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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
一、填空題
1.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=(-1)n(2n2+4n+1)-1(n∈N*),且anbn=(-1)n,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則T10等于________.
解析:由Sn=(-1)n(2n2+4n+1)-1可求得an=(-1)n4n (n+1),所以bn=,于是T10=(1-+-+…+-)=.
答案:
2.?dāng)?shù)列{an}滿足an+an+1=(n∈N*),a1=-,Sn是{an}的前n項和,則S2 014=________.
解析:由題意得數(shù)列{an}的各項
2、為-,1,-,1,…,以2為周期的周期數(shù)列,所以S2 014=1 007=.
答案:
3.在數(shù)列{an}中,若對任意的n均有an+an+1+an+2為定值(n∈N*),且a7=2,a9=3,a98=4,則此數(shù)列{an}的前100項的和S100=________.
解析:由題設(shè)得an+an+1+an+2=an+1+an+2+an+3,
∴an=an+3,
∴a3k+1=2(k∈N),a3k+2=4(k∈N),a3k=3(k∈N*),
∴S100=342+334+333=299.
答案:299
4.已知等比數(shù)列{an}中,a1=3,a4=81,若數(shù)列{bn}滿足bn=log3an,
3、則數(shù)列{}的前n項和Sn=________.
解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則=q3=27,解得q=3.所以an=a1qn-1=33n-1=3n,故bn=log3an=n,所以==-.則數(shù)列{}的前n項和為1-+-+…+-=1-=.
答案:
5.若數(shù)列{an}是正項數(shù)列,且++…+=n2+3n(n∈N*),則++…+=________.
解析:令n=1得=4,即a1=16,當(dāng)n≥2時,=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=2n+2,所以an=4(n+1)2,當(dāng)n=1時,也適合,所以an=4(n+1)2(n∈N*).于是=4(n+1),故++…+=2n2+6n.
答案
4、:2n2+6n
6.設(shè)a1,a2,…,a50是從-1,0,1這三個整數(shù)中取值的數(shù)列,若a1+a2+…+a50=9且(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,則a1,a2,…,a50當(dāng)中取零的項共有________個.
解析:(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=a+a+…+a+2(a1+a2+…+a50)+50=107,
∴a+a+…+a=39,
∴a1,a2,…,a50中取零的項應(yīng)為50-39=11個.
答案:11
7.設(shè)函數(shù)f(x)=xm+ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2x+1,則數(shù)列{}(n∈N*)的前n項和是________.
解析:f′(x
5、)=mxm-1+a=2x+1,∴a=1,m=2,
∴f(x)=x(x+1),
==-,
用裂項法求和得Sn=.
答案:
8.設(shè)關(guān)于x的不等式x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整數(shù)的個數(shù)為an,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S100的值為________.
解析:由x2-x<2nx(n∈N*)得0
6、(-1)nn2,由an=f(n)+f(n+1)
=(-1)nn2+(-1)n+1(n+1)2
=(-1)n[n2-(n+1)2]
=(-1)n+1(2n+1),
得a1+a2+a3+…+a100=3+(-5)+7+(-9)+…+199+(-201)=50(-2)=-100.
答案:-100
二、解答題
10.已知函數(shù)f(x)=2n-3n-1,點(n,an)在f(x)的圖象上,an的前n項和為Sn.
(1)求使an<0的n的最大值;
(2)求Sn.
解析:(1)依題意an=2n-3n-1,
∴an<0即2n-3n-1<0.
當(dāng)n=3時,23-9-1=-2<0,
當(dāng)n=4
7、時,24-12-1=3>0,
∴2n-3n-1<0中n的最大值為3.
(2)Sn=a1+a2+…+an
=(2+22+…+2n)-3(1+2+3+…+n)-n
=2-3-n
=2n+1--2.
11.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=-2x+7,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式及Sn的最大值;
(2)令bn=,其中n∈N*,求數(shù)列{nbn}的前n項和.
解析:(1)∵f(x)=ax2+bx(a≠0),∴f′(x)=2ax+b,
又∵f′(x)=-2x+7,得a
8、=-1,b=7,
∴f(x)=-x2+7x.
又∵點Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上,∴有Sn=-n2+7n,
當(dāng)n=1時,a1=S1=6,
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=-2n+8,
∴an=-2n+8(n∈N*).
令an=-2n+8≥0,得n≤4,∴當(dāng)n=3或n=4時, Sn取得最大值12.
(2)由題意得b1==8,bn==2-n+4.
∴=,即數(shù)列{bn}是首項為8,公比為的等比數(shù)列,
故數(shù)列{nbn}的前n項和Tn=123+222+…+n2-n+4,①
Tn=122+22+…+(n-1)2-n+4+n2-n+3,②
由①-②得:Tn=23+22+…+2-n+4-n2-n+3,
∴Tn=-n24-n=32-(2+n)24-n.
12.已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{}的前n項和.
解析:(1)設(shè){an}的公差為d,則Sn=na1+d.
由已知可得解得
故{an}的通項公式為an=2-n.
(2)由(1)知=
=(-),
從而數(shù)列{}的前n項和為
(-+-+…+-)=.