2020版高中數(shù)學 第三章 概率 3.2 古典概型學案(含解析)新人教B版必修3.docx
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3.2 古典概型 學習目標 1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.3.了解概率的一般加法公式及適用條件. 知識點一 古典概型 思考1 “在區(qū)間[0,10]上任取一個數(shù),這個數(shù)恰為5的概率是多少?”這個概率模型屬于古典概型嗎? 答案 不屬于.因為在區(qū)間[0,10]上任取一個數(shù),其試驗結(jié)果有無限個,故其基本事件有無限個,所以不是古典概型. 思考2 若一次試驗的結(jié)果所包含的基本事件的個數(shù)為有限個,則該試驗符合古典概型嗎? 答案 不一定符合.還必須滿足每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等才符合古典概型. 梳理 (1)古典概型的特征: ①有限性 在一次試驗中,可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個,即只有有限個不同的基本事件; ②等可能性 每個基本事件發(fā)生的可能性是均等的. (2)古典概型的計算公式:P(A)=. 知識點二 概率的一般加法公式(選學) 1.事件的交(或積) 由事件A和B同時發(fā)生所構(gòu)成的事件D,稱為事件A與B的交(或積),記作D=A∩B(或D=AB). 2.概率的一般加法公式:如果A,B不是互斥事件, 則P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 1.每一個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.( √ ) 2.古典概型中的任何兩個基本事件都是互斥的.( √ ) 題型一 古典概型的判斷 例1 某同學隨機地向一靶心進行射擊,這一試驗的結(jié)果只有有限個:命中10環(huán)、命中9環(huán)、……、命中5環(huán)和不中環(huán).你認為這是古典概型嗎?為什么? 解 不是古典概型,因為試驗的所有可能結(jié)果只有7個,而命中10環(huán)、命中9環(huán)、……、命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的(為什么?),即不滿足古典概型的第二個條件. 反思與感悟 判斷一個試驗是不是古典概型要抓住兩點:一是有限性;二是等可能性. 跟蹤訓練1 從所有整數(shù)中任取一個數(shù)的試驗中“抽取一個整數(shù)”是古典概型嗎? 解 不是,因為有無數(shù)個基本事件. 題型二 古典概型的概率計算 例2 將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次觀察出現(xiàn)點數(shù)的情況. (1)一共有多少種不同的結(jié)果? (2)點數(shù)之和為5的結(jié)果有多少種? (3)點數(shù)之和為5的概率是多少? 解 (1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子拋擲一次,得到的點數(shù)有1,2,3,4,5,6,共6種結(jié)果,故先后將這枚骰子拋擲兩次,一共有66=36(種)不同的結(jié)果. (2)點數(shù)之和為5的結(jié)果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種. (3)正方體骰子是質(zhì)地均勻的,將它先后拋擲兩次所得的36種結(jié)果是等可能出現(xiàn)的,其中點數(shù)之和為5(記為事件A)的結(jié)果有4種,因此所求概率P(A)==. 反思與感悟 古典概型問題包含的題型較多,但都必須緊扣古典概型的定義,進而用公式進行計算.列舉法是求解古典概型問題的常用方法,借助于圖表等有時更實用更有效. 跟蹤訓練2 在兩個袋內(nèi),分別裝著寫有0,1,2,3,4,5六個數(shù)字的6張卡片,從每個袋中各任取一張卡片,則兩張卡片上數(shù)字之和等于7的概率為________. 答案 解析 試驗結(jié)果如表所示: 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 6 2 2 3 4 5 6 7 3 3 4 5 6 7 8 4 4 5 6 7 8 9 5 5 6 7 8 9 10 由表可知兩張卡片上數(shù)字之和共有36種情況,其中和為7有4種情況, ∴所求事件的概率為=. 1.下列不是古典概型的是( ) A.從6名同學中,選出4人參加數(shù)學競賽,每人被選中的可能性的大小 B.同時擲兩顆骰子,點數(shù)和為7的概率 C.近三天中有一天降雨的概率 D.10個人站成一排,其中甲、乙相鄰的概率 答案 C 解析 A,B,D為古典概型,因為都適合古典概型的兩個特征:有限性和等可能性,而C不滿足等可能性,故不為古典概型. 2.從長度分別為1,2,3,4的四條線段中,任取三條不同的線段,以取出的三條線段為邊可組成三角形的概率為( ) A.0B.C.D. 答案 B 解析 從中任取三條線段共有4種取法,能構(gòu)成三角形的只有長度為2,3,4的線段,所以P=,故選B. 3.從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù),則這個兩位數(shù)大于40的概率是( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)字能構(gòu)成20個兩位數(shù):12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,而大于40的數(shù)有8個:41,42,43,45,51,52,53,54,故所求的概率是=. 4.從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率為________. 答案 解析 從2,3,8,9中任取2個分別記為(a,b),則有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,8),(8,3),(3,9),(9,3),(8,9),(9,8),共有12種情況,其中符合logab為整數(shù)的有l(wèi)og39和log28兩種情況,∴P==. 5.現(xiàn)有6道題,其中4道甲類題,2道乙類題,張同學從中任取2道題解答.求所取的2道題不是同一類題的概率. 解 將4道甲類題依次編號為1,2,3,4;2道乙類題依次編號為5,6.