卷積和和卷積積分

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1、 第二章 線性時(shí)不變系統(tǒng) (LTI: Linear Time Invarient) 重點(diǎn)： ?:?理解并掌握卷積積分與卷積和的概念與相關(guān)性質(zhì); ?:?掌握LT係統(tǒng)的性質(zhì)； 難點(diǎn)： ?:?深刻理解卷積積分與卷積和的概念； 2.1線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域解法 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)，通常用微分 方程來(lái)描述系統(tǒng)。 ?:?微分方程的經(jīng)典解。 n in 微分方程 丫計(jì)⑴也旳) /=0 >0 其有無(wú)數(shù)個(gè)解；若已知初始條件: 丁(0+),_/)(0+)』⑵(0+)…嚴(yán)(0+) 其解唯一。 W)二幾⑴+兒⑴ 齊次解 特解

2、 A齊次解 ” 齊次解是滿足 的解 若n個(gè)特征值各不相同: 若特征值中有入1是r重根，而其余的根都為單數(shù)，則 z=0 7=/+1 Ci、Cj的值由初始條件確定。 A特解 特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)形式有關(guān)。 微分方程的特解形式: 輸入信號(hào)x(t) 特解y」t) 常數(shù)C 常數(shù)A 岀 a H人 Aeat a = \ 人為込?重根 工Aj陽(yáng) 7=o L 工E k=0 iAJtj j=0 t Ag+Ajt tp A0+A1t+A2t2+ AptP cos(a + 0) Bx cos伽 + /3) + B2 sin(血 +

3、 0)  ?:?系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng) 一個(gè)線性系統(tǒng)可以將系統(tǒng)的響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零 狀態(tài)響應(yīng)。即： W)=兒(0 + yf (0 A零輸入響應(yīng) 兒⑴= 7I(WJ)，{0}] A零狀態(tài)響應(yīng) yz(O=r[{o}, xo] n 而：兒⑴ i=0 z=0 例：已知一系統(tǒng)的微分方程為： y(0 + 2y(0 = X0^ 且\(0-) = 2 求分別輸入兀1(0 =「和丸2(。= 5「 時(shí)的輸出y(t)。 解：兀(0 =(嚴(yán)+『)火) y2 (t) — (―3e_2r +5e~r)u(t) 2.2單位沖激響應(yīng) 力⑴三門(mén){0},5（切 ?

4、單位沖激響應(yīng)：線性時(shí)不變系統(tǒng)在單位沖激信 號(hào)的激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。用h（t）表示。 即： 分析如下電路：已知：uc(0-)=0,求HQ。 2Q + 解：建立系統(tǒng)的微分方程: 0.25F uc(t) RC^ + u( =1.55(/) dt c 即竺+ 2叭=3犯) dt 6 由于沖激函數(shù)是在t=0時(shí)給系統(tǒng)注入了一定的能量，而在t>0 時(shí)，系統(tǒng)的激勵(lì)為0。相當(dāng)于在0-到0+時(shí)刻，使系統(tǒng)具有了一 定的初始能量。因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)具 有相同的形式。這里，用h(t)表示系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。即： h(t)三 £[{0},刃

5、)]=ceS(t)的形式 o 這里,2= ~2o即力⑴=ce~2lu(t)代入方程中: —2ce 2,c8(t) + 2ce 2tu(t) = 35(t) => c = 3 .?? h(t)二 3e~2tu(t) 注意：?jiǎn)挝粵_擊響應(yīng)為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 2.3卷積積分 對(duì)于線性系統(tǒng)，可以將輸入信號(hào)分解為許多簡(jiǎn)單 信號(hào)之和。如果求得簡(jiǎn)單信號(hào)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)， 那么，所有這些響應(yīng)疊加起來(lái)就是該輸入作用于系 統(tǒng)的響應(yīng)。 一個(gè)任意的輸入信號(hào)可以分解為：指數(shù)函數(shù)、沖激 函數(shù)、階躍函數(shù)等等。這里討論將信號(hào)分解為沖激 函數(shù)之和的情況。 1= c- 矩形信號(hào): ooo□□□

