安徽省馬鞍山市2018屆高三數(shù)學(xué)第一次（期末考試）教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題 理（含解析）.doc

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2018年馬鞍山市高中畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè) 理科數(shù)學(xué)試題 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 集合，，則下列結(jié)論正確的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，，，且， ，故選A. 2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 ，， 的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故選D. 3. 已知平面向量，，且，則( ) A. B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 ，，，故選C. 4. 設(shè)，，則的值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，，，故選A. 5. 已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值是( ) A. 0 B. 2 C. 或1 D. 0或2 【答案】D 【解析】的準(zhǔn)線方程為的圓心到的距離為圓相切，或，故選D................ 6. 執(zhí)行下面的程序框圖，若輸出結(jié)果為273，則判斷框處應(yīng)補(bǔ)充的條件可以為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】試題分析：經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到；經(jīng)過(guò)第二次循環(huán)得到；經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)得到；此時(shí)，需要輸出結(jié)果，此時(shí)的滿足判斷框中的條件，故選B． 考點(diǎn)：程序框圖． 7. 某高校為提升科研能力，計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入.若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1300萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長(zhǎng)，則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開(kāi)始超過(guò)2000萬(wàn)元的年份是( )(參考數(shù)據(jù)：， ) A. 2020年 B. 2021年 C. 2022年 D. 2023年 【答案】B 【解析】若年是第一年，則第年科研費(fèi)為，由，可得，得，即年后，到年科研經(jīng)費(fèi)超過(guò)萬(wàn)元，故選B. 8. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則將的圖象向左平移個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由圖知，，得，由最大值為，得，將代入可得，向左平移，可得，故選C. 9. 已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的外接球的表面積是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，則底面周長(zhǎng)等于半圓周，圓錐軸截面為邊長(zhǎng)為的正三角形，圓錐外接球球心是正三角形中心，外接球半徑是正三角形外接圓半徑，球表面積為，故選C. 10. 函數(shù)的大致圖象是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除 ；由,可排除 ，故選D. 【方法點(diǎn)晴】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題. 這類題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意的選項(xiàng)一一排除. 11. 如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長(zhǎng)是1，在其上用粗線畫(huà)出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長(zhǎng)的一條棱的長(zhǎng)為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由三視圖可知，該多面體是底面為棱長(zhǎng)為的正方形，一條長(zhǎng)為的側(cè)棱與底面垂直的四棱錐 ，四條底棱為，四條側(cè)棱分別為，故最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為，故選B. 【方法點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象能力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三視圖問(wèn)題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀. 12. 若一個(gè)四面體的四個(gè)側(cè)面是全等的三角形，則稱這樣的四面體為“完美四面體”，現(xiàn)給出四個(gè)不同的四面體，記的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，其中一定不是“完美四面體”的為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】若，由正弦定理可得，，設(shè)，因?yàn)椤巴昝浪拿骟w”的四個(gè)側(cè)面是全等的三角形， ，把該四面體頂點(diǎn)當(dāng)成長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，四條棱當(dāng)作長(zhǎng)方體的四條面對(duì)角線，則長(zhǎng)方體面上對(duì)角線長(zhǎng)為，設(shè)長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)為，則，以上方程組無(wú)解，即這樣的四面體不存在，四個(gè)側(cè)面不全等，故一定不是完美的四面體，故選B. 【方法點(diǎn)睛】本題考查四面體的性質(zhì)以及長(zhǎng)方體的性質(zhì)、新定義問(wèn)題，屬于難題. 新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.本題通過(guò)定義“完美四面體”達(dá)到考查四面體的性質(zhì)以及長(zhǎng)方體的性質(zhì)的目的. 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13. 已知樣本容量為200，在樣本的頻率分布直方圖中，共有個(gè)小矩形，若中間一個(gè)小矩形的面積等于其余個(gè)小矩形面積和的，則該組的頻數(shù)為_(kāi)_______. 【答案】50 【解析】設(shè)個(gè)小矩形面積和為，則中間小矩形面積的,根據(jù)直方圖的性質(zhì)可得,中間一個(gè)小矩形的面積等于，即該組的頻數(shù)為 ，故答案為. 14. 若二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為64，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)___________. 【答案】15 【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為64，令，得的通項(xiàng)為，令，常數(shù)項(xiàng)為，故答案為. 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式定理的通項(xiàng)、系數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)和的求法，屬于簡(jiǎn)單題. 二項(xiàng)展開(kāi)式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開(kāi)式定理的應(yīng)用. 15. 若直線上存在點(diǎn)滿足約束條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________. 【答案】 【解析】 直線上存在點(diǎn)滿足約束條件，等價(jià)于直線與可行域有交點(diǎn)，畫(huà)出約束條件表示的可行域，如圖，由，得；由，得，直線過(guò)定點(diǎn)，，由圖知，要使直線可行域有交點(diǎn)，則，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為. 16. 已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，為雙曲線上的一點(diǎn)且的內(nèi)切圓半徑為1，則的面積為_(kāi)_______. 【答案】 【解析】 如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與軸相切于實(shí)點(diǎn)，根據(jù)切線性質(zhì)及雙曲線的定義可得,結(jié)合，解得 ,所以的內(nèi)切圓與軸相切于實(shí)軸端點(diǎn)，因?yàn)?，故，可得，軸，從而雙曲線方程中令得 ，故答案為. 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17. 