一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第十章 第四節(jié)　直接證明與間接證明 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 一、填空題 1．給出下列命題： ①ab，c>d，abcd≠0?>； ④a>b>0，c>d>0? > . 其中為真命題的是________．(填所有正確命題的代號(hào)) 解析：利用不等式的性質(zhì)，根據(jù)條件利用綜合法可知①②④正確，③不正確． 答案：①②④ 2．已知函數(shù)f(x)＝()x，a，b是正實(shí)數(shù)，A＝f()，B＝f()，C＝f()，則A、B、C的大小關(guān)系為________． 解析：∵≥≥， 又f(x)＝()x在R

2、上是減函數(shù)， ∴f()≤f()≤f()， 即A≤B≤C. 答案：A≤B≤C 3．設(shè)m，n為兩條線，α，β為兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題： ①?m∥β；②?n∥β；③?m，n異面；④?m⊥β. 其中真命題是________． 解析：對(duì)于命題②，也可能n?β，故②錯(cuò)誤；對(duì)于命題③直線m、n也可能平行或相交，故③錯(cuò)誤；對(duì)于命題④，m與β也可能平行，故④錯(cuò)誤；命題①正確． 答案：① 4．設(shè)a＝－，b＝－，c＝－，則a、b、c的大小順序是________． 解析：∵a＝－＝， b＝－＝， c＝－＝， ∴若比較a，b，c的大小， 只要比較＋，＋，＋的大小． ∵＋>＋>＋>0，

3、 ∴<<， ∴cb>c 5．設(shè)x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三數(shù)________． ①至少有一個(gè)不大于2 ②都小于 2 ③至少有一個(gè)不小于2 ④都大于2 解析：a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6， 因此a，b，c至少有一個(gè)不小于2. 答案：③ 6．某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個(gè)問題：函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義，且f(0)＝f(1)，如果對(duì)于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求證：|f(x1)－f(x2)|<.那么他的反設(shè)應(yīng)該是________． 解析：該命題為全稱

4、命題，其否定為特稱命題． 答案：“存在x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|且|f(x1)－f(x2)|≥” 7．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，x＝S＋S，y＝Sn(S2n＋S3n)，則x與y的大小關(guān)系為________． 解析：由條件知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，所以Sn(S3n－S2n)＝(S2n－Sn)2，展開整理得S＋S＝Sn(S2n＋S3n)，所以x＝y(tǒng). 答案：x＝y(tǒng) 8．如果a＋b>a＋b，則a、b應(yīng)滿足的條件是________． 解析：a＋b>a＋b?(－)2(＋)>0?a≥0，b≥0且a≠b. 答案：a≥0

5、，b≥0且a≠b 9．如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則下列說法正確的是________． ①△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形 ②△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形 ③△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形 ④△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形 解析：由條件知，△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，則△A1B1C1是銳角三角形，假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形． 由，得. 那么，A2＋B2＋C2＝，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾．所以假設(shè)不成立，所以△A2B2C2是鈍角三角

6、形． 答案：④ 二、解答題 10．設(shè)a，b均為正數(shù)，且a≠b，求證：a3＋b3>a2b＋ab2. 證明：證法一(分析法) 要證a3＋b3>a2b＋ab2成立， 只需證(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立． 又因?yàn)閍＋b>0， 只需證a2－ab＋b2>ab成立． 只需證a2－2ab＋b2>0成立， 即需證(a－b)2>0成立． 而依題設(shè)a≠b，則(a－b)2>0顯然成立，由此命題得證． 證法二(綜合法) a≠b?a－b≠0?(a－b)2>0?a2－2ab＋b2>0?a2－ab＋b2>ab.(*) 而a，b均為正數(shù)， ∴a＋b>0， 由(*)式即得(a

7、＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)， ∴a3＋b3>a2b＋ab2. 11．已知a，b，c是互不相等的非零實(shí)數(shù)，用反證法證明三個(gè)方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根． 證明：假設(shè)三個(gè)方程都沒有兩個(gè)相異實(shí)根， 則Δ1＝4b2－4ac≤0， Δ2＝4c2－4ab≤0， Δ3＝4a2－4bc≤0. 上述三個(gè)式子相加得： a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0. 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0. 由已知a，b，c是互不相等的非零實(shí)數(shù)， ∴上式“＝”不能同時(shí)成立，即(a

8、－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，與事實(shí)不符， ∴假設(shè)不成立，原結(jié)論成立． 即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根． 12．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝，＝，anan＋1<0(n≥1)，數(shù)列{bn}滿足：bn＝a－a(n≥1)． (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)證明：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列． 解析：(1)由題意可知，1－a＝(1－a)． 令cn＝1－a，則cn＋1＝cn. 又c1＝1－a＝，則數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為c1＝，公比為的等比數(shù)列，即cn＝()n－1， 故1－a＝()n－1?a＝1－()n－1. 又a1＝>0，anan＋1<0， 故an＝(－1)n－1. bn＝a－a＝(1－()n)－(1－()n－1) ＝()n－1. (2)證明：(反證法)假設(shè)數(shù)列{bn}存在三項(xiàng)br，bs， bt(rbs>bt，則只可能有2bs＝br＋bt成立． 所以2()s－1＝()r－1＋()t－1， 兩邊同乘3t－121－r, 化簡(jiǎn)得3t－r＋2t－r＝22s－r3t－s. 由于r