6、 x(f) = u(t — ty ) —n(t — t n) 分為一系列寬度相等 的窄矩形脈沖之和 兀(0 二 u(f _A)_-2)+ …+ U(f _心_1) 若： AtO 0t| k X⑴ DOO ODDOO tl tn t 77-1 x(t) - AS(/ — F])+ zX/O —(2) 卜 A》(T 一匚_]) = 5(/— ―) ?=i 77-1 y(t) = A/z(f — q) + A/z(/ —厶)+ ? —F A/?(f — t n_y) = △〉： h(t — t-) i=\ 設(shè)雉）為無(wú)時(shí)限的信號(hào)，將它分解為一系列寬度為At

7、的 窄脈沖之和。 ▲ 為 —> 0 貝lb x(/)« ^x(k^r)AT.d(t-kAr) k 二一co 設(shè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t),則系統(tǒng)對(duì)應(yīng)予旳 的 沖激響應(yīng)為 x(kAr)Ar.h(t-kAr) 則系統(tǒng)對(duì)輸入x(t)的總響應(yīng)為所有沖激響應(yīng)之和: 00 》x(^At) Ar.h(t - kM) 當(dāng)： M T djkM T T求和符號(hào)改為積分符號(hào) x(0 = x(r)8(t-T)dr J-(X) yf (f) = J x(r)h(t 一 T)dt 上述積分是x(t)與h(t)之間的一種二元運(yùn)算，用 y(t)=x (t)*h (t)

8、表示。即 ?00 y(0 = = x(r)h(t - r)dr 心卷就分瞬輪法* 卷積的圖解法有助于我們理解卷積的物理意義以及求 解步驟，以x(t)*h(t)為例： 1、將h(T)反折，得h(r) 2、 將h(?T)沿t軸時(shí)延t秒，得得h(t—t) 3、 將X(T)與 h(t—T)相乘,得X(T)h(t—T) 4、 沿1：軸對(duì)X(T)h(t —T)積分 h(D T 3<f<4 T ▲ t t<\ 2<r<3 4<r<5

9、 例：設(shè)x(t)與h(t)如圖所示，求y(t)=x(t)*h(t) (1) (2) h{t - r) x(r) 1 (3) t < -丄時(shí)，y(t) = 0 -丄"<1時(shí), 2 xo= rr 1 1

10、 _(f _ T)dT t2 t I = 1 1 4 4 16 3 l<r<-時(shí) 2 -(t-T)dr = -t- 2 4 3 16 y(t)的時(shí)域波形如圖所示: -<t<3 2 y(r) = [ —(f —r)6?r = — + — + — Ji' 4 2 4 F>3時(shí)，y(t) = 0  例: Xl(t) * 1 0 ▲ 求 必(0 =西(/)*西(0 解： / / yi(t) 、t

11、-2 0 2 t X2（t） 1 ?2 0 燦）=西⑴譏⑴ 172（0 例：已知 x(0 = e~cltu(t} q > 0 h(t) = u ⑴ 求： y(t) = x(t) * h(t) AX (T ) Ah (T ) 例：已知 x(?) = e2Tu(-t) h(t) = u(t - 3) 求： y(r)= x(r)*/z(r) = c) /z(t) = u(t-3) 2.卷積積分運(yùn)算的性質(zhì) x(t) * h(t) = h(t) * x(t) y(t) (1) 滿足交換律： (2) 滿足分配律： 垃)

12、*[人(冇 + 佗(/)]=垃)* % (0 + x(t) * 他(0 I hi(t) x(t) | h2 (t) (3) 卷積的結(jié)合律： (X0 *人⑴)*仏⑴r⑴*也⑴*仏⑴) >h2(t) (4)卷積的微分: 兩個(gè)函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中一函數(shù)導(dǎo)數(shù) 與另一函數(shù)之卷積。即： (X0 * h(t)y= x\t) * h ⑴=x(t) * h (t) (5)卷積的積分: | (x(t) * * h(t) = x(t) * h(r)dT —co J—00 J—oo 應(yīng)用類似的推演可以到處卷積的高階導(dǎo)數(shù)或 多重積分之運(yùn)算規(guī)律: 設(shè)曲)

