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1、▼▼▼2019屆數(shù)學中考復習資料▼▼▼
壓軸題
1.在半徑為R的半圓O內(nèi),畫出兩個正方形ABCD和正方形DEFG,使得A,D,E都在直線MN上,B,F(xiàn)都在半圓弧上.請你解答下列問題:
(1)如圖1,當C,G重合時,求兩個正方形的面積和S;
(2)如圖2,當點C在半圓弧上時,求兩個正方形的面積和S.
解:(1)如圖1,連接MB,MN, 設(shè)正方形ABCD的邊為a,∴AM=R-a,AN=R+a, ∵MN是半圓O的直徑,BA⊥MN,∴∠ABN=90°,∴AB2=AM·AN, 則a2=(R-a)(R+a),∴a2=R2-a2,∴2a2=R2,即S=R2
2、(2)如圖2,連接MB,MN,依題意有,AB2=AM·AN ,則OA=OD=, ∴AM=R-,AN=R+,∴a2=(R-)(R+)=R2-()2,∴a2+()2=R2,又由勾股定理可得小正方形的邊長為, 即S=R2
2.如圖1,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm, 點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動,同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動,它們的速度均為2 cm/s,以AQ,PQ為邊作平行四邊形AQPB,連接DQ,交AB于點E,設(shè)運動時間為t(單位:s)(0≤t≤4)
3、.請你解答下列問題:
(1)用含t的代數(shù)式表示AE=__5-t__;
(2)當t為何值時,DQ=AP;
(3)如圖2,當t為何值時,平行四邊形AQPD為菱形.
解:(1)如圖1,依題意有,AQ=2t,BP=2t,∵AB=10,∴AP=10-2t,∴AE=5-t (2)如實驗用圖,當DQ=AP時,四邊形AQPD為矩形,則△APQ∽ABC, ∴=,∴=,解得t=,即當t=時,DQ=AP (3)如圖2,當平行四邊形AQPD為菱形時,DQ⊥AP, ∴∠AEQ=ACB=90°, 由三角函數(shù)的定義有cos∠EAQ==,∴=,解得t=,即當t=時,平行四邊形
4、AQPD為菱形
3.(2009·陜西)問題探究
(1)在圖①的半徑為R的半圓O內(nèi)(含弧),畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正三角形,并求出這個正三角形的面積.
(2)在圖②的半徑為R的半圓O內(nèi)(含弧),畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正方形,并求出這個正方形的面積.
問題解決
(3)如圖③,現(xiàn)有一塊半徑R=6的半圓形鋼板,是否可以裁出一邊落在MN上的面積最大的矩形?若存在,請求出這個矩形的面積;若不存在,說明理由.
解:(1)如圖①,△ACB為滿足條件的面積最大的正三角形. 連接OC,則OC⊥AB.∵AB=2
5、OC·tan30°=R,∴S△ACB=AB·OC=×R·R=R2 (2)如圖②,正方形ABCD為滿足條件的面積最大的正方形, 連接OA,令OB=a,則AB=2a.在Rt△ABO中,a2+(2a)2=R2, 即a2=R2,S正方形ABCD=(2a)2=R2 (3)存在.如圖③,先作一邊落在直徑MN上的矩形ABCD,使點A,D在弧MN上,再作半圓O及矩形ABCD關(guān)于直徑MN所在直線的對稱圖形,A,D的對稱點分別是A′,D′.連接A′D,AD′,則A′D為⊙O的直徑, ∴S矩形ABCD=AB·AD=AA′·AD=S
6、△AA′D, ∵在Rt△AA′D中,當OA⊥A′D時,S△AA′D的面積最大, ∴S矩形ABCD最大=·2R·R=R2=36
4.在正方形ABCD中,AB=4,O是CD上一點,且OD=1.(有同樣條件的圖形,供解答下列問題時使用)
(1)如圖1,若直線CD繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°時交BC于點G, 則CG=____;
(2)如圖2,當直線CD繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)到什么位置時,正好將正方形ABCD的面積分成相等的兩部分,此時,直線CD旋轉(zhuǎn)與正方形ABCD的另一個交點是F,求OF的長度;
(3)如圖3,直線CD繞點O旋轉(zhuǎn)
7、到與AD相交于點E,與BC的延長線交于點F時,恰好DE=,設(shè)P為OF上一動點,過P作PM⊥AB于M,PN⊥BF于N,PN=x,S矩形BMPN=y(tǒng).
①求y與之間的函數(shù)關(guān)系式;
②當為何值時,y的值最大,最大值是多少?
解:(1)∵正方形ABCD的邊長是4,OD=1,∴OC=3,∵∠C=90°, ∴在Rt△OGC中,由三角函數(shù)的定義有,tan30°=,=, 即CG= (2)連接AC,BD相交于點E,過點F作FG⊥CD于點G, ∵OD=BF=CG=1,∴OG=2,而FG=4,∴在Rt△FGO中,由勾股定理得,OF==2 (3)依題意可知有,PN=x,DE=,OQ=3-x,又△OQP∽△ODE,∴=, ∴=,∴QP=(3-x),∴MP=4+(3-x)=-x+8, ∴y=MP·PN=(-x+8)x,∴y=-x2+8x,∵a=-<0, ∴當x=-=時,y最大值==6