高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第3節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案 理 北師大版

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高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第3節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案 理 北師大版_第1頁(yè)
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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第三節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) [考綱傳真] (教師用書(shū)獨(dú)具)1.能畫(huà)出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖像,了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點(diǎn)等),理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第51頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖 正弦函數(shù)y=sin x,x∈[0,2π]圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,0),,(π,0),,(2π,0). 余弦函數(shù)y=c

2、os x,x∈[0,2π]圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1). 2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) 函數(shù) y=sin x y=cos x y=tan x 圖像 定義域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] R 單調(diào)性 遞增區(qū)間:,k∈Z,遞減區(qū)間:,k∈Z 遞增區(qū)間: [2kπ-π,2kπ], k∈Z, 遞減區(qū)間: [2kπ,2kπ+π], k∈Z 遞增區(qū)間 , k∈Z 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)中心(kπ,0),k∈Z 對(duì)稱(chēng)中心,k∈Z 對(duì)稱(chēng)中心,k∈Z

3、 對(duì)稱(chēng)軸x=kπ+(k∈Z) 對(duì)稱(chēng)軸x=kπ(k∈Z) 周期性 2π 2π π [知識(shí)拓展] 1.若f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),則 (1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ=+kπ(k∈Z); (2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ(k∈Z). 2.f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0). (1)f(x)為奇函數(shù)的充要條件:φ=kπ+,k∈Z. (2)f(x)為偶函數(shù)的充要條件:φ=kπ,k∈Z. [基本能力自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”) (1)常數(shù)函數(shù)f(x)=a是周期函數(shù),它沒(méi)有

4、最小正周期.(  ) (2)函數(shù)y=sin x的圖像關(guān)于點(diǎn)(kπ,0)(k∈Z)中心對(duì)稱(chēng).(  ) (3)正切函數(shù)y=tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù).(  ) (4)已知y=ksin x+1,x∈R,則y的最大值為k+1.(  ) (5)y=sin |x|是偶函數(shù).(  ) [答案] (1)√ (2)√ (3) (4) (5)√ 2.(20xx全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=sin的最小正周期為(  ) A.4π        B.2π C.π D. C [函數(shù)f(x)=sin的最小正周期T==π.故選C.] 3.函數(shù)y=tan 2x的定義域是(  ) A. B. C.

5、D. D [由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z, 所以y=tan 2x的定義域?yàn)?] 4.函數(shù)y=sin,x∈[-2π,2π]的單調(diào)遞增區(qū)間是(  ) A. B.和 C. D. C [令z=x+,函數(shù)y=sin z的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z),由2kπ-≤x+≤2kπ+得4kπ-≤x≤4kπ+,而x∈[-2π,2π],故其單調(diào)遞增區(qū)間是,故選C.] 5.(教材改編)函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值為_(kāi)_______. - [由已知x∈,得2x-∈, 所以sin∈,故函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值為-.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第52頁(yè)) 三角函數(shù)

6、的定義域與值域  (1)(20xx全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=cos 2x+6cos的最大值為(  ) A.4  B.5    C.6    D.7 (2)函數(shù)y=lg sin x+的定義域?yàn)開(kāi)_______. (1)B (2) [(1)∵f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x =1-2sin2x+6sin x=-2+, 又sin x∈[-1,1],∴當(dāng)sin x=1時(shí),f(x)取得最大值5.故選B. (2)要使函數(shù)有意義,則有 即 解得(k∈Z), ∴2kπ<x≤+2kπ,k∈Z. ∴函數(shù)的定義域?yàn)? .] [規(guī)律方法] 1.三角函數(shù)定義域的求

7、法 求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組),常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來(lái)求解. 2.求三角函數(shù)最值或值域的常用方法 (1)直接法:直接利用sin x和cos x的值域求解. (2)化一法:把所給三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,由正弦函數(shù)單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的值域. (3)換元法:把sin x,cos x,sin xcos x或sin xcos x換成t,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解. [跟蹤訓(xùn)練] (1)已知函數(shù)y=2cos x的定義域?yàn)?,值域?yàn)閇a,b],則b-a的值是(  ) A.2  B.3   C.+2   D.2- (2)函數(shù)y=sin x-cos

8、 x+sin x cos x,x∈[0,π]的值域?yàn)開(kāi)_______. (1)B (2)[-1,1] [(1)∵x∈,∴cos x∈,∴y=2cos x的值域?yàn)閇-2,1], ∴b-a=3. (2)設(shè)t=sin x-cos x, 則t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x, 即sin xcos x=,且-1≤t≤. ∴y=-+t+=-(t-1)2+1. 當(dāng)t=1時(shí),ymax=1; 當(dāng)t=-1時(shí),ymin=-1. ∴函數(shù)的值域?yàn)閇-1,1].] 三角函數(shù)的單調(diào)性  (1)函數(shù)f(x)=sin的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):791401

9、11】 (2)若函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則ω=________. (1)(k∈Z) (2) [(1)由已知函數(shù)為y=-sin,欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,只需求y=sin的單調(diào)增區(qū)間即可. 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 故所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z). (2)∵f(x)=sin ωx(ω>0)過(guò)原點(diǎn), ∴當(dāng)0≤ωx≤,即0≤x≤時(shí),y=sin ωx是增函數(shù); 當(dāng)≤ωx≤,即≤x≤時(shí),y=sin ωx是減函數(shù). 由f(x)=sin ωx(ω>0)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減知,=,∴ω=.