13、二兀1(。*兀2⑴，則有: /)(0=x1G)(0*^)(0 此處，當(dāng)i、j取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)的階次，取負(fù) 整數(shù)時(shí)為重積分的次數(shù)。 一個(gè)簡(jiǎn)單的例子為： y(t)=對(duì)(0 * 兀(0=^i(_1)(0 * 花1 (0 4.與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積 (1) 函數(shù)x(t)與單位沖激函數(shù)& (t)卷積的結(jié) 果仍然是x(t)本身。即： x(t) * 5(/) = x(Z) 證明: J?00 x(r)3(t-T)dr -co /?co x(t)8(t -t)dr (??? j(-o = R)) /?co =x(/) 8(T-t)dT J-00

14、 (2) — =x(t — t0) (3) x(^t — ) * 5(/ — tj = x(^t —片—t ) 證明: x(^t _ 7]) * 5(/ _ 匚) /?co J—s x(r _ tJ5(t _ t _ tclt =f x(t - tx -t2 - T)d{T)dz J—s =x(^t _ t] _ 匚) ? : ?:」 若：X（t） = Xj （t） *兀2（丫） (4) 貝U :召(/ —彳1 ) * 兀2 (' — ‘2 ) = 一 ‘1 — tj (5) x(0* ^(

15、0 = ^(0 例 ▲ h(t) 廠 1 t <2 已知：h(t)= < 0 ; t > 2 3 -2 2 xo=3 - 3) 解：將h(t)寫(xiě)成與階躍函數(shù)乘積的形式: 力⑴=u(t + 2) — u(t — 2) y(r)=兀⑴ */z(r) =(35⑴ + _ 3)) * + 2) _ 譏f _ 2)] =35 (0 * u(t + 2) - 33(t) * u(t - 2) + — 3) * %(f + 2) — 5(f — 3) * — 2) —3u(t + 2) — 3u(t

16、— 2) + — 1) — — 5) 例：已知 西⑴=e~3tu(t) 兀?(f) = — 3) — u(t — 5) 求： 曲）=兀1（/）*兀2⑴ x2(t ) A Xi(T ) 2. 4卷積和 在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，可以利用卷積積分的方法 求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。這時(shí)，首先把激勵(lì)信號(hào)分 解成沖激函數(shù)，把這些沖激響應(yīng)的疊加即可得到 系統(tǒng)對(duì)此激勵(lì)信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)。這個(gè)過(guò)程稱為 卷積積分。 在離散系統(tǒng)中，由于離散信號(hào)本身就是不連續(xù) 的序列，對(duì)應(yīng)每個(gè)樣值序列，每一響應(yīng)也是一個(gè) 離散時(shí)間序列，把這些序列疊加即得離散系統(tǒng)的 零狀態(tài)響應(yīng)。 離散單位沖激函麵園 1

17、3[n\ -1 0 1 n 移位的單位沖激函^[n-k] fl n-k 8[n—k]= < 0 n工k 對(duì)于任意的激勵(lì)信號(hào)X [n]可以表示成單位沖激 序列的加權(quán)和，即： x[n] = ???％[— l]S[n + 1] + x[O]^[n] + x[l]^[n — 1] 1——x[k]6[n 一 —— S =x[k}6[n — k} k=-^o 若5[叩的響應(yīng)為加叩，則 £?；颹50-幻 k=—co CO 的響應(yīng)為工竝幻燦川-幻 k=—cn Q0 即： 兒[叩=x[k]h[n — k] k=—^> 定義： 00

18、 將兒M = 血二工?；镖?幻 k 二一^ 稱為卷積和。 2卷積和的性質(zhì)： 與連續(xù)函數(shù)的卷積積分的性質(zhì)類似，離散函數(shù) 的卷積和也滿足交換律，結(jié)合律以及分配律。 sr—yKH「M—z/lK—sr—^K m—Sr—MKH T — l/^isr—MK 「SrI Z/」KH「ST— l/」e * lm」k WKNT」e *tk e^*eh+e^*?h (s€+swyst>^o(e) (2€ *2 w) *gXHswAgfWN) ”#如址(z) *sH s*? sss

19、 F面分析卷積和的幾種運(yùn)算方法: 從卷積和的表達(dá)式： y f [^] = = ^x[k]h[n — k] 可知，卷積和也要經(jīng)過(guò)以下四個(gè)步驟: 反折一?移位一?相乘一”求和| 1?圖解法： 以一個(gè)例子說(shuō)明這個(gè)方法。已知： 2 h[n] 1 ?丨 x[n] 1 1 ? 1 1 ?丨丨 0 : 1 2 n 0 1 2 求：yf \ji\ — * 燦”] o o 立—u」q 妄 — Hwf瓦—N庖