已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，. (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】(1)見(jiàn)解析(2) 【解析】試題分析：(1)由可得，從而可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列；(2) 由(1)可知，，，利用裂項(xiàng)相消法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和. 試題解析：(1)， 數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列； (2)由(1)可知，，， ， . 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題. 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤. 18. 某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其“無(wú)故障使用時(shí)間 (單位：小時(shí))”衡量，無(wú)故障使用時(shí)間越大表明產(chǎn)品質(zhì)量越好，且無(wú)故障使用時(shí)間大于3小時(shí)的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取100件，并記錄了每件產(chǎn)品的無(wú)故障使用時(shí)間，得到下面試驗(yàn)結(jié)果： 無(wú)故障使用時(shí)間 (小時(shí)) 頻數(shù) 20 40 40 以試驗(yàn)結(jié)果中無(wú)故障使用時(shí)間落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的無(wú)故障使用時(shí)間落入相應(yīng)組的概率. (1)從該企業(yè)任取兩件這種產(chǎn)品，求至少有一件是優(yōu)質(zhì)品的概率； (2)若該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品每件銷售利潤(rùn)(單位：元)與其無(wú)故障使用時(shí)間的關(guān)系式為 從該企業(yè)任取兩件這種產(chǎn)品，其利潤(rùn)記為(單位：元)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望. 【答案】(1)0.64(2) (元) 【解析】試題分析：(1) 由古典概型概率公式可知，從該企業(yè)任取一件這種產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率的是，根據(jù)對(duì)立事件及獨(dú)立事件的概率公式即可得到從該企業(yè)任取兩件這種產(chǎn)品，至少有一件是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率；(2) 由題意知，的可能取值為，根據(jù)獨(dú)立事件率公式求出各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列，進(jìn)而利用期望公式可得的數(shù)學(xué)期望. 試題解析：(1)由題意可知，從該企業(yè)任取一件這種產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率的是，所以從該企業(yè)任取兩件這種產(chǎn)品，至少有一件是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為； (2)由題意知，的分布列為 0 10 20 30 40 所以的數(shù)學(xué)期望(元). 19. 如圖，正三棱柱中， ，，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在棱上且面. (1)求的長(zhǎng)； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：(1) 作與交于點(diǎn)，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，， 于是在平行四邊形中，；(2) 取的中點(diǎn)，由(1)知，∴，從而面，于是二面角的平面角為，在直角三角形中，可得二面角的余弦值為. 試題解析：(1)如圖，作與交于點(diǎn)， ∵，∴，面面， ∵面，∴， 于是在平行四邊形中，. (2)取的中點(diǎn)，∵是正三棱柱， ∴，面，連結(jié)， 由(1)知，∴， 又面，∴，從而面， 于是二面角的平面角為， 由題，，，， 故二面角的余弦值為. 20. 已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，過(guò)原點(diǎn)作兩條直線，直線交橢圓于，直線交橢圓于，且. (1)求橢圓的方程； (2)若直線的斜率分別為，求證：為定值. 【答案】(1) (2)見(jiàn)解析 【解析】試題分析：(1)根據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于、 、的方程組，求出、即可得橢圓的方程；(2) 由對(duì)稱性可知，四邊形是平行四邊形，設(shè)，，則，，由可得，從而得. 試題解析：(1)由題意知，且， 解得，，橢圓的方程為； (2)由對(duì)稱性可知，四邊形是平行四邊形， 設(shè)，，則，， 由，得， ， 所以， ， 故為定值2. 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)以及圓錐曲線的定值問(wèn)題，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；② 直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值. 21. 已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn). (1)求實(shí)數(shù)的取值范圍； (2)求證：，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). 【答案】(1) (2)見(jiàn)解析 【解析】試題分析：(1) 由得，有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程有兩解，即的圖象與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) ∵，∴，故只需證明：，等價(jià)于，不妨設(shè)，并令，，利用導(dǎo)數(shù)可證明，從而可得結(jié)果. 試題解析：(1)由得， 記，則， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， ∴在上遞增，在上遞減， 又，時(shí)，，時(shí)，， 由題，有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程有兩解， 即的圖象與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)， 故. (2)∵，∴，故只需證明：， 由，作差得：， 因此， ， 不妨設(shè)，并令，， 則，∴在上單調(diào)遞減，， 即，即成立，于是原命題得證. 22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，其中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，為曲線與的交點(diǎn). (1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的極徑； (2)點(diǎn)在線段上，且滿足，求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：(1) 先求得曲線的極坐標(biāo)方程是，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，解得，從而可得點(diǎn)的極徑；(2) 點(diǎn)，，由題意可得，，進(jìn)而可得，兩邊同乘以，利用 即可得點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程. 試題解析：(1)由題意可知，曲線的極坐標(biāo)方程是，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，解得，故點(diǎn)的極徑為. (2)在極坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，，由題意可得，，進(jìn)而可得，從而點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程為. 23. 已知函數(shù)，其中. (1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； (2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：(1) 當(dāng)時(shí)，解不等式，對(duì)分三種情況討論，分別求解不等式組，然后求并集即可得結(jié)果 ；(2) 當(dāng)時(shí)，等價(jià)于恒成立；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于恒成立；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，三種情況求解，再求并集即可得的取值范圍. 試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，，解不等式，時(shí)；時(shí)，；不等式總成立，所以得，所以，的解集為. (2)當(dāng)時(shí)， ， 所以①當(dāng)時(shí)，等價(jià)于恒成立，所以； ②當(dāng)時(shí)，等價(jià)于恒成立，所以； ③當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，此時(shí)恒成立，所以； 綜上可得，.