(通用版)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第17講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 理 新人教A版.docx
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第17講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 1.角的概念的推廣 (1)定義:角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著 從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形. (2)分類:按旋轉(zhuǎn)方向分為 、 和零角;按終邊位置分為 和軸線角. (3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是S= . 2.弧度制的定義和公式 (1)定義:把長度等于 的弧所對的圓心角叫作1弧度的角.弧度記作rad. (2)公式: 角α的弧度數(shù)的絕對值 |α|=lr(弧長用l表示) 角度與弧度的換算 ①1=π180 rad,②1 rad=180π 弧長公式 弧長l= 扇形面積公式 S=12lr=12|α|r2 3.任意角的三角函數(shù) (1)定義:設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則sin α= ,cos α= ,tan α=yx(x≠0). (2)幾何表示(單位圓中的三角函數(shù)線):圖3-17-1中的有向線段OM,MP,AT分別稱為角α的 、 和 . (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 圖3-17-1 常用結(jié)論 象限角與軸線角 (1)象限角 (2)軸線角 題組一 常識題 1.[教材改編] 終邊落在第一象限角平分線上的角的集合是 . 2.[教材改編] (1)6730= rad;(2)π12= . 3.[教材改編] 半徑為120 mm的圓上長為144 mm的弧所對圓心角α的弧度數(shù)是 . 4.[教材改編] 若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-1,2),則sin α-cos α+tan α= . 題組二 常錯題 ◆索引:對角的范圍把握不準(zhǔn);不能據(jù)函數(shù)值的符號確定角所在的象限;不熟悉角在不同象限時對應(yīng)的三角函數(shù)值的符號;求弧長或者扇形面積把角化為弧度數(shù)時出錯. 5.在△ABC中,若sin A=22,則A= . 6.已知P(-3,y)為角β的終邊上的一點(diǎn),且sin β=1313,則y= . 7.當(dāng)α為第二象限角時,|sinα|sinα-cosα|cosα|的值是 . 8.若一扇形的圓心角為72,半徑為20 cm,則扇形的面積為 cm2. 探究點(diǎn)一 角的集合表示及象限角的判定 例1 (1)[2018長春一模] 若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊在x軸的非負(fù)半軸上,終邊在直線y=-3x上,則角α的所有取值的集合是 ( ) A.αα=2kπ-π3,k∈Z B.α|α=2kπ+2π3,k∈Z C.α|α=kπ-2π3,k∈Z D.α|α=kπ-π3,k∈Z (2)集合α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z中的角所表示的范圍(陰影部分)是 ( ) A B C D 圖3-17-2 [總結(jié)反思] (1)角α(0≤α<2π)與角2kπ+α(k∈Z)的終邊相同; (2)要求角β所在的象限,只需將角β表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,則角α所在的象限即為角β所在的象限. 變式題 (1)設(shè)集合M=x|x=k2180+45,k∈Z,N=x|x=k4180+45,k∈Z,那么 ( ) A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=? (2)若角α的終邊在x軸的上方,則α2是第 象限角. 探究點(diǎn)二 扇形的弧長、面積公式 例2 (1)若圓弧長度等于該圓內(nèi)接等腰直角三角形的周長,則其圓心角的弧度數(shù)是 . (2)已知扇形的圓心角為60,其弧長為π,則此扇形的面積為 . [總結(jié)反思] 應(yīng)用弧度制解決問題的策略:(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時,要注意角的單位必須是弧度;(2)涉及求扇形面積最大值的問題,常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,利用配方法使問題得到解決;(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時,要合理地利用圓心角所在的三角形. 變式題 (1)將表的分針撥快10分鐘,則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是 ( ) A.π3 B.π6 C.-π3 D.-π6 (2)若扇形的周長為18,則扇形面積取得最大值時,扇形圓心角的弧度數(shù)是 . 探究點(diǎn)三 三角函數(shù)的定義 角度1 三角函數(shù)定義的應(yīng)用 例3 (1)[2018濟(jì)南二模] 已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(m,-2m),其中m≠0,則sin α+cos α等于 ( ) A.-55 B.55 C.-35 D.35 (2)[2018北京通州區(qū)三模] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α以O(shè)x為始邊,終邊位于第四象限,且與單位圓交于點(diǎn)12,y,則sin α= . [總結(jié)反思] 三角函數(shù)的定義主要應(yīng)用于兩方面: (1)已知角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離,然后用三角函數(shù)定義求解三角函數(shù)值.特別地,若角α的終邊落在某條直線上,一般要分類討論. (2)已知角α的某個三角函數(shù)值,可依據(jù)三角函數(shù)值設(shè)出角α終邊上某一符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)來解決相關(guān)問題. 角度2 三角函數(shù)值的符號判定 例4 (1)若sin θcos θ<0,tanθsinθ>0,則角θ是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)若α為第二象限角,則cos 2α,cosα2,1sin2α,1cosα2中,其值必為正的有 ( ) A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 [總結(jié)反思] 判斷三角函數(shù)值的符號,關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限,然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號確定所求三角函數(shù)值的符號,特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況. 