高考數(shù)學理二輪復習教師用書：第1部分 重點強化專題 專題2 第4講　數(shù)列求和 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第4講　數(shù)列求和 題型1　數(shù)列中an與Sn的關(guān)系 (對應學生用書第11頁) ■核心知識儲備……………………………………………………………………… 1．數(shù)列{an}中，an與Sn的關(guān)系： an＝ 2．求數(shù)列{an}通項的方法： (1)疊加法 形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的數(shù)列應用疊加法求通項公式，an＝a1＋f(k)(和可求)． (2)疊乘法 形如＝f(n)(n≥2)的數(shù)列應用疊乘法求通項公式，an＝a1…(積可求)． (3)待定系數(shù)法 形如an＝λan

2、－1＋μ(n≥2，λ≠1，μ≠0)的數(shù)列應用待定系數(shù)法求通項公式，an＋＝λ． ■典題試解尋法……………………………………………………………………… 【典題1】　(考查已知an與Sn的遞推關(guān)系求Sn)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋2.若首項a1＝2，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________. [解析]　因為an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，故{an＋1}是以a1＋1＝3為首項，3為公比的等比數(shù)列， 所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1. Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(31－1)＋(32－1)＋…＋(3n－1)＝(31＋32＋…＋3n)－n＝－n＝

3、－n， 所以Sn＝－n＝. [答案]　 【典題2】　(考查已知an與Sn的遞推關(guān)系求an)數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足＝1(n≥2)．求數(shù)列{an}的通項公式． [解]　由已知，當n≥2時，＝1， 所以＝1， 即＝1，所以－＝. 又S1＝a1＝1， 所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列， 所以＝1＋(n－1)＝， 即Sn＝. 所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝－. 因此an＝ [類題通法] 給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的

4、遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an. 提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通項公式時，務(wù)必驗證n＝1時的情形 ■對點即時訓練……………………………………………………………………… 1．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，若a1＝，則a2 018＝(　　) A．－1　 B． C．1 D．2 D　[由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…， 于是歸納可得a3n－2＝，a3n－1＝2，a3n＝－1，因此a2 018＝a3672＋2＝2.故選D.] 2．已知數(shù)列{an}前n項和為Sn，若Sn＝2an－2n ，則Sn＝__________.

5、 n2n(n∈N*)　[由Sn＝2an－2n得當n＝1時，S1＝a1＝2；當n≥2時，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，即－＝1，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則＝n，Sn＝n2n(n≥2)，當n＝1時，也符合上式，所以Sn＝n2n(n∈N*)．] ■題型強化集訓……………………………………………………………………… (見專題限時集訓T1、T2、T3、T4、T5、T7、T8、T10、T11、T12) 題型2　裂項相消法求和(答題模板) (對應學生用書第12頁) 裂項相消法是指把數(shù)列與式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中{an}為等差數(shù)

6、列)等形式的數(shù)列求和．(20xx全國Ⅱ卷T15、20xx全國Ⅰ卷T17、20xx全國Ⅱ卷T16) ■典題試解尋法……………………………………………………………………… 【典題】　(本小題滿分12分)(20xx全國Ⅰ卷)Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知an＞0，.① (1)求{an}的通項公式； (2)設(shè)，②求數(shù)列{bn}的前n項和. 【導學號：07804027】 [審題指導] 題眼 挖掘關(guān)鍵信息 ① 看到a＋2an＝4Sn＋3， 想到a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3，兩式作差，求{an}. ② 看到bn＝， 想到先求bn，想到能否裂項. [規(guī)范解答]　(1)由a

7、＋2an＝4Sn＋3，可知.③ 1分 兩式相減可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 2分 即.④ 由于⑤，所以an＋1－an＝2. 4分 又由a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 5分 所以{an}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an＝2n＋1. 6分 (2)由an＝2n＋1可知bn＝＝.⑥ 8分 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝. 12分 [閱卷者說] 易錯點 防范措施 ③忽視an與Sn的關(guān)系導致思路不清. an＝Sn－Sn－1(n≥2)是聯(lián)系an與Sn的橋梁，常借助其實現(xiàn)互化關(guān)系. ④

8、忽視化簡、因式分解致誤. 當?shù)仁街谐霈F(xiàn)二元二次方程時，?？紤]因式分解. ⑤忽視題設(shè)條件an＞0，導致增解. 對題設(shè)條件可適當標注，以引起注意，同時解題后要反思總結(jié). ⑥忽視裂項或裂項后與原式不等價. 形如的數(shù)列常用裂項相消法求和，裂項后要注意系數(shù)的變化. [類題通法] 裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，常見的裂項方式有： 提醒：在裂項變形時，務(wù)必注意裂項前的系數(shù). ■對點即時訓練……………………………………………………………………… (20xx鄭州第三次質(zhì)量預測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－2，且滿

