高中數(shù)學(xué) 第一章 相似三角形的判定及有關(guān)性 1.1 平行線等分線段定理教案1 新人教A版選修41

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1、 一.平行線等分線段定理 教學(xué)目標(biāo) 1．掌握平行線等分線段定理及推論，認(rèn)識它的變式圖形． 2．熟練掌握任意等分線段的方法． 3．培養(yǎng)化歸的思想。運(yùn)動聯(lián)系的觀點(diǎn)及“特殊——一般——特殊”的認(rèn)識事物的方法． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)是平行線等分線段定理及證明； 難點(diǎn)是平行線等分線段定理的證明和靈活運(yùn)用． 教學(xué)過程設(shè)計 一、從特殊到一般猜想結(jié)論 1．復(fù)習(xí)提問，學(xué)生口答． （1）如圖4－77，在△ABC中，AM＝MB，MD //BC，DE//AB．求證：AD ＝ DC． 說明： ①應(yīng)用平行四邊

2、形和三角形全等的知識進(jìn)行證明． ②題中條件DE//AB與結(jié)論沒有必然聯(lián)系，可看成是證明時所添加的輔助線，刪去不影響結(jié)論的成立，即得到第（2）題． （2）如圖 4－78，在△ABC中，AM＝ MB，WD//BC，則AD＝DC． 教法： ①引導(dǎo)學(xué)生用語言敘述該命題． 若三角形中一邊的平行直線把它的第二邊截成兩條相等線段，那么它也把第三邊邊截成兩條相等線段． ②對結(jié)論進(jìn)行引伸：若把兩平行直線換成一組平行直線，是否還有這種性質(zhì)？ 二、用化歸、特殊化的方法及運(yùn)動的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)定理 1． 用化歸的方法證明定理． 以三條平行線與被截的兩條直線相交成梯形為例來證明定理． 已

3、知：如圖4-79（a）,l1∥l2∥l3,AB=BC．求證：A1B1=B1C1． 分析：由于三條平行線與被截的兩條直線相交成梯形，怎樣利用梯形中常用梯形，怎樣利用梯形中常用的輔助線，將梯形分割化歸為大家熟悉的三角形和平行四邊形去解決？ 方法一如圖4－79（b），構(gòu)造基本圖形4－78，過Al作AC的平行線交j2于D,交j3于E,利用復(fù)習(xí)題（1）的方法來證明． 方法二如圖479（c），構(gòu)造基本圖形4-79（d），過BI作EF//AC分別交j1，j3于E，F(xiàn)， 利用三角形全等和平行四邊形的知識進(jìn)行證明． 2．用運(yùn)動的觀點(diǎn)掌握定理的變式圖形． （l）當(dāng)三條平行線與被截的

4、兩直線相交不構(gòu)成梯形時，以上結(jié)論是否成立？教師制作教具，演示AlC1；所在直線運(yùn)動的各種狀態(tài)（見圖480），讓學(xué)生觀察結(jié)論，并總結(jié)：可用類似的方法來證明． 說明： （1）讓學(xué)生認(rèn)識到被平行線組（每相鄰兩條的距離都相等的平行線組）所截的兩條直線的相對位置不影響定理的結(jié)論． （2）強(qiáng)調(diào)圖 4－80（c）中截得的 A1B1＝ B1C1，與 AC與A1C1的交點(diǎn) D無關(guān)，讓學(xué)生認(rèn)清定理的基本圖形結(jié)構(gòu)． （3）以上結(jié)論和證明方法對“一組平行線”多于三條的情形同樣適用． 3．用特殊化的方法研究推論． 對定理的兩種特殊情況，即圖4-80（a）、圖4-