任取2道題,基本事件為{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共15個,而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.用B表示“不是同一類題”這一事件,則B包含的基本事件有{1,5},{1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共8個,所以P(B)=. 古典概型是一種最基本的概型,也是學習其他概型的基礎,這也是我們在學習、生活中經(jīng)常遇到的題型.解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征,即有限性和等可能性.在應用公式P(A)=時,關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系,從而求出m,n. 一、選擇題 1.下列是古典概型的是( ) A.任意拋擲兩枚骰子,所得點數(shù)之和作為基本事件時 B.求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率,將取出的正整數(shù)作為基本事件時 C.從甲地到乙地共n條路線,求某人正好選中最短路線的概率 D.拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止 答案 C 解析 A項中由于點數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等,故A不是;B項中的基本事件是無限的,故B不是;C項滿足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D項中基本事件既不是有限個也不具有等可能性,故D不是. 2.從甲、乙、丙、丁、戊五個人中選取三人參加演講比賽,則甲、乙都入選的概率為( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 從五個人中選取三個人有10種不同結(jié)果:(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),而甲、乙都入選的結(jié)果有3種,故所求的概率為. 3.甲、乙兩人有三個不同的學習小組A,B,C可以參加,若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組(兩人參加各小組的可能性相同),則兩人參加同一個學習小組的概率為( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 甲、乙兩人參加學習小組,若以(A,B)表示甲參加學習小組A,乙參加學習小組B,則一共有:(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9種情形,其中兩人參加同一個學習小組共有3種情形,根據(jù)古典概型概率公式,得P=. 4.先后拋擲兩顆骰子,所得點數(shù)之和為7的概率為( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 拋擲兩顆骰子,一共有36種結(jié)果,其中點數(shù)之和為7的共有6種結(jié)果,根據(jù)古典概型的概率公式,得P=. 5.盒子里裝有大小質(zhì)量完全相同且分別標有數(shù)字1,2,3,4的四個小球,從盒子里隨機摸出兩個小球,那么事件“摸出的小球上標有的數(shù)字之和為5”的概率是( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 從裝有四個小球的盒子里隨機摸出兩個小球,(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共有6種取法,其中小球上標有的數(shù)字之和為5的取法共有2種,分別為(1,4),(2,3),根據(jù)古典概型的概率公式,得其概率為,故選A. 6.袋中有6個除了顏色外完全相同的球,其中有1個紅球,2個白球和3個黑球.從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率為( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 袋中紅球用a表示,2個白球分別用b1,b2表示,3個黑球分別用c1,c2,c3表示,則從袋中任取兩球所含基本事件為(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15個. 兩球顏色為一白一黑的基本事件有(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),共6個. ∴其概率為=. 7.假如小明同學的QQ密碼是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數(shù)字中的6個數(shù)字組成的六位數(shù),由于長時間未登錄QQ,小明忘記了密碼的最后一個數(shù)字,如果小明登錄QQ時密碼的最后一個數(shù)字隨意選取,則恰好能登錄的概率是( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 只考慮最后一位數(shù)字即可,從0至9這10個數(shù)字中隨機選擇一個作為密碼的最后一位數(shù)字有10種可能,選對只有一種可能,所以選對的概率是. 8.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中想一個數(shù)字,記為a,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就稱甲、乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲,則他們“心有靈犀”的概率為( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 首先要弄清楚“心有靈犀”的實質(zhì)是|a-b|≤1,由于a,b∈{1,2,3,4,5,6},則滿足要求的事件可能的結(jié)果有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16種,而依題意得,基本事件的總數(shù)有36種.因此他們“心有靈犀”的概率為P==. 二、填空題 9.若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數(shù)m,n作為點P的坐標,則點P落在圓x2+y2=16內(nèi)的概率是________. 