9、足Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝log3(－an＋1)，設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，求證：Tn＜. [解]　(1)由Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)，得Sn－1＝an＋n(n≥2，n∈N*)， 兩式相減，并化簡，得an＋1＝3an－2， 即an＋1－1＝3(an－1)，又a1－1＝－2－1＝－3≠0， 所以{an－1}是以－3為首項，3為公比的等比數(shù)列， 所以an－1＝(－3)3n－1＝－3n. 故an＝－3n＋1. (2)證明：由bn＝log3(－an＋1)＝log33n＝n，得＝＝， Tn＝＝＝－＜. ■題型強化集

10、訓……………………………………………………………………… (見專題限時集訓T6、T9、T13) 題型3　錯位相減法求和 (對應學生用書第13頁) ■核心知識儲備……………………………………………………………………… 錯位相減法：用于等差數(shù)列{an}，等比數(shù)列{bn}構(gòu)成的數(shù)列{anbn}，乘公比q作差． ■典題試解尋法……………………………………………………………………… 【典題】　設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 【導學號：07804028】 [解

11、]　(1)因為a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① 所以當n≥2時，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，② 由①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)． 在①中，令n＝1，得a1＝，適合an＝， 所以an＝(n∈N*)． (2)證明：由(1)可得bn＝＝n3n， Sn＝131＋232＋333＋…＋n3n，③ 3Sn＝132＋233＋334＋…＋n3n＋1，④ 由③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋34＋…＋3n－n3n＋1＝－n3n＋1， 故Sn＝＋. [類題通法]　 　 　 　 用錯位相減法求和時，應注意： (1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)

12、列公比為負數(shù)的情形. (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式. (3)應用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果不能確定公比q是否為1，應分兩種情況進行討論，這在以前的高考中經(jīng)?？疾? ■對點即時訓練……………………………………………………………………… 已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比q＞0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，求{bn}的前n項和Tn. [解]　(1)S2＝2a2－2①，S3＝a4－2②， ②－①得a3＝a4－2

13、a2，則q2－q－2＝0， 又∵q＞0，∴q＝2. ∵S2＝2a2－2， ∴a1＋a2＝2a2－2， ∴a1＋a1q＝2a1q－2， ∴a1＝2. ∴an＝2n. (2)由(1)知bn＝， ∴Tn＝＋＋＋…＋＋， Tn＝＋＋＋…＋＋. 錯位相減得 Tn＝＋＋＋＋…＋－， 可得Tn＝2－. ■題型強化集訓……………………………………………………………………… (見專題限時集訓T14) 三年真題| 驗收復習效果 (對應學生用書第14頁) 1．(20xx全國Ⅰ卷)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件．為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件

14、激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20,21，再接下來的三項是20,21,22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是(　　) A．440　 B．330 C．220 D．110 A　[設(shè)首項為第1組，接下來的兩項為第2組，再接下來的三項為第3組，依此類推，則第n組的項數(shù)為n，前n組的項數(shù)和為. 由題意知，N>100，令＞100?n≥14且n∈N*，即N出現(xiàn)在第13組之后． 第n組的各項和為＝2n－

15、1，前n組所有項的和為－n＝2n＋1－2－n. 設(shè)N是第n＋1組的第k項，若要使前N項和為2的整數(shù)冪，則N－項的和即第n＋1組的前k項的和2k－1應與－2－n互為相反數(shù)，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)?n最小為29，此時k＝5，則N＝＋5＝440.故選A.] 2．(20xx全國Ⅱ卷)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝________. 【導學號：07804029】 　[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則 由得 ∴Sn＝n1＋1＝， ＝＝2. ∴＝＋＋＋…＋ ＝2 ＝2＝.] 3．(20xx全國Ⅱ卷)設(shè)Sn是數(shù)列{

16、an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. －　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1. 又＝－1，∴是首項為－1，公差為－1的等差數(shù)列． ∴＝－1＋(n－1)(－1)＝－n，∴Sn＝－.] 4.(20xx全國Ⅱ卷)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝1，S7＝28.記bn＝[lg an]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b1，b11，b101； (2)求數(shù)列{bn}的前1 000項和． [解]　(1)設(shè){an}的公差為d，據(jù)已知有7＋21d＝28，解得d＝1. 所以{an}的通項公式為an＝n. b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2. (2)因為bn＝ 所以數(shù)列{bn}的前1 000項和為190＋2900＋31＝1 893.