5、80（b）分解出被截的兩條直線與平行組相交構(gòu)成的梯形、三角形，就得到了定理在梯形和三角形中的特例，得到推論1和推論2．引導(dǎo)學(xué)生敘述兩種情形下的特殊結(jié)論，畫圖并寫出數(shù)學(xué)表達(dá)式如下： 推論1經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底邊平行的直線必平分另一腰． 在圖4-81中,∵梯形ABCD中，AD//BC，AE＝EB，EF//BC，∴DF＝FC． 推論2經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊． 在圖 4－82中，∵ △ABC中， AE＝EB， EF//BC，∴AF＝FC． 讓學(xué)生熟記基本圖形圖4-81、圖4-82的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及它們所包含的重要結(jié)論，是靈

6、活運(yùn)用它們解決問題的關(guān)鍵． 三、運(yùn)用定理解決問題 1．n等分任意一已知線段的作圖． 例1已知：如圖4-83，線段AB．求作線段AB的五等分點(diǎn)． 分析：引導(dǎo)學(xué)生推廣圖4-82，構(gòu)造定理的基本圖形，進(jìn)行作圖和證明，強(qiáng)調(diào)平行線組要分別經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B． 2．分解或構(gòu)造基本圖形，應(yīng)用定理及推論證明． 例2（l）如圖4-84 M，N分別為□ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，CM交 BD于 E，AN交BD于F，求證： BE＝EF＝FD． （2）如圖 4－85． AB⊥j于B. CD⊥j于 C,E為 AD中點(diǎn)．求 證：△EBC是等腰三角形

7、． 教師指導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生先分析圖中存在哪些基本圖形，然后怎樣利用它們的結(jié)論解題． 例3(選用)（1）如圖4－86，CB⊥AB，DA⊥AB，M為CD中點(diǎn)．求證：∠MAB＝∠MBA． （2）如圖4-87，E為□ABCD對角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)A，B，C，D，E分別向直線j引垂線，垂足分別為A’，B’，C’，D’，E’．圖中能分解出幾個基本圖形圖4-81？j上的線段之間有何等量關(guān)系？ 四、師生共同小結(jié) 1．平行線等分線段定理及兩個推論的內(nèi)容及證明方法． 2．怎樣n等分一條已知線段？ 3．指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)方法：利用化歸思想證明問題；利用“特殊—一般

8、～特殊”的方法研究問題；利用運(yùn)動的思維方法將問題推廣；利用分解，構(gòu)造基本圖形的方法靈活運(yùn)用定理． 五、作業(yè) 課堂教學(xué)設(shè)計說明 本教學(xué)過程設(shè)計需1課時完成． 1． 利用復(fù)習(xí)題起到兩個作用：（1）研究定理的特殊情況，讓學(xué)生從特殊到一般接受理；（2）啟發(fā)證明思路，準(zhǔn)備定理所用的基本圖形，分散難點(diǎn)． 2．證明定理的過程，實(shí)際上是從特殊——三條平行線，到一般——一組平行線，按照從定理的標(biāo)準(zhǔn)圖形（圖4-80（a））到變式圖形（圖4-80（b）-(e)，分別證明或說明．這樣處理層層深入，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，邏輯性較強(qiáng)． 3．本節(jié)的兩個推論實(shí)際上是三角形、梯形的中位

9、線的判定定理，有著非常廣泛的應(yīng)用．因 此課堂上要求學(xué)生不僅會用語言敘述它們，還要求熟練掌握它們的基本圖形和數(shù)學(xué)表達(dá)式，并通過兩個小題進(jìn)行及時鞏固． 4．定理還可用以下方式引入： （1）利用坐標(biāo)黑板提出問題（圖4-88）一組平行 直線j1,j2,j3,j4…分別被直線m，n所截．若將m截得線段AB＝BC＝CD，那么將 n截得的線段A’B’，B’C’，C’D’是否相等？ （2）得出猜想后，證明上述猜想的最簡單情況，即三條平行直線j1，j2，j3．引導(dǎo)學(xué)生證明時，要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)： ①證明線段相等的基本方法之一是化歸為證三角形全等． ②利用平行四邊形的性質(zhì)平移線段以構(gòu)造全等三角形． （3）利用運(yùn)動觀點(diǎn)掌握定理的變式圖形（圖4-80）． （4）利用特殊化的方法得出推論2，推論1． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375