角度3 三角函數(shù)線的應(yīng)用 例5 [2018嘉興模擬] 已知α∈π2,3π4,a=sin α,b=cos α,c=tan α,那么a,b,c的大小關(guān)系是 ( ) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b [總結(jié)反思] 利用三角函數(shù)線比較大小或解三角不等式,通常采用數(shù)形結(jié)合的方法,一般來說sin x≥b,cos x≥a,只需作直線y=b,x=a與單位圓相交,連接原點(diǎn)與交點(diǎn)即得角的終邊所在的位置,此時再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的x的范圍. 變式題 函數(shù)f(x)=1-2cosx+lnsin x-22的定義域?yàn)椤 ? 第17講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 考試說明 1.任意角、弧度制 (1)了解任意角的概念和弧度制的概念. (2)能進(jìn)行弧度與角度的互化. 2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義. 【課前雙基鞏固】 知識聚焦 1.(1)端點(diǎn) (2)正角 負(fù)角 象限角 (3){β|β=α+k360,k∈Z} 2.(1)半徑長 (2)|α|r 3.(1)y x (2)余弦線 正弦線 正切線 對點(diǎn)演練 1.{α|α=k360+45,k∈Z} [解析] 終邊落在第一象限角平分線上的最小正角為45,所以與其終邊相同的角的集合為{α|α=k360+45,k∈Z}. 2.(1)38π (2)15 [解析] (1)6730=67.5π180=3π8(rad);(2)π12=π12180π=15. 3.1.2 [解析] 根據(jù)圓心角弧度數(shù)的計(jì)算公式得,α=144120=1.2. 4.35-105 [解析] r=(-1)2+22=5,所以sin α=25=255,cos α=-15=-55,tan α=2-1=-2,所以sin α-cos α+tan α=35-105. 5.π4或34π [解析] 因?yàn)?0,cos α<0, ∴|sinα|sinα-cosα|cosα|=1-(-1)=2. 8.80π [解析] 72=2π5 rad,∴S扇形=12αr2=122π5202=80π(cm2). 【課堂考點(diǎn)探究】 例1 [思路點(diǎn)撥] (1)先求出直線y=-3x的傾斜角,再根據(jù)終邊相同的角的要求得出角α的取值集合;(2)對k分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分析角α所表示的范圍. (1)D (2)C [解析] (1)因?yàn)橹本€y=-3x的傾斜角是2π3,所以終邊落在直線y=-3x上的角α的取值集合為αα=kπ-π3,k∈Z.故選D. (2)當(dāng)k=2n(n∈Z)時,2nπ+π4≤α≤2nπ+π2,此時α表示的范圍與π4≤α≤π2表示的范圍一樣;當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時,2nπ+π+π4≤α≤2nπ+π+π2,此時α表示的范圍與5π4≤α≤3π2表示的范圍一樣.故選C. 變式題 (1)B (2)一或三 [解析] (1)M中,x=k2180+45=k90+45=45(2k+1),k∈Z,2k+1是奇數(shù);N中,x=k4180+45=k45+45=45(k+1),k∈Z,k+1是整數(shù).綜上可知,必有M?N. (2)∵角α的終邊在x軸的上方, ∴k360<α<180+k360,k∈Z,∴k180<α2<90+k180,k∈Z. 當(dāng)k=2n(n∈Z)時, 有n360<α2<90+n360,可知α2為第一象限角; 當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時, 有n360+180<α2<270+n360,可知α2為第三象限角. 例2 [思路點(diǎn)撥] (1)找出弧長與半徑,用弧度制公式求解;(2)設(shè)扇形的半徑為r,根據(jù)弧長公式可求出r的值,再由扇形的面積公式即可得出結(jié)論. (1)2+22 (2)3π2 [解析] (1)設(shè)圓的半徑為r,則圓內(nèi)接等腰直角三角形的斜邊長為2r,一條直角邊長為2r,所以周長為2r+22r,所以圓弧所對圓心角的弧度數(shù)是2r+22rr=2+22. (2)設(shè)扇形的半徑為r, ∵扇形的圓心角為60,它的弧長為π, ∴60πr180=π,解得r=3, ∴S扇形=12π3=3π2. 變式題 (1)C (2)2 [解析] (1)將表的分針撥快應(yīng)按順時針方向旋轉(zhuǎn),為負(fù)角,故選項(xiàng)A,B不正確;又因?yàn)閾芸?0分鐘,故應(yīng)轉(zhuǎn)過的角的絕對值大小為周角的16,即為-162π=-π3. (2)設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,則l+2r=18,即l=18-2r,所以扇形面積S=12lr=12(18-2r)r=-r2+9r,當(dāng)r=92時,S取得最大值,此時l=18-2r=9,所以圓心角的弧度數(shù)是lr=992=2. 例3 [思路點(diǎn)撥] 利用任意角的三角函數(shù)的定義求解. (1)B (2)-32 [解析] (1)∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(m,-2m),其中m≠0,∴r=m2+(-2m)2=5m2=5|m|. 當(dāng)m>0時,sin α=-2m5m=-25,cos α=m5m=15,∴sin α+cos α=-55; 當(dāng)m<0時,sin α=-2m-5m=25,cos α=m-5m=-15,∴sin α+cos α=55. ∴sin α+cos α=55. (2)∵角α以O(shè)x為始邊,終邊位于第四象限,且與單位圓交于點(diǎn)12,y,∴y=-1-122=-32, ∴sin α=yr=-321=-32. 例4 [思路點(diǎn)撥] (1)根據(jù)條件確定sin θ,cos θ的符號,再確定θ所在的象限;(2)根據(jù)α為第二象限角,分別確定2α,α2的終邊所在的象限,再根據(jù)象限確定對應(yīng)函數(shù)值的符號. (1)D (2)A [解析] (1)由tanθsinθ>0,得1cosθ>0,所以cos θ>0.又sin θcos θ<0,所以sin θ<0,所以θ為第四象限角,故選D. (2)由題意知,2kπ+π2<α<2kπ+π(k∈Z),則4kπ+π<2α<4kπ+2π(k∈Z), 所以2α的終邊在第三、第四象限或y軸的負(fù)半軸上,所以sin 2α<0,cos 2α可正可負(fù)也可為零.因?yàn)閗π+π4<α2- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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