高中數(shù)學 第一章 相似三角形的判定及有關性 1.1 平行線等分線段定理教案2 新人教A版選修41

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1、 平行線等分線段定理 【教學目標】1．識記并掌握平行線等分線段定理及其推論，認識它的變式圖形； 2．能運用平行線等分線段定理任意等分已知線段，能運用推論進行簡單的證明或計算； 3．培養(yǎng)學生化歸的思想、運動聯(lián)系的觀點。 【教學重點】平行線等分線段定理及推論的應用 【教學難點】平行線等分線段定理的證明 【教學方法】引導探究發(fā)現(xiàn)法【教具準備】三角板、矩形紙片、印有等距離平行線的作業(yè)紙、電腦、實物投影儀、自制課件等 【教學設計】一、實際問題，導入新課 1．問題：不用其它工具，你能用一張矩形紙片折疊出一個等邊三角形嗎？ 2．折法：（教師演示，學

2、生動手） 先將矩形（ABCD）紙對折， 得折痕MN（如圖1）； （圖1） 再把B點疊在折痕MN上，得到Rt△BEP（如圖2）； 最后沿EP折疊，便可得到等邊△BEF（如圖2）。 3．導入：為什么這樣折出的三角形是等邊三角形呢？通過今天這節(jié)課的學習，我們將從理論上解決這一問題。二、復習引導，發(fā)現(xiàn)定理 1．復習提問 （1）你能用尺規(guī)作圖將一條線段2等分

3、嗎？4等分呢？你還會將一條線段幾等分？ （2）你能用尺規(guī)作圖將一條線段3等分嗎？能否將一條線段任意等分呢？ 師：為了回答第2個問題，讓我們先來做一個實驗。 2．操作實驗請同學們用老師發(fā)下的、印有等距離平行線的作業(yè)紙和刻度尺做以下實驗：（1）畫一條與這組平行線垂直的直線l1，則直線l1被這組平行線截得的線段相等嗎？為什么？（2）任意畫一條與這組平行線相交的直線l2，量一量直線l2被這組平行線截得的線段是否相等。3．引導猜想引導：在上面的問題中，已知條件是什么？得到的結論是什么？你能用文字語言表述嗎？ 猜想：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么這組平行線在其他直線

4、上截得的線段也相等。 4．驗證猜想 教師用《幾何畫板》驗證同學們剛才做實驗得出的結論（猜想）。三、歸納探究，證明定理 1．歸納：如果以3條平行線為例證明上面的猜想，你能根據(jù)圖1寫出“已知”和“求證”嗎？ 已知：直線a // b // c，AB = BC（如圖1） 求證：AB = BC。 2．探究：（1）不添加輔助線能直接證明嗎？ （2）四邊形ACCA 是什么四邊形？ （3）在梯形中常作什么樣的輔助線？（圖2） 3．證明：根據(jù)學生提供的證明方法，完成證明。 證法一：（略）參見課本P176的證法。證法二：過A、

5、B 點作AC的平行線，分別交直線b、c平行線等分線段定理： 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么這組平行線在其他直線上截得的線段也相等。 于D、E（如圖2）。（以下證明略）結論與直線AC 的位置無關；對于3條以上的平行線組，可用同樣的方法證明（說明證法二更具一般性）。 4．定理： 推理形式：∵a // b // c，AB = BC， ∴AB = BC。四、圖形變式，引出推論 1．隱線變式，得推論1在圖1中，隱藏直線a、b、c，得梯形ACCA（如圖3）。這時定理的條件、結論各是什么？條件：在梯形ACCA中，AB=BC，AA // BB //

6、CC。 結論：AB = BC。 推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點，與底邊平行的直線必平分另一腰。 2．運動變式，得推論2既然定理的結論與被截直線的位置無關，將直線AC 平行向左移動，得到變式圖形4。這時定理在△ACC 中的條件、結論各是什么？條件：在△ACC 中，BB //CC，AB=BC。 結論：AB = BC。推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點，與另一邊平行的直線必平分第三邊。 3．變換圖形，深化理解如果將直線AC 繼續(xù)向左平行移動（如圖5、6），這時定理的條件、結論有什么變化？五、運用新知，解決問題 1．應用定理，等分線段 （1）已知線段AB，你能它