20、盜(z) o 立丄q D—wf w<“io (D (3) 相乘、求和: n — l< 0口寸，H卩m < 叩寸，y t \n\ = 0; n = 1 時(shí),yf \n\ = 1 x 1=1; y f \n\ = 1 x 2+1 x 1=3; y f \n\ = 1 x 1+1 x 2=3; 兒 W] = 1x1=1; yf

21、[n]=O； 卷積和的波形如下: Yf[n] 0 12 2.解析式法: 可臨舉蠶鑑的表達(dá)式的離散函數(shù), 例： 已知:x[n] = 2n u[—n\j h[n] = u[n]o 求兒[巾]=兀[比]* h[n]o 對(duì)于這種不是很明顯就看成卷積和的上下限的 函數(shù)，一般也要通過(guò)圖解法作為輔助的手段。 h[n-k] fill -4-3-2-10 x[k] -4+n -3+n -2+n -1+n n 解: 當(dāng)比 &

22、lt;0時(shí)，y f [n]=工 2“ = 2n+, £ 二一CO 0 當(dāng)〃 >0時(shí)，兒⑷二工2* =2 &二一O0 (3)多項(xiàng)式相乘法 5 } 5 } 對(duì)于序列長(zhǎng)度不是很長(zhǎng)的序列，可以通過(guò)利用 多項(xiàng)式乘法求解。下面舉一例子說(shuō)明這種方法。 已知：Xj[n] = 2^[n] + 6\n —1]+4/[〃 一2]+8\n —3 %2 [川]=+ 3\yi — 1] + — 2] 求卷積 y[n] = ^[n]*x2[n] 為書(shū)寫(xiě)方便，寫(xiě)成如下形式： 5 }

23、 5 } 4, 1} x^n\ = {2 ‘ 1, n = 0丄2,3 n — 0丄 2 5 } 將兩序列的左端 或右端對(duì)齊，然后 相乘。這里采用左 端對(duì)其的方式。要 注意的是不能進(jìn)位, 最后把同一列上的 乘積值按對(duì)位求和 即可得到y(tǒng)[n]o 即：y[n] = {6, 5, 2 14 1 3 1 5 10 5 20 5 2 14 1 6 3 12 3 6 5 23 12 21 5 23， 12 21 5 上面的這個(gè)表達(dá)式還不完整，還沒(méi)有確定y［n］ 的定義域。 一般的，對(duì)于一個(gè)定義為［np n2］的序列x

24、［n］以 及［n3, n4］的序列h ［n］, h ［n-k］葩定義域?yàn)椋踤-% n- n3］,即 n — n3>nx 〉二> + n3 <n<n2 +n4 n- n4 <n2\ ' _ 故：yW］的定義域?yàn)閚x +nv n2+n^y 上面這道例題，其中W l=J 114=2,則其定義域?yàn)椋?, 即:y[n] = {6, 5, 23， 12, =0, n2=3, n3=0, 5]o 21 5 ｝，” = 0」2345 （4）序列長(zhǎng)度 X ［n］定義在［np n2］以及h ［n］定義

25、在［n3, n4］上。 若定義x［n］的序列長(zhǎng)度為Nf, h［n］的序列長(zhǎng)度為汕, y［n］的長(zhǎng)度為叫,則 N* =農(nóng)2 +1 Nh- (n4 -n3+1) 又y［n］的定義域?yàn)閚2+n4］ 貝 =比2 + 4 _ ® ® + ］ —(72? — Z2| + 1) + (九—5 +1) _ 1 (4)解卷積運(yùn)算 在許多信號(hào)處理的實(shí)際問(wèn)題中，需要做解卷積運(yùn) 算，即已知x [n] (h [n]), y[n],求h[n](x[n])。 解卷積運(yùn)算可以用長(zhǎng)除法來(lái)進(jìn)行。仍舉上面的例子 進(jìn)行說(shuō)明。 y[n] = {6, 5, 23, 12, 21, 5 }, 〃

