2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識名師講義 第四章 第一節(jié)向量與向量的線性運(yùn)算 文

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1、 【金版學(xué)案】2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識名師講義 第四章 第一節(jié)向量與向量的線性運(yùn)算 文 近三年廣東高考中對本章考點(diǎn)考查的情況 年份 題號 賦分 所考查的知識點(diǎn) 2011 3 5 向量的坐標(biāo)形式、向量平行、參數(shù)確定 6 5 向量坐標(biāo)形式的數(shù)量積的最大值(與線性規(guī)劃綜合) 2012 1 5 復(fù)數(shù)的乘、除法 3 5 向量的坐標(biāo)運(yùn)算 10 5 向量的夾角(與集合綜合) 1 5 復(fù)數(shù)的乘、除法 2013 3 5 復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模 10 5 向量的三角形法則、平面向量基本定理 本章主要包括兩個(gè)內(nèi)容：平面向量、

2、復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算． 1．平面向量的復(fù)習(xí)，主要掌握以下幾點(diǎn)： (1)平面向量的相關(guān)概念：主要有相等向量、相反向量、零向量、共線向量、向量的模、兩個(gè)向量的夾角等，這些概念是向量的基礎(chǔ)． (2)平面向量的線性運(yùn)算：向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算，要注意向量共線的充要條件的應(yīng)用． 2 / 12 (3)平面向量的基本定理：這個(gè)定理是平面向量的核心，有了這個(gè)定理，實(shí)現(xiàn)了平面向量的坐標(biāo)化運(yùn)算． (4)平面向量的數(shù)量積是平面向量的主要公式，利用這個(gè)公式，可以求出兩個(gè)向量的夾角，判斷兩個(gè)向量的垂直與平行． 2．復(fù)數(shù)的復(fù)習(xí)，主要掌握以下幾點(diǎn)： (1)復(fù)數(shù)的概念：復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部

3、，復(fù)數(shù)的相等，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模． (2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中，除法運(yùn)算是將分母實(shí)數(shù)化． (3)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義． 預(yù)測高考對平面向量的考查仍以小題考查重要知識點(diǎn)，以中、低難度為主；在解答題中，會(huì)與三角函數(shù)、解三角形、解析幾何等結(jié)合綜合考查向量的應(yīng)用．對復(fù)數(shù)的考查，仍會(huì)以小題考查復(fù)數(shù)的概念與四則運(yùn)算，以容易題為主． 1．復(fù)習(xí)平面向量內(nèi)容時(shí)要注意： (1)向量具有大小和方向兩個(gè)要素．用有向線段表示向量時(shí)，與有向線段起點(diǎn)的位置沒有關(guān)系，同向且等長的有向線段都表示同一向量． (2)共線向量和平面向量的兩條基本定理，揭示了共線向量和平面向量的基本結(jié)構(gòu)，它們是進(jìn)一步研究向量

4、的基礎(chǔ)． (3)向量的加、減、數(shù)乘是向量的線性運(yùn)算，其結(jié)果仍是向量．向量的數(shù)量積結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)．向量的數(shù)量積，可以計(jì)算向量的長度、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離、兩個(gè)向量的夾角，判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直． (4)向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算有異同點(diǎn)，學(xué)習(xí)時(shí)要注意這一點(diǎn)，如數(shù)量積不滿足結(jié)合律． (5)要注意向量在幾何、三角、物理學(xué)中的應(yīng)用． (6)平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算是高考的重點(diǎn)，復(fù)習(xí)中要注意培養(yǎng)準(zhǔn)確的運(yùn)算能力和靈活運(yùn)用知識的能力． 2．對于復(fù)數(shù)，《課標(biāo)》及《考綱》的要求有以下三點(diǎn)：理解復(fù)數(shù)的基本概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件，會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算．所以在復(fù)習(xí)中應(yīng)掌握好以下幾個(gè)方面： (

5、1)掌握好復(fù)數(shù)的基本概念和復(fù)數(shù)表示實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的充要條件． (2)熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除運(yùn)算法則．在運(yùn)算過程中要注意復(fù)數(shù)運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)運(yùn)算法則的區(qū)別． 第一節(jié) 向量與向量的線性運(yùn)算 1．平面向量的實(shí)際背景及基本概念． (1)了解向量的實(shí)際背景． (2)理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義． (3)理解向量的幾何表示． 2．向量的線性運(yùn)算． (1)掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義． (2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義，理解兩個(gè)向量共線的含義． (3)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義． 知識梳理 一、向

