段AD的三等分點，以BC為直徑作⊙O，點P是圓上異于B，C的任意一點，連接PA，PB，PC，PD. (1)當(dāng)PB＝PC時，求tan∠APB的值； (2)當(dāng)P是上異于B，C的任意一點時，求tan∠APBtan∠DPC的值． 解：(1)過點B作BE∥PC，與PA交于點E，∵AB＝BC，∴＝＝， ∴EB＝PC，∵PB＝PC，∴EB＝PB，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BPC＝90，∠PBE＝90，∴tan∠APB＝＝1　(2)過點A作AF∥PC，與PB的延長線交于點F，∵BC是⊙O的直徑， ∴∠BPC＝90，∠AFP＝90，在△ABF和△CBP中， ∴△ABF≌△CBP，∴BF＝BP，AF＝CP，∴tan∠APB＝＝，同理tan∠DPC＝，∴tan∠APBtan∠DPC＝＝，即tan∠APBtan∠DPC的值為