26、 = 0,1,2,3,4,5 x[n] - {2, 1, 4, 1, }, “ = 0,1,2,3 求/z[對(duì)。 3 1 5 2 1 4 1^ 6 5 23 12 21 5 6 3 12 3 2 11 9 21 2 1 4 1 10 5 20 5 10 5 加 5 即：h[n] = {3, 1, 5 其起始位置可以 通過(guò)我們?cè)谇懊媲? 卷積和的方法來(lái)推 導(dǎo)出。 例：設(shè)3個(gè)LTI因果系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)如圖所示，

27、其中 沖激響Sh2[n]為 h2[n]=u[n]-u[n-2] 而總的沖激響應(yīng)為： h[n]={l,5,10,11,8,4,1},n=0,l,2,3,4,5,6; ⑴求沖激響應(yīng)hjn]; (2)求整個(gè)系統(tǒng)Mx[n]=6[n]- 6[n-l]的響應(yīng)。 x[n] ? h![n] ? h2[n] ? h2[n] ? y[n] 解:*.* h2 [n] = u[n]~ u[n -2] = S[n] + 8[n 一 1] h[n] = h{[n] * h2[n] * h2[n] =K[n] * (0[川 + -1]) * (S[n] + 5[〃-1])) =h^n]

28、 * (0[〃] + 26[n 一 1] + — 2]) 又??? S[n] + 2S[n-1] + 8[n - 2]={1,2,1} n 二 0,1,2 這里相當(dāng)于求卷積，采用長(zhǎng)除法: hlmll?33£ (2) ysH 3S關(guān) xs H 02* 5S— 53I 一一 H0s:—0m —二 2.5線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì) ?系統(tǒng)

29、的記憶性 ?系統(tǒng)的可逆性 ?系統(tǒng)的因果性 ?系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ?、系統(tǒng)的記憶性 系統(tǒng)的無(wú)記憶性意味著，任何時(shí)刻的輸出信號(hào)值僅取決于 同一時(shí)刻的輸入信號(hào)值，而與其他時(shí)刻的輸入信號(hào)值無(wú)關(guān)。 即：在一個(gè)LTI系統(tǒng)中，只有滿足下列條件時(shí)，LTI系統(tǒng)才 是無(wú)記憶的。 h(t) = 0, / H 0 or. h[n] = 0, 〃 H 0 無(wú)記憶系統(tǒng)： DT: CT: y[n]=kx[n]? h[n]=k8[n] y(t)=kx(t), h(t)=k5(t) 二、LTI系統(tǒng)的可逆性 ■給定一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t),逆系統(tǒng)的沖激響 應(yīng)為h](t),則必定有： h

30、(t)啊⑴=6(t) 例：一個(gè)信號(hào)與一個(gè)移位沖激的卷積就是該信號(hào)的移位。 x(t —) = x(f) * 5(》一Zq ) 6(t + tQ)^6(t-tQ) = 5(f) 三、LTI系統(tǒng)的因果性 ■連續(xù)和離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的因果判據(jù)分別是: h(t)=O, t<0 或 h[n]=O, n<0 例子：請(qǐng)問(wèn)以下系統(tǒng)是因果系統(tǒng)么? 因果；因果；非因果;因果。 1、 h[n]=u[n] 2、 h[n]=6[n]- 6[n-l] 3、 h[n]=(4)nu[2-n] 4、 h(t)=e3tu(t-l) ■連續(xù)時(shí)間或離散時(shí)間線性系統(tǒng)的因果性等價(jià)于這樣的 條件

31、，即對(duì)于任何時(shí)刻to或％若對(duì)任何輸入x(t)或x[n], 系統(tǒng)的輸出或分別滿足如下條件： x(0 = 0,t <t0 = <t0 x[n] = O,n<no T y[n] = 0.n <n0 這個(gè)條件正是上述物理規(guī)律的數(shù)學(xué)描述，通常叫做“初始 松弛”。 ?注意：對(duì)于線性系統(tǒng)，因果性等效于初始松弛。 四、LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ■連續(xù)或離散時(shí)間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件: 「+oo J—00 I 16/r < 00 +00 工 I h[k] I < 00 k —— 例：下列系統(tǒng)是穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)么? 片⑴二嚴(yán)2

32、j%⑴ 71 h [n] = n cos(—n)u[n] 4 是；否o 2.5.3 M屣宀 ■單位階躍響應(yīng)S(t)或s[n],就是輸入為u(t)或u[n]時(shí) LTI系統(tǒng)的輸出。 ?一個(gè)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為： s(t)=u(t)*h(t) gp： s(t) = h(T)dT J—00 網(wǎng)= ^ = s V) dt ?一個(gè)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為: s[n]=u[n]*h[n] n 即：旳］= 工燦幻 k=—s h[n] = s[n]- s[n 一 1] 2.6奇異函數(shù) ?單位沖激函數(shù)的卷積定義 > <