6、量的有關(guān)概念 1．平面向量． 平面內(nèi)既有大小又有方向的量叫做向量． 向量一般用a，b，c，……來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如.向量的大小即向量的模(長度)，記作||，向量a的大小，記作|a|. 向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。? 2．零向量． 長度為零的向量叫做零向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行．零向量a＝0?|a|＝0. 由于0的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行(共線)的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件(注意“0”與“0”的區(qū)別)． 3．單位向量． 模為1個(gè)單位長度的向量叫做單位向量．向量a0為單位向

7、量?|a0|＝1. 4．平行向量(共線向量)． 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，記作a∥b.由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量． 　數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取，這里必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的． 5．相等向量． 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為a＝b. 二、向量的運(yùn)算 1．向量的加法． 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法． 設(shè)＝a，＝b

8、，則a＋b＝＋＝. 規(guī)定：(1)0+a＝a＋0=a； (2)向量加法滿足交換律與結(jié)合律． 向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：＋＋＋…＋＋＝，但這時(shí)必須“首尾相連”． 2．向量的減法． (1)相反向量：與a長度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，記作－a.零向量的相反向量仍是零向量． 關(guān)于相反向量有：①－(－a)＝a；②a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；③若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. (2)向量的減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作a－b＝a＋(－b)．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法． (3)作圖法：a－b可以表示為從b的終點(diǎn)指向

9、a的終點(diǎn)的向量(a，b有共同起點(diǎn))． 3．向量加、減法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”． (1)用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量． (2)三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和，差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)． 當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則． 4．實(shí)數(shù)與向量的積． (1)實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下： ①＝； ②當(dāng)

10、λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng) λ＝0時(shí)，λa＝0，方向是任意的． (2)數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律． 三、兩個(gè)向量共線定理 向量b與非零向量a共線?有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λ a． 基礎(chǔ)自測 1．(2012·惠州調(diào)研)已知向量a，b，則“a∥b”是“a＋b＝0”的________條件(　　) A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 解析：“a∥b”只要求兩向量共線，而“a＋b＝0”要求反向共線且模相等．故選B. 答案：B 2

11、．(2013·增城下學(xué)期調(diào)研)設(shè)M是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)，O為任意一點(diǎn)，則＋＋＋＝(　　) A. B．2 C．3 D．4 解析：在△OAC中，M為AC中點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形法則，有＋＝2，同理有＋＝2，所以＋＋＋＝4.故選D. 答案：D 3．如圖， e1，e2為互相垂直的單位向量，則向量a－b可表示為________________． 解析：如圖所示，a－b＝e1－3e2. 答案：e1－3e2 4．(2013·江蘇南通高三期末考試)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且3a＋4b＋

12、5c＝0，則abc＝________. 解析：由3a＋4b－5c(＋)＝0. 得3a＋4b－5c－5c＝0. 即(3a－5c)＋(4b－5c)＝0. 因?yàn)榕c不共線，所以3a－5c＝0，且4b－5c＝0. 所以abc＝201512. 答案：201512 1．如圖，正六邊形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0　　　　　B. C. D. 解析：＋＋＝＋＋＝.故選D. 答案：D 2．(2013·四川卷)如圖， 在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，＋＝λ，則λ＝________. 解析：由于

13、ABCD為平行四邊形，對角線AC與BD交于點(diǎn)O， 所以＋＝＝2，所以λ＝2. 答案：2 1．(2012·揭陽模擬)已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，且＋＋＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：由＋＋＝0得＋＝，由O為△ABC外接圓的圓心，結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形，且∠CAO＝60°，從而△ABC的內(nèi)角∠A＝30°.故選A. 答案：A 2．(2012·華南師大附中綜合測試)在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD和BC的中點(diǎn)，若＝λ＋γ，其中λ，γ∈R，則λ＋γ＝________. 解析：由向量加法的三角形法則得＝＋＝(－)＋(－)＝(＋)－(＋)＝(＋)－(＋)＝(＋)－， 所以＝(＋)，所以λ＋γ＝＋＝. 答案： 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！