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第8章 平面解析幾何
第7節(jié) 拋物線
考點(diǎn) 拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)
1．（2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，5分）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4，則△POF的面積為( )
A．2 B．2
C．2 D．4
解析：本題主要考查拋物線的定義、數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算能力．由題意知拋物線的焦點(diǎn)F(，0)，如圖，由拋物線定義知|PF|＝|PM|，又|PF|＝4，所以xP＝3，代入拋物線方程求得yP＝2，所以S△POF＝·|OF|·yP＝2.
2、
答案：C
2．（2013山東，5分）拋物線C1：y＝x2(p＞0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：－y2＝1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平等于C2的一條漸近線，則p＝( )
A. B.
C. D.
解析：本題主要考查了拋物線和雙曲線的概念、性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的意義，進(jìn)一步考查了運(yùn)算求解能力．由圖(圖略)可知，與C1在點(diǎn)M處的切線平行的漸近線方程為y＝x.設(shè)M，則利用求導(dǎo)得切線的斜率為＝，p＝t.易知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，則點(diǎn)，(2,0)，共線，所以＝，解得t＝，所以p＝.
答案：D
3．（2013江西，5分）已知點(diǎn)A(2,0)
3、，拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|∶|MN|＝( )
A．2∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
解析：本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想與分析、解決問(wèn)題的能力．過(guò)點(diǎn)M作MM′垂直于準(zhǔn)線y＝－1于點(diǎn)M′，則由拋物線的定義知|MM′|＝|FM|，所以＝＝sin ∠MNM′，而∠MNM′為直線FA的傾斜角α的補(bǔ)角．
因?yàn)橹本€FA過(guò)點(diǎn)A(2,0)，F(xiàn)(0,1)，所以kFA＝－＝tan α，所以sin α＝，所以sin ∠MNM′＝ .故|FM|∶|MN|＝1∶.
答案：C
4．（2013北京
4、，5分）若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝________，準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______．
解析：本題主要考查拋物線的方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力．
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以＝1，p＝2，準(zhǔn)線方程為x＝－＝－1.
答案：2 x＝－1
5．（2013浙江，14分）已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0)，焦點(diǎn)為F(0,1)．
(1)求拋物線C的方程；
(2) 過(guò)點(diǎn)F作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．若直線AO，BO分別交直線l：y＝x－2于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值．
解：本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何
5、的基本思想方法和運(yùn)算求解能力．
(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，則＝1，
所以拋物線C的方程為x2＝4y.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋1.
由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
從而|x1－x2|＝4.
由
解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM＝＝＝.
同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN＝.
所以|MN|＝|xM－xN|
＝
＝8
＝.
令4k－3＝t，t≠0，則k＝.
當(dāng)t>0時(shí)，|MN|＝2 >2.
當(dāng)t<0時(shí)，
|MN|＝2 ≥.
綜上所述，當(dāng)t＝－
6、，即k＝－時(shí)，|MN|的最小值是.
6．（2012山東，5分）已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為( )
A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng)
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：雙曲線的漸近線方程為y＝±x，由于＝＝ ＝2，所以＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，所以＝2，所以p＝8，所以拋物線方程為x2＝16y.
答案：D
7．（2011新課標(biāo)全國(guó)，5分）已知直線l過(guò)拋物線C的
7、焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為( )
A．18 B．24
C．36 D．48
解析：設(shè)拋物線方程為y2＝2px，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，將x＝代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，∴p＝6.點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，到AB的距離為p＝6，所以△PAB的面積為×6×12＝36.
答案：C
8．（2011山東，5分）設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是( )
A．(0,2)
8、 B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為p，即4，根據(jù)已知只要
|FM|>4即可．根據(jù)拋物線定義，|FM|＝y(tǒng)0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范圍是(2，＋∞)．
答案：C
9．（2011遼寧，5分）已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為( )
A. B．1
C. D.
解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.
答案：C
10．（201
9、0湖南，5分）設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：由拋物線的方程得＝＝2，再根據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為4＋2＝6.
答案：B
11．（2012安徽，5分）過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＝3，則|BF|＝________.
解析：拋物線y2＝4x準(zhǔn)線為x＝－1，焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由拋物線的定義可知|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝±2，由拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，假設(shè)A(2,2)，由A，F(xiàn)，B
10、三點(diǎn)共線可知直線AB的方程為y－0＝2(x－1)，代入拋物線方程消去y得2x2－5x＋2＝0，求得x＝2或，所以x2＝，故|BF|＝.
答案：
12.（2012陜西，5分）右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬______米．
解析：以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py，則點(diǎn)(2，－2)在拋物線上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.當(dāng)y＝－3時(shí)，x2＝6，所以水面寬為2.
答案：2
13．（2012江西，13分）已知三點(diǎn)O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲線C上任意一點(diǎn)M(x，y)滿足
11、|＋|＝·(＋)＋2.
(1)求曲線C的方程；
(2)點(diǎn)Q(x0，y0)(－2<x0<2)是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為l，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0，－1)，l與PA，PB分別交于點(diǎn)D，E，求△QAB與△PDE的面積之比．
解：(1)由＝(－2－x,1－y)，＝(2－x,1－y)，得
|＋|＝，
·(＋)＝(x，y)·(0,2)＝2y，
由已知得＝2y＋2，
化簡(jiǎn)得曲線C的方程是x2＝4y.
(2)直線PA，PB的方程分別是y＝－x－1，y＝x－1，曲線C在Q處的切線l的方程是y＝x－，
且與y軸的交點(diǎn)為F(0，－)，
分別聯(lián)立方程，得解得D，E的橫坐標(biāo)分別是xD＝，xE＝，則xE－xD＝2，|FP|＝1－，
故S△PDE＝|FP|·|xE－xD|＝·(1－)·2＝，
而S△QAB＝·4·(1－)＝，則＝2.
即△QAB與△PDE的面積之比為2.
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高三數(shù)學(xué)文一輪備考 第8章第7節(jié)拋物線
