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第9章 概率
第2節(jié) 古典概型
考點 古典概型
1.(2013新課標全國Ⅰ,5分)從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù),則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:本題主要考查列舉法解古典概型問題的基本能力,難度較?。畯?,2,3,4中任取2個不同的數(shù)有以下六種情況:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),滿足取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的有(1,3),(2,4),故所求概率是=.
答案:B
2.(2013江西,5分)集合A=
2、{2,3},B={1,2,3},從A,B中各任意取一個數(shù),則這兩數(shù)之和等于4的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:本題主要考查隨機事件、列舉法、古典概型的概率計算,考查分析、解決實際問題的能力.從A,B中各任意取一個數(shù)記為(x,y),則有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6個基本事件.而這兩數(shù)之和為4的有(2,2),(3,1),共2個基本事件.又從A,B中各任意取一個數(shù)的可能性相同,故所求的概率為=.
答案:C
3.(2013新課標全國Ⅱ,5分)從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù),其和為5的概率是______
3、__.
解析:本題主要考查古典概型,意在考查考生對基本概念的理解與基本方法的掌握.從五個數(shù)中任意取出兩個數(shù)的可能結(jié)果有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10個,其中“和為5”的結(jié)果有(1,4),(2,3),共2個,故所求概率為=.
答案:
4.(2013安徽,5分)若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人,這五人被錄用的機會均等,則甲或乙被錄用的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:本題主要考查古典概型的概率計算,意在考查考生的運算能力和對基本概念
4、的理解.
事件“甲或乙被錄用”的對立事件是“甲和乙都未被錄用”,從五位學生中選三人的基本事件個數(shù)為10,“甲和乙都未被錄用”只有1種情況,根據(jù)古典概型和對立事件的概率公式可得,甲或乙被錄用的概率P=1-=.
答案:D
5.(2013山東,5分)某小組共有A,B,C,D,E五位同學,他們的身高(單位:米)及體重指標(單位:千克/米2)如下表所示:
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
體重指標
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)從該小組身高低于1.80的同學中任選2人,求選到的2人身高都在1
5、.78以下的概率;
(2)從該小組同學中任選2人,求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5,23.9)中的概率.
解:本題主要考查古典概型,考查數(shù)據(jù)處理能力和運算能力.
(1)從身高低于1.80的同學中任選2人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6個.
由于每個人被選到的機會均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.
選到的2人的身高都在1.78以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3個.因此選到的2人的身高都在1.78以下的概率為P==.
(2)從該小組同學中任選2人,其一切可能
6、的結(jié)果組成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10個.
由于每個人被選到的機會均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.
選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5,23.9)中的事件有:(C,D),(C,E),(D,E),共3個.
因此選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5,23.9)中的概率為P1=.
6.(2013北京,13分)如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖.空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染
7、,某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天.
(1)求此人到達當日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率;
(2)求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率;
(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?(結(jié)論不要求證明)
解:本題主要考查考生利用古典概型處理較為熱點的環(huán)境問題的能力,意在考查考生的推理論證能力、識圖能力、等價轉(zhuǎn)化能力.
(1)在3月1日至3月13日這13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空氣質(zhì)量優(yōu)良,所以此人到達當日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率是.
(2)根據(jù)題意,事件“此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染”等價于“此人到達該市的日
8、期是4日,或5日,或7日,或8日”,
所以此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為.
(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.
7.(2012安徽,5分)袋中共有6個除了顏色外完全相同的球,其中有1個紅球、2個白球和3個黑球.從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析:標記紅球為A,白球分別為B1、B2,黑球分別為C1、C2、C3,記事件M為“取出的兩球一白一黑”.則基本事件有:(A,B1)、(A,B2)、(A,C1)、(A,C2)、(A,C3)、(B1,B2)、(B1,C1)、(B1,C2)、(B1,C3)、(B
9、2,C1)、(B2,C2)、(B2,C3)、(C1,C2)、(C1,C3)、(C2,C3),共15個.其中事件M包含的基本事件有:(B1,C1)、(B1,C2)、(B1,C3)、(B2,C1)、(B2,C2)、(B2,C3),共6個.根據(jù)古典概型的概率計算公式可得其概率為P(M)==.
答案:B
8.(2011新課標全國,5分)有3個興趣小組,甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組,每位同學參加各個小組的可能性相同,則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:甲、乙各自參加一個興趣小組是相互獨立的事件,且每人報每個興趣小組也是獨立的,故兩位同學參
10、加同一興趣小組的概率為3××=.
答案:A
9.(2011浙江,5分)從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球,則所取的3個球中至少有1個白球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:從3個紅球、2個白球中任取3個,根據(jù)窮舉法,可以得到10個基本事件,其中沒有白球的取法只有一種,因此所取的3個球中至少有1個白球的概率P=1-P(沒有白球)=1-=.
答案:D
10.(2010北京,5分)從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b,則b>a的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:分別從兩
11、個集合中各取一個數(shù),共有15種取法,其中滿足b>a的有3種取法,故所求事件的概率為P==.
答案:D
11.(2012浙江,4分)從邊長為1的正方形的中心和頂點這五點中,隨機(等可能)取兩點,則該兩點間的距離為的概率是________.
解析:設(shè)此正方形為ABCD,中心為O,則任取兩個點的取法有AB,AC,AD,BC,BD,CD,AO,BO,CO,DO,共10種;取出的兩點間的距離為的取法有OA,OB,OC,OD,共4種,故所求概率為=.
答案:
12.(2011江蘇,5分)從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù),則其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率是____.
解析:采用枚舉
12、法:從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù),基本事件為:{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6個,符合“一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍”的基本事件有{1,2},{2,4},共2個,所以所求的概率為.
答案:
13. (2012江西,12分)如圖,從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點.
(1)求這3點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的概率;
(2)求這3點與原點O共面的概率.
解:從這6個點中隨機選取3個點的所有可能結(jié)果是:
x軸上取2個點的有
13、A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,共4種;
y軸上取2個點的有B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,共4種;
z軸上取2個點的有C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共4種.
所選取的3個點在不同坐標軸上有A1B1C1,A1B1C2,A1B2C1,A1B2C2,A2B1C1,A2B1C2,A2B2C1,A2B2C2,共8種.因此,從這6個點中隨機選取3個點的所有可能結(jié)果共20種.
(1)選取的這3個點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的所有可能結(jié)果有A1B1C1,A2B2C2,共2種,因此,這3個點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點
14、的概率為P1==.
(2)選取的這3個點與原點O共面的所有可能結(jié)果有A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共12種,因此,這3個點與原點O共面的概率為P2==.
14.(2010福建,12分)設(shè)平面向量am=(m,1),bn=(2,n),其中m,n∈{1,2,3,4}.
(1)請列出有序數(shù)組(m,n)的所有可能結(jié)果;
(2)記“使得am⊥(am-bn)成立的(m,n)”為事件A,求事件A發(fā)生的概率.
解:(1)有序數(shù)組(m,n)的所有可能結(jié)果為:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個.
(2)由am⊥(am-bn)得m2-2m+1-n=0,即n=(m-1)2.
由于m,n∈{1,2,3,4},故事件A包含的基本事件為(2,1)和(3,4),共2個.又基本事件的總數(shù)為16,故所求的概率為P(A)==.
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