33、;5 (t)的運(yùn)算定義為： 「00 5(f) * x(/) = x(0, or. d(r)x(t - r)dr = x(t) 即將5 (t)定義為與任意函數(shù)卷積運(yùn)算能產(chǎn)生該函數(shù) 本身的一種函數(shù)。 > 6 (t)的性質(zhì) 1、 0(t)具有單位面積 2、 偶函數(shù) 3、d (t)的篩選性質(zhì) J+OO —OO =g(0) J+oO —OO “t — tjggdt =g (Zo )  d （t）各階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算定義 考慮LTI系統(tǒng)： y（f）=竺⑴ dt 這個(gè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是單位沖激的導(dǎo)數(shù)，稱為 單位沖激偶ui（t）? =兀（“ * （（） d

34、t 4、 x(t)d(t)=x(0) d(t) ? 6⑴的k階導(dǎo)數(shù)眇⑴都是奇異函數(shù)。 定義：％0（了）=曠（【） Uk（t）是6（t）的k階導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)取輸入k次導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)的單位沖激 響應(yīng) ug = gggk >0 uk （了） = ux （了） * ux （Z） *???*%］（1） (t)各次積分的運(yùn)算定義 A單位階躍函數(shù)u(t)是s (t)的一次積分，S (t)的二 次積分為: ——OO ——OO 定義： ％0（》）=<5（【） u_k （了人上 > 0 u.k（t）是6（。的k次積分，是一個(gè)取輸入k次積分系統(tǒng)的單

35、位 沖激響應(yīng)。 U_k (Z) = (Z)水 (C * …(t) 7 ‘ k tk~l = % (6 k >\ (花一1)! 2.7用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng) 在連續(xù)系統(tǒng)中，通過(guò)建立系統(tǒng)的常系數(shù)微分方 程，然后對(duì)其求解，以獲得系統(tǒng)的響應(yīng)。 在離散系統(tǒng)中，對(duì)系統(tǒng)建立的是差分方程。 連續(xù)系統(tǒng) ?常系數(shù)微分方程 離散系統(tǒng) ?常系數(shù)差分方程 連續(xù)系統(tǒng)：常系數(shù)微分方程 經(jīng)典解法： 曲)=力(0+兒(0 齊次解 特解 零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng): y(0= yx(0

36、 + yf(0 零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng) 離散系統(tǒng)：常系數(shù)差分方程 用差分方程來(lái)描述時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。 一個(gè)N階常系數(shù)線性差分方程表示為: N M 工色y W —幻=工bmx[n — m] k=0 m=0 其有無(wú)數(shù)個(gè)解；若已知初始條件: 川門(mén)』⑴⑵[0+]…嚴(yán)[0+] 求解常系數(shù)線性差分方程的方法: 1） 遞推解法 2） 經(jīng)典解法 y[n] = y h[n] +y p[n] 齊次解 特解 對(duì)于 N M 工色yW —幻二工bmx[n — m] k=0 m=Q i M N 則：y[n] = — C^bmx[n-m]-^

37、aky[n-k]) °0 m=0 k-\ 無(wú)限沖激響應(yīng):HR 若N和,y[n]與輸入以及其以前值有關(guān)，其響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng) 有限沖激響應(yīng)：FIR M匕 若 N=o y[n] = — x[n - m\ 7/2=0 °0 用微分方程和差分方程描述的一階系統(tǒng)的方框圖表示 ⑴ 離散時(shí)間系統(tǒng)(DTS) 基本組件： A. 相加器 B. 乘以系數(shù) 單位延遲 基本組件 Xi[n] (a) a x(n] ■ (b)

38、 ? xjn] *巾何 ax[n] —x[n-l] Example: y[n]+ay[n-1]=bx[n] y[nl (2)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(CTS) 基本組件： A. 相加器 B. 乘以系數(shù) 積分器(微分器) 基本組件： Xl(t) X(t) X(t) 十 x2(t) ax⑴ Example: y5(t)+ay(t)=bx(t)