10、] [規(guī)律方法] 1.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法 (1)代換法:求形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要視“ωx+φ”為一個(gè)整體,通過(guò)解不等式求解.若ω<0,應(yīng)先用誘導(dǎo)公式化x的系數(shù)為正數(shù),以防止把單調(diào)性弄錯(cuò). (2)圖像法:畫(huà)出三角函數(shù)的圖像,利用圖像求它的單調(diào)區(qū)間. 2.已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后利用集合間的關(guān)系求解. [跟蹤訓(xùn)練] (1)函數(shù)y=|tan x|在上的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140112】 (2)已知函數(shù)f(x)=sin+cos 2x,則f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是(  ) A.  B.

11、 C. D. (1)和 (2)A [(1)如圖,觀察圖像可知,y=|tan x|在上的單調(diào)減區(qū)間為和. (2)由題意得f(x)=sin+cos 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x=sin,由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,令k=0,得函數(shù)y=f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為,故選A.] 三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性 ◎角度1 三角函數(shù)的奇偶性與周期性  (1)在函數(shù):①y=cos|2x|;②y=|cos x|;③y=cos2x+;④y=tan中,最小正周期為π的所有函數(shù)為(  ) A.②④ B.①③④ C.①②③

12、 D.①③ (2)函數(shù)y=1-2sin2是(  ) A.最小正周期為π的奇函數(shù) B.最小正周期為π的偶函數(shù) C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù) (1)C (2)A [(1)①y=cos|2x|=cos 2x,T=π. ②由圖像知,函數(shù)的周期T=π. ③T=π. ④T=. 綜上可知,最小正周期為π的所有函數(shù)為①②③. (2)y=1-2sin2=cos 2=-sin 2x,所以f(x)是最小正周期為π的奇函數(shù).] ◎角度2 三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性  (1)(20xx東北三省四市模擬(一))已知函數(shù)f(x)=2sin(ω>0)的周期為π,則下列選項(xiàng)正確的是(  )

13、 A.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) C.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng) D.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=-對(duì)稱(chēng) (2)已知ω>0,0<φ<π,直線x=和x=是函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖像的兩條相鄰的對(duì)稱(chēng)軸,則φ=(  ) A. B. C. D. (1)B (2)A [(1)因?yàn)棣兀剑?,所以f(x)=2sin.由2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),當(dāng)k=0時(shí),x=-,所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),故選B. (2)由題意得=2,∴ω=1, ∴f(x)=sin(x+φ),∴+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k

14、∈Z),又0<φ<π,∴φ=,故選A.] [規(guī)律方法] 1.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性 (1)若f(x)=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù),則當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最大或最小值;若f(x)=Asin(ωx+φ)為奇函數(shù),則當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0. (2)對(duì)于函數(shù)y=Asin(ωx+φ),其對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對(duì)稱(chēng)中心一定是函數(shù)的零點(diǎn),因此在判斷直線x=x0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心時(shí),可通過(guò)檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷. 2.求三角函數(shù)周期的方法: (1)利用周期函數(shù)的定義. (2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Ac

15、os(ωx+φ)的最小正周期為,y=tan(ωx+φ)的最小正周期為. (3)借助函數(shù)的圖像. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)=cos,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(  ) A.f(x)的一個(gè)周期為-2π B.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng) C.f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x= D.f(x)在單調(diào)遞減 (2)如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng),那么|φ|的最小值為(  ) A. B. C. D. (1)D (2) A [(1)A項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos的周期為2kπ(k∈Z),所以f(x)的一個(gè)周期為-2π,A項(xiàng)正確. B項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng),B項(xiàng)正確. C項(xiàng),f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-π,當(dāng)k=1時(shí),x=,所以f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=,C項(xiàng)正確. D項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos的遞減區(qū)間為(k∈Z),遞增區(qū)間為(k∈Z),所以是減區(qū)間,是增區(qū)間,D項(xiàng)錯(cuò)誤. 故選D. (2)由題意得3cos =3cos=3cos=0, 所以+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ-(k∈Z), 取k=0,得|φ|的最小值為.故選A.]

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