2015高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)配套文檔：第8章 第8節(jié)　曲線與方程

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1、 第八節(jié)　曲線與方程 【考綱下載】 了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 1．曲線與方程 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解； (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)． 那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線． 曲線可以看作是符合某條件的點(diǎn)的集合，也可看作是適合某種條件的點(diǎn)的軌跡，因此，此類(lèi)問(wèn)題也叫軌跡問(wèn)題． 2．求曲線方程的基本步驟 1．若曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系中只滿(mǎn)足(2)會(huì)怎樣？

2、提示：若只滿(mǎn)足“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)”，則以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合形成的曲線可能是已知曲線的一部分，也可能是整條曲線． 2．動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡有什么區(qū)別？ 提示：“求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程”和“求動(dòng)點(diǎn)的軌跡”是不同的，前者只需求出軌跡的方程，標(biāo)出變量x，y的范圍；后者除求出方程外，還應(yīng)指出方程表示的曲線的圖形，并說(shuō)明圖形的形狀、位置、大小等有關(guān)數(shù)據(jù)． 1．已知命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，則下列命題中正確的是(　　) A．滿(mǎn)足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上 B．方程f(x，y)＝0是曲線C的方程 C．方程f(

3、x，y)＝0所表示的曲線不一定是曲線C D．以上說(shuō)法都正確 解析：選C　因?yàn)榍€C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲線上的某一小段，因此只有C正確． 2．已知曲線C的方程為x2－xy＋y－5＝0，則下列各點(diǎn)中，在曲線C上的點(diǎn)是(　　) A．(－1,2) B．(1，－2) 1 / 3 C．(2，－3) D．(3,6) 解析：選A　將四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)一一代入曲線C的方程，只有A選項(xiàng)成立，因此(－1,2)在曲線C上． 3．函數(shù)y＝的圖象是(　　) A．拋物線 B．圓的一部分 C．拋物線的一部分

4、 D．以上都不是 解析：選C　函數(shù)y＝的定義域是x≥0，值域是y≥0，則y＝，即y2＝4x(x≥0)，所以函數(shù)y＝的圖象是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線位于x軸上方的部分． 4．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．雙曲線 B．雙曲線左支 C．一條射線 D．雙曲線右支 解析：選C　根據(jù)雙曲線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡類(lèi)似雙曲線，但不滿(mǎn)足2c>2a>0的條件，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線． 5．設(shè)定點(diǎn)F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件|PF1|＋|PF2|＝a＋(

5、a>0)，則點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段 解析：選D　當(dāng)a＝3時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段，當(dāng)a≠3時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓． 方法博覽(七) 利用參數(shù)法求軌跡方程 在求點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足的幾何條件不易求得，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)過(guò)分析可發(fā)現(xiàn))這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)或兩個(gè)變量(如斜率、比值、截距或坐標(biāo)等)的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)中的x，y分別隨另外變量的變化而變化，我們稱(chēng)這些變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法． [典例]　(2013·福建高考)如

6、圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10)．分別將線段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，連接OBi，過(guò)Ai作x軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)． (1)求證：點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程； (2)過(guò)點(diǎn)C作直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，若△OCM與△OCN的面積比為4∶1，求直線l的方程． [解題指導(dǎo)]　(1)設(shè)Ai的坐標(biāo)為(i,0)，則Bi的坐標(biāo)為(10，i)，可用i表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，得出P的參數(shù)方程．(2)設(shè)直線l的斜率為k，將直線

7、l的方程與拋物線的方程聯(lián)立，尋找M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由面積之比即可求出k的值． [解]　(1)法一：依題意，過(guò)Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線的方程為x＝i，Bi的坐標(biāo)為(10，i)，所以直線OBi的方程為y＝x. 設(shè)Pi的坐標(biāo)為(x，y)，由得y＝x2，即x2＝10y. 所以點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x2＝10y. 法二：點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在拋物線E：x2＝10y上． 證明如下：過(guò)Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線的方程為x＝i， Bi的坐標(biāo)為(10，i)， 所以直線OBi的方程為y

8、＝x.由解得Pi的坐標(biāo)為. 因?yàn)辄c(diǎn)Pi的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程x2＝10y， 所以點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x2＝10y. (2)依題意知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋10. 由得x2－10kx－100＝0， 此時(shí)Δ＝100k2＋400>0，直線l與拋物線E恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則因?yàn)镾△OCM＝4S△OCN，所以|x1|＝4|x2|. 又x1x2<0，所以x1＝－4x2，分別代入①和②，得解得k＝±. 所以直線l的方程為y＝±x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0. [點(diǎn)評(píng)]　參數(shù)法求軌跡方程的步驟： (1)選取參數(shù)k，用k表示動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)； (2)得出動(dòng)點(diǎn)M的參數(shù)方程為 (3)消去參數(shù)k，得M的軌跡方程； (4)由k的范圍確定x、y的范圍. 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！