7、三等分嗎？依據(jù)是什么？ 已知：線段AB（如圖7）。 求作：線段AB的三等分點。 （圖7） 作法：（略。見圖8） （師生同步完成作圖過程） 〖注〗作圖題雖不要求寫作法，但最后的結論一定要寫出。 （2）你還能將已知線段幾等分呢？能任意等分嗎？ （圖8） 2．應用推論，分解圖形例1．已知：如圖9，在□ABCD中，M、N分別是AB、CD的中點， CM、AM分別交BD于E、F。 求證：BE = EF = FD。

8、分析：（1）根據(jù)條件，你能得到哪些平行線？ （圖9） （2）在圖9中，有哪些與推論有關的基本圖形？ 證明：（略。過程由學生自己完成） 例2．已知：如圖10，□ABCD的對角線AC、BD交于點O，過點A、B、C、D、O分別作直線a的垂線，垂足分別為A、B、C、D、O。 求證：AD = BC。 分析：（1）你能在圖10中找到幾個與推論有關的基本圖形？ （圖10） （2）在直線a上，有

9、哪些線段是相等的？根據(jù)是什么？ 證明：（略。過程由學生自己完成） 思考：若去掉條件“AC、BD交于點O”，結論是否成立？ 3．你能運用今天所學知識，解決本課開始提出的“折等邊三角形”問題嗎？六、課堂小結，提煉升華 1．理解一個定理平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等， 那么這組平行線在其他直線上截得的線段也相等。2．掌握兩個推論推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點，與底邊平行的直線必平分另一腰。推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點，與另一邊平行的直線必平分第三邊。3．了解三種思想化歸思想——定理證明是通過作輔助

10、線，將問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形全等的知識解決； 兩個例題也是將問題轉(zhuǎn)化為兩種基本圖形來解決。 運動思想——兩個推論是通過定理圖形運動到特殊位置得到的，因此推論是定理的特殊表現(xiàn)形式。辯證思想——定理是由特殊（三條平行線）推廣到一般； 應用定理則是將一般情況運用到特殊（具體）問題之中。七、達標檢測，回授效果 1．已知：如圖11，在梯形ABCD中，AB//CD，E是CD的中點， EF//BC交AB于F，F(xiàn)G// BD交AD于G。 求證：AG = DG。 （圖11）

11、 2．如圖12，在△ABC中，D是AB的中點，DE//BC交AC于E， （圖12） EF//AB交BC于F。 （1）求證：BF=CF； （2）圖中與DE相等的線段有 ； （3）圖中與EF相等的線段有 ； （4）若連結DF，則DF與AC的位置關系是 ，數(shù)量關系是 。 八、課后作業(yè)，鞏固新知 1．求證：直角梯形的兩個直角頂點到對腰中點的距離相等。

12、 2．已知：如圖13，AD是△ABC的中線，E是AD的中點，AE的延長線交AC于F。 求證：FC = 2AF。 （圖13） 平行線等分線段定理 平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。 推理1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。 推理2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰。平分線分線段成比例定理 平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線

13、段成比例。 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。相似三角形的判定及性質(zhì) 相似三角形的判定： 定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。 由于從定義出發(fā)判斷兩個三角形是否相似，需考慮6個元素，即三組對應角是否分別相等，三組對應邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們曾經(jīng)給出過如下幾個判定兩個三角形相似的簡單方法： （1）兩角對應相等，兩三角形相似； （2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似； （3）三邊對應成比例，兩三角形相似。 預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊

14、（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與三角形相似。 判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似。 判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。 判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似。 引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，

15、那么這條直線平行于三角形的第三邊。 定理：（1）如果兩個直角三角形有一個銳角對應相等，那么它們相似； （2）如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例，那么它們相似。 定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。 相似三角形的性質(zhì)： （1）相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應平分線的比都等于相似比； （2）相似三角形周長的比等于相似比； （3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩

16、直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。 圓周定理 圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半。 圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。 推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。 推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補。 定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角。 圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓。 推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對

17、角，那么這個四邊形的四個頂點共圓。圓的切線的性質(zhì)及判定定理 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。 推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。 推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。 切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。弦切角的性質(zhì) 弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。與圓有關的比例線段 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。 割線定理：從園外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375