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1、
第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和
1.理解等比數(shù)列的概念.
2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.
3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.
4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.
知識梳理
一、等比數(shù)列的定義
一般的，一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的比都是同一個常數(shù)，即＝q(n∈N*)，則這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
二、等比數(shù)列的通項公式
若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則an＝a1qn－1.
三、等比數(shù)列的前n項和公式
當q＝1時，Sn＝na1，
當q≠1時，S
2、n＝＝.
四、等比中項
如果三個數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，即G＝.
五、等比數(shù)列的主要性質(zhì)
1．a(chǎn)n＝amqn－m(n，m∈N*)．
2．對于任意正整數(shù)m，n，r，s，只要滿足m＋n＝r＋s，則aman＝aras.
3．對于任意正整數(shù)p，r，s，如果p＋r＝2s，則apar＝a2s.
4．對任意正整數(shù)n>1，有a2n＝an－1an＋1.
5．對于任意非零實常數(shù)b，{ban}也是等比數(shù)列．
6．若{an}，{bn}是等比數(shù)列，則{anbn}也是等比數(shù)列．
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7．等比數(shù)列中，如果an>0，則{logaan}是等差數(shù)列．
8．若數(shù)列{l
3、ogaan}成等差數(shù)列，則{an}成等比數(shù)列．
9．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比數(shù)列．
10．若數(shù)列是等比數(shù)列，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比數(shù)列，所以(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)．
基礎(chǔ)自測
1．(2012北京西城區(qū)模擬) 若數(shù)列{an}是公比為4的等比數(shù)列，且a1＝2，則數(shù)列{log2an}是( A )
A．公差為2的等差數(shù)列
B．公差為lg 2的等差數(shù)列
C．公比為2的等比數(shù)列
D．公比為lg 2的等比數(shù)列
2．(2013廣東卷)設(shè)數(shù)列{an}是首項為1，公比為
4、－2的等比數(shù)列，則a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝_______
解析：顯然a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.
答案：15
3．在正項數(shù)列{an}中，a1＝2，點(，)(n≥2)在直線x－y＝0上，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________.
解析：點(，)在直線x－y＝0上，
∴－＝0，∴＝，
∴＝()n－1＝()n，∴an＝2n，
∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
1．(2013大綱全國卷) 已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項和等于( )
A．－6(1
5、－3－10) B. (1－310)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
解析：由3an＋1＋an＝0，得an≠0(否則a2＝0)且＝－，所以數(shù)列{an}是公比為－的等比數(shù)列，代入a2可得a1＝4，故S10＝＝3＝3(1－3－10)．
答案：C
2．(2013陜西卷)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項和.
(1)若{an}為等差數(shù)列，推導(dǎo)Sn的計算公式；
(2)若a1＝1，q≠0且對所有正整數(shù)n, 有Sn＝. 判斷{an}是否為等比數(shù)列.
解析：(1) 設(shè)公差為d，則an＝a1＋(n－1)d，
?2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋a
6、n－1)＋…＋(an－1＋a1)＋(an＋a1)
?2Sn＝n(a1＋an)
?Sn＝ ＝n.
(2)a1＝1，q≠0由題意知q≠1.
?n∈N*，Sn＝?an＋1＝
Sn＋1－Sn＝－＝＝qn，
an＝?an＝qn－1 ，n∈N*.
所以，數(shù)列{an}是首項a1＝1，公比q≠1的等比數(shù)列.
1．(2012衡陽八中月考)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a1a2a3＝5，a4a5a6＝5，則a7a8a9＝( )
A．10 B．2 C．8 D.
解析：因為a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，公比為，所以a7a8a
7、9＝(a1a2a3)q2＝10.故選A.
答案：A
2．(2013遼寧沈陽第二次質(zhì)檢文改編)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，其中a1＝1，Sn＝3Sn－1＋1(n＞1，n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，求Tn.
解析：(1)由Sn＝3Sn－1＋1(n＞1，n∈N*)，得Sn＋1＝3Sn＋1，
所以Sn＋1－Sn＝3(Sn－Sn－1)，即an＋1＝3an，
所以＝3(n＞1，n∈N*)．
又a1＝1，得S2＝3a1＋1＝a1＋a2, 所以a2＝3, 所以＝3.
所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，所以an＝3n－1.
(2)因為數(shù)列{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，
所以Tn＝＝.
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