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第五節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
【考綱下載】
1．了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景．
2．理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算．
3．理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點．
4．知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．
②a的n次方根的表示：
xn＝a?
(2)根式的性質(zhì)
①()n＝a(n∈N*)．[來源:]
②＝
2．有理數(shù)指數(shù)冪
2、(1)冪的有關(guān)概念：
①正分數(shù)指數(shù)冪：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②負分數(shù)指數(shù)冪：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義．
(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
y＝ax[來源:]
a＞1
0＜a＜1
圖象
定義域
R
值域
(0，＋∞)
性質(zhì)[來源:]
過定點(0,1)
當x＞0時，y＞1；
x＜0時，0＜y＜1
當
3、x＞0時，0＜y＜1；
x＜0時，y＞1
在R上是增函數(shù)
在R上是減函數(shù)
1.＝a成立的條件是什么？
提示：當n為奇數(shù)時，a∈R；當n為偶數(shù)時，a≥0.
2．如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系如何？你能得到什么規(guī)律？
提示：圖中直線x＝1與它們圖象交點的縱坐標即為它們各自底數(shù)的值，即c1>d1>1>a1>b1，所以，c>d>1>a>b，即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大．
3．當a>0，且a≠1時，函數(shù)y＝ax，y＝a|x|，y＝|ax|，y＝x之間有何關(guān)系？
提示
4、：y＝ax與y＝|ax|是同一個函數(shù)的不同表現(xiàn)形式；函數(shù)y＝a|x|與y＝ax不同，前者是一個偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，當x≥0時兩函數(shù)圖象相同；y＝ax與y＝x的圖象關(guān)于y軸對稱．
1．化簡[(－2)6]－(－1)0的結(jié)果為( )
A．－9 B．－10 C．9 D．7
解析：選D [(－2)6]－(－1)0＝(26)－1＝8－1＝7.
2．化簡(x<0，y<0)得( )
A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y
解析：選D?。?x2|y|＝－2x2y.
3．函數(shù)f(x)＝3x＋1的值域為
5、( )
A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞)
解析：選B ∵3x＞0，∴3x＋1＞1，即函數(shù)f(x)＝3x＋1的值域為(1，＋∞)．
4．當a＞0且a≠1時，函數(shù)f(x)＝ax－2－3的圖象必過定點________．
解析：令x－2＝0，則x＝2，y＝1－3＝－2，故函數(shù)f(x)＝ax－2－3的圖象必過定點(2，－2)．
答案：(2，－2)
5．若指數(shù)函數(shù)f(x)＝(a－2)x為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________．
解析：∵f(x)＝(a－2)x為減函數(shù)，∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3.
答案：(2,3).
前沿熱點(三)
6、
指數(shù)函數(shù)與不等式的交匯問題
1．高考對指數(shù)函數(shù)的考查多以指數(shù)與指數(shù)函數(shù)為載體，考查指數(shù)的運算和函數(shù)圖象的應(yīng)用，且常與函數(shù)性質(zhì)、二次函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容交匯命題．
2．解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知(或構(gòu)造)指數(shù)函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)的圖象或性質(zhì)建立相關(guān)關(guān)系式求解．
[典例] (2012浙江高考)設(shè)a＞0，b＞0，( )
A．若2a＋2a＝2b＋3b，則a＞b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，則a＜b
C．若2a－2a＝2b－3b，則a＞b
D．若2a－2a＝2b－3b，則a＜b
[解題指導] 分析題目選項的特點，可構(gòu)造函數(shù)f(x)＝2x＋2x，然后利用其單調(diào)性解決．
[解
7、析] ∵a>0，b>0，
∴2a＋2a＝2b＋3b>2b＋2b.
令f(x)＝2x＋2x(x>0)，則函數(shù)f(x)為單調(diào)增函數(shù)．
∴a>b.
[答案] A
[名師點評] 解決本題的關(guān)鍵有以下兩點：
(1)通過放縮，將等式問題轉(zhuǎn)化為不等式問題；
(2)構(gòu)造函數(shù)，并利用其單調(diào)性解決問題．
設(shè)函數(shù)f(x)＝32x－23x＋a2－a－5，當0≤x≤1時，f(x)＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：f(x)＝32x－23x＋a2－a－5＝(3x－1)2＋a2－a－6，∵0≤x≤1，∴1≤3x≤3，∴函數(shù)f(x)＝32x－23x＋a2－a－5在0≤x≤1上是增函數(shù)，f(x)＞0恒成立?f(0)＞0，f(0)＝1－2＋a2－a－5＝a2－a－6＝(a－3)(a＋2)＞0，∴a＞3或a＜－2.
答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)
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高考數(shù)學復習：第二章 ：第五節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
