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1、
第八章第7課時(shí) 雙曲線 課時(shí)闖關(guān)（含解析）
一、選擇題
1．若橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，則雙曲線－＝1的漸近線方程為( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±4x D．y＝±x
解析：選A.由題意＝，所以a2＝4b2.
故雙曲線的方程可化為－＝1，
故其漸近線方程為y＝±x.
2．(2012·保定質(zhì)檢)已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( )
A．雙曲線 B．雙曲線左邊一支
C．雙曲線右邊一支 D．一條射線
解析：選C
2、.∵|PM|－|PN|＝3<4，由雙曲線定義知，其軌跡為雙曲線的一支，又∵|PM|>|PN|，
∴點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支．
3．已知點(diǎn)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF2|－|PF1|＝2，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是( )
A. B.
C. D．2
解析：選A.由已知可知c＝，a＝1，∴b＝1，
∴雙曲線方程為x2－y2＝1(x≤－1)．
將y＝代入可求P的橫坐標(biāo)為x＝－.
∴點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為 ＝.
4．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)，F(xiàn)1是左焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P，使|PO|＝|PF1|，
3、則此雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A．(1,2] B．(1，＋∞)
C．(1,3) D．[2，＋∞)
解析：選D.由|PO|＝|PF1|得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x1＝－，因?yàn)镻在雙曲線的左支上，所以－≤－a，即e＝≥2.故選D.
5．(2011·高考課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為( )
A. B.
C．2 D．3
解析：選B.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，由于直線l過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸垂直，因此直線l的方程為l：x＝c或x＝－
4、c，代入－＝1得y2＝b2＝，∴y＝±，故|AB|＝，依題意＝4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝.
二、填空題
6．與橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)，且以y＝±x為漸近線的雙曲線方程為_(kāi)_______．
解析：雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，且半焦距c＝＝5.
又＝，a2＋b2＝c2，
∴a＝3，b＝4，所求雙曲線方程為－＝1.
答案：－＝1
7．(2012·武漢調(diào)研)與橢圓＋y2＝1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P(2,1)的雙曲線方程為_(kāi)_______．
解析：設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，
∴a2＋b2＝4－1＝3，
又－＝1，解得a2＝2，b2＝1
5、，
∴雙曲線的方程為－y2＝1.
答案：－y2＝1
8．設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在雙曲線上，且·＝0，則|＋|＝________.
解析：因?yàn)镕1、F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)，所以F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．由題意知|＋|＝2||＝|F1F2|＝2.
答案：2
三、解答題
9．已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．
解：橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5.
設(shè)雙曲線G的方程為
6、－＝1(a＞0，b＞0)，
∴漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3.
∴＝3，得a＝3，b＝4，
∴雙曲線G的方程為－＝1.
10．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，且＝.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知直線x－y＋m＝0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x2＋y2＝5上，求m的值．
解：(1)由題意，得解得a＝1，c＝，
∴b2＝c2－a2＝2，
∴所求雙曲線C的方程為x2－＝1.
(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
線段A
7、B的中點(diǎn)為M(x0，y0)，
由得x2－2mx－m2－2＝0(判別式Δ>0)，
∴x0＝＝m，
y0＝x0＋m＝2m，
∵點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＝5上，
∴m2＋(2m)2＝5，∴m＝±1.
11．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且點(diǎn)(4，－)在雙曲線上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上；
(3)求△F1MF2的面積．
解：(1)∵離心率e＝，∴雙曲線為等軸雙曲線，
可設(shè)其方程為x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵點(diǎn)(4，－)在雙曲線上，
∴λ＝42－(－)2＝6.
∴所求雙曲線方程為x2－y2＝6.
(2)證明：若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，則32－m2＝6，
∴m2＝3.
由雙曲線x2－y2＝6知焦點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝9－(2)2＋m2＝0，即⊥，故點(diǎn)M在以F1F2 為直徑的圓上．
(3)S△F1MF2＝×|F1F2|×|m|＝2×＝6.
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