高三數(shù)學(xué)文一輪備考 第2章第9節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用

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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 高考真題備選題庫(kù) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用 考點(diǎn)一 函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用 1.(2013陜西,5分)在如圖所示的銳角三角形空地中, 欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長(zhǎng)x為________(m). 解析:本題主要考查構(gòu)建函數(shù)模型,利用基本不等式求解應(yīng)用問題的能力.如圖,過A作AH⊥BC于H,交DE于F,易知===?AF=x?FH=40-x.則S=x(40-x)≤2,當(dāng)且僅當(dāng)40-x=x,即x=20時(shí)取等號(hào).所以滿足題意的邊長(zhǎng)x為20(m). 答案:20 2

2、.(2013重慶,12分)某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率). (1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域; (2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大. 解:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想. (1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為1002πrh=200πrh元,底面的總成本為1

3、60πr2元,所以蓄水池的總成本為(200πrh+160πr2)元. 根據(jù)題意得200πrh+160πr2=12 000π, 所以h=(300-4r2), 從而V(r)=πr2h=(300r-4r3). 由h>0,且r>0可得00,故V(r)在(0,5)上為增函數(shù); 當(dāng)r∈(5,5)時(shí),V′(r)<0,故V(r)在(5,5)上為減函數(shù).

4、 由此可知,V(r)在r=5處取得最大值,此時(shí)h=8,即當(dāng)r=5,h=8時(shí),該蓄水池的體積最大. 3.(2009浙江,4分)某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià).該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下: 高峰時(shí)間段用電價(jià)格表 高峰月用電量(單位:千瓦時(shí)) 高峰電價(jià)(單位:元/千瓦時(shí)) 50及以下的部分 0.568 超過50至200的部分 0.598 超過200的部分 0.668 低谷時(shí)間段用電價(jià)格表 低谷月用電量(單位:千瓦時(shí)) 低谷電價(jià)(單位:元/千瓦時(shí)) 50及以下的部分 0.288 超過50至200的部分 0.318 超過200的部分 0.

5、388 若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦時(shí),低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí),則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為________元(用數(shù)字作答). 解析:高峰時(shí)段電費(fèi)a=500.568+(200-50)0.598=118.1(元). 低谷時(shí)段電費(fèi)b=500.288+(100-50)0.318=30.3(元).故該家庭本月用電量為a+b=148.4(元). 4.(2011山東,12分)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度,長(zhǎng)度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米,且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部

6、分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元. (1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域; (2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r. 解:(1)設(shè)容器的容積為V, 由題意知V=πr2l+πr3,又V=, 故l==-r=(-r). 由于l≥2r,因此03,所以c-2>0, 當(dāng)r3-=0時(shí),r=. 令 =m,

7、則m>0. 所以y′=(r-m)(r2+rm+m2). ①當(dāng)0時(shí), 當(dāng)r=m時(shí),y′=0; 當(dāng)r∈(0,m)時(shí),y′<0; 當(dāng)r∈(m,2)時(shí),y′>0, 所以r=m是函數(shù)y的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn). ②當(dāng)m≥2即3時(shí),建造費(fèi)用最小時(shí)r= . 考點(diǎn)二 函數(shù)與其他知識(shí)的交匯 1.(2013安徽,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,區(qū)間I={x|f(x)>0}. (1)求I的長(zhǎng)度(注:

8、區(qū)間(α,β)的長(zhǎng)度定義為β-α); (2)給定常數(shù)k∈(0,1),當(dāng)1-k≤a≤1+k時(shí),求I長(zhǎng)度的最小值. 解:本題考查含參數(shù)的一元二次不等式的解法、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等,意在考查考生恒等變形能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力. (1)因?yàn)榉匠蘟x-(1+a2)x2=0(a>0)有兩個(gè)實(shí)根x1=0,x2=, 故f(x)>0的解集為{x|x10,d(a)單調(diào)遞增; 當(dāng)1

9、減. 所以當(dāng)1-k≤a≤1+k時(shí),d(a)的最小值必定在a=1-k或 a=1+k處取得. 而==<1, 故d(1-k)

10、,c=-1,n≥2時(shí),f(x)=xn+x-1. ∵f()f(1)=(-)1<0,∴f(x)在(,1)內(nèi)存在零點(diǎn). 又當(dāng)x∈(,1)時(shí),f′(x)=nxn-1+1>0, ∴f(x)在(,1)上是單調(diào)遞增的,∴f(x)在(,1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn). (2)法一:由題意知 即 由圖象知,b+3c在點(diǎn)(0,-2)處取到最小值-6, 在點(diǎn)(0,0)處取到最大值0, ∴b+3c的最小值為-6,最大值為0. 法二:由題意知 -1≤f(1)=1+b+c≤1,即-2≤b+c≤0,① -1≤f(-1)=1-b+c≤1,即-2≤-b+c≤0,② ①2+②得 -6≤2(b+c)+(-b+c)

11、=b+3c≤0, 當(dāng)b=0,c=-2時(shí),b+3c=-6; 當(dāng)b=c=0時(shí),b+3c=0, 所以b+3c的最小值為-6,最大值為0. 法三 由題意知 解得b=,c=, ∴b+3c=2f(1)+f(-1)-3. 又∵-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1, ∴-6≤b+3c≤0, 當(dāng)b=0,c=-2時(shí),b+3c=-6; 當(dāng)b=c=0時(shí),b+3c=0, 所以b+3c的最小值為-6,最大值為0. (3)當(dāng)n=2時(shí),f(x)=x2+bx+c. 對(duì)任意x1,x2∈[-1,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤4等價(jià)于f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值之差M≤4.據(jù)此分類討論

12、如下: (ⅰ)當(dāng)||>1,即|b|>2時(shí),M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4,與題設(shè)矛盾. (ⅱ)當(dāng)-1≤-<0,即0

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