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課時作業(yè)(二十一) 第21講 兩角和與差的正弦、余弦和正切
時間 / 45分鐘 分值 / 100分
基礎熱身
1.sin 15cos 45-sin 75sin 45的值為 ( )
A.12 B.-12
C.32 D.-32
2.在△ABC中,cos Acos B>sin Asin B,則△ABC的形狀是( )
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.等邊三角形
3.已知tanx+π4=-30
0,∴-cos C>0,∴cos C<0,∴C為鈍角.故選C.
3.C [解析] ∵tanx+π4=tanx+11-tanx=-3,∴tan x=2,
∴tanx-π4=tanx-11+tanx=2-11+2=13.故選C.
4.D [解析] ∵60<α<150,∴90<30+α<180,
∴cos(30+α)=-45,cos α=cos[(30+α)-30]=cos(30+α)cos 30+sin(30+α)sin 30=-4532+3512=3-4310.故選D.
5.2 [解析] 因為sin(α+β)=3sin(π-α+β),所以sin αcos β=2cos αsin β,所以tan α=2tan β,所以tanαtanβ=2.
6.A [解析] ∵α,β∈-π2,π2,tan α,tan β是方程x2+12x+10=0的兩根,
∴tan α+tan β=-12,tan αtan β=10,
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-121-10=43,故選A.
7.B [解析] 因為α∈0,π2,sin α=1717,所以cos α=1-sin2α=1-17172=41717,
所以tan α=sinαcosα=14,
所以tanα-π4=tanα-11+tanα=-35.
8.D [解析] 由題意可得,(cos α+2cos β)2=cos2α+4cos2β+4cos αcos β=2,(sin α-2sin β)2=sin2α+4sin2β-4sin αsin β=3,兩式相加可得1+4+4(cos αcos β-sin αsin β)=5+4cos(α+β)=5,
即cos(α+β)=0,∴sin2(α+β)=1-cos2(α+β)=1.
故選D.
9.B [解析] ∵α∈π2,5π4,∴α-π4∈π4,π,
又sinα-π4=35,∴cosα-π4=-45,
∴sin α=sinα-π4+π4=sinα-π4cosπ4+cosα-π4sinπ4=3522-4522=-210.
10.A [解析] ∵sin Bsin C=cos2A2=1+cosA2,
∴2sin Bsin C=1+cos A,
又cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C,
∴2sin Bsin C=1-cos Bcos C+sin Bsin C,
∴cos Bcos C+sin Bsin C=cos(B-C)=1,
又B,C為△ABC的內(nèi)角,
∴B-C=0,∴B=C.故選A.
11.A [解析] 由題意可知α+β,β+π3都為鈍角,∴sin(α+β)=1213,cosβ+π3=-45,
∴cosα+π6=cos(α+β)-β+π3+π2=-sin(α+β)-β+π3=-sin(α+β)cosβ+π3+cos(α+β)sinβ+π3=-1213-45+-51335=3365.故選A.
12.-1 [解析] 由sinπ6-α=cosπ6+α,得12cos α-32sin α=32cos α-12sin α,
即12-32cos α=32-12sin α,所以cos α=-sin α,即tan α=-1.
13.17 [解析] ∵α∈(0,π),且cos α=35,
∴sin α=1-cos2α=45,∴tan α=43,
∴tanα-π4=tanα-11+tanα=43-11+43=17.
14.-13 [解析] ∵角α與角β均以Ox為始邊,它們的終邊關于原點對稱,且sin α=33,
∴sin β=-33.
若α為第一象限角,則cos α=63,cos β=-63,
此時cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=63-63-33-33=-13;
若α為第二象限角,則cos α=-63,cos β=63,
此時cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-6363-33-33=-13.
∴cos(α+β)=-13.
15.解:(1)由題可知,tanα+π4=tanα+11-tanα=2,
解得tan α=13.
(2)由tan α=13,α∈0,π2,可得sin α=1010,cos α=31010,
所以sin 2α=2sin αcos α=35,cos 2α=1-2sin2α=45,
所以sin2α-π3=sin 2αcosπ3-cos 2αsinπ3=3512-4532=3-4310.
16.解:(1)∵α,β∈0,π2,∴-π2<α-β<π2.
又tan(α-β)=-13<0,∴-π2<α-β<0,
∴sin(α-β)=-1010.
(2)由(1)可得,cos(α-β)=31010.
∵α為銳角,sin α=35,∴cos α=45,
∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=4531010+35-1010=91050.
17.B [解析] 因為α為銳角,β為第二象限角,cos(α-β)>0,sin(α+β)>0,
所以α-β為第四象限角,α+β為第二象限角,
因此sin(α-β)=-32,cos(α+β)=-32,
所以sin 2α=sin(α-β+α+β)=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=-32-32+1212=1,
因為α為銳角,所以2α=π2,所以sin(3α-β)=sin(2α+α-β)=cos(α-β)=12,故選B.
18.322 [解析] 因為cosα+sinαcosα-sinα=1+tanα1-tanα=tanπ4+tanα1-tanπ4tanα=tanα+π4=tan(α+β)-β-π4=tan(α+β)-tanβ-π41+tan(α+β)tanβ-π4,
將tan(α+β)=25,tanβ-π4=14代入可得cosα+sinαcosα-sinα=25-141+2514=322.
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