答案 解析 基本事件的總數(shù)為66=36,記事件A={點P(m,n)落在圓x2+y2=16內(nèi)},則A所包含的基本事件有(1,1),(2,2),(1,3),(1,2),(2,3),(3,1),(3,2),(2,1),共8個. ∴P(A)==. 10.從含有3件正品和1件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取2件,則取出的2件中恰有1件是次品的概率是________. 答案 解析 設3件正品為A,B,C,1件次品為D,從中不放回地任取2件,有以下基本事件:AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6個.其中恰有1件是次品的基本事件有:AD,BD,CD,共3個,故P==. 11.從三男三女共6名學生中任選2名(每名同學被選中的概率均相等),則2名都是女同學的概率等于________. 答案 解析 用A,B,C表示三名男同學,用a,b,c表示三名女同學,則從6名同學中選出2人的所有選法為AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc共15種,其中2名都是女同學的有ab,ac,bc共3種,故所求的概率為=. 三、解答題 12.某學校有初級教師21人,中級教師14人,高級教師7人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些教師中抽取6人對績效工資情況進行調(diào)查. (1)求應從初級教師、中級教師、高級老師中分別抽取的人數(shù); (2)若從分層抽樣抽取的6名教師中隨機抽取2名教師做進一步數(shù)據(jù)分析,求抽取的2名教師均為初級教師的概率. 解 (1)由分層抽樣知識得應從初級教師、中級教師、高級教師中抽取的人數(shù)分別為3,2,1. (2)在分層抽樣抽取的6名教師中,3名初級教師分別記為A1,A2,A3,2名中級教師分別記為A4,A5,高級教師記為A6,則從中抽取2名教師的所有可能結(jié)果為(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共15種. 抽取的2名教師均為初級教師(記為事件B)的所有可能結(jié)果為(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3種. 所以P(B)==. 13.海關(guān)對同時從A,B,C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測,從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位:件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測. 地區(qū) A B C 數(shù)量 50 150 100 (1)求這6件樣品中來自A,B,C各地區(qū)商品的數(shù)量; (2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進行進一步檢測,求這2件商品來自相同地區(qū)的概率. 解 (1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是=, 所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是: 50=1,150=3,100=2, 所以A,B,C三個地區(qū)的商品被抽取的件數(shù)分別為1,3,2. (2)設6件來自A,B,C三個地區(qū)的樣品分別為A1;B1,B2,B3;C1,C2,則抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為: {A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A1,C1},{A1,C2}, {B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3}, {B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2}, 共15個. 每個樣品被抽到的機會均等,因此這些基本事件出現(xiàn)的機會是等可能的. 記事件D:“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”, 則事件D包含的基本事件有 {B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共4個. 所以P(D)=,即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為. 四、探究與拓展 14.一次擲兩枚骰子,得到的點數(shù)為m和n,則關(guān)于x的方程x2+(m+n)x+4=0有實數(shù)根的概率是________. 答案 解析 基本事件共有36個.因為方程有實根,所以Δ=(m+n)2-16≥0.所以m+n≥4,其對立事件是m+n<4,它包含(1,1),(1,2),(2,1),共3個基本事件. 所以所求概率為1-=. 15.“搶紅包”的活動給節(jié)假日增添了一份趣味,某發(fā)紅包單位進行一次關(guān)于“是否參與搶紅包活動”的調(diào)查活動,組織員工在幾個大型小區(qū)隨機抽取50名居民進行問卷調(diào)查,對問卷結(jié)果進行了統(tǒng)計,并將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下表: 年齡(歲) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 調(diào)查人數(shù) m n 14 12 8 6 參與的人數(shù) 3 4 12 6 3 2 表中所調(diào)查的居民年齡在[10,20),[20,30),[50,60)內(nèi)的人數(shù)成等差數(shù)列. (1)求表中m,n的值,并補全如圖所示的頻率分布直方圖; (2)在被調(diào)查的居民中,若從年齡在[10,20),[20,30)內(nèi)的居民中各隨機選取1人參加抽獎活動,求選中的兩人中僅有一人沒有參與搶紅包活動的概率. 解 (1)由題意得解得 補全頻率分布直方圖,如圖所示: (2)記年齡在[10,20)內(nèi)的居民為a1,A2,A3,A4(其中居民a1沒有參與搶紅包括動),年齡在[20,30)內(nèi)的居民為b1,b2,B3,B4,B5,B6(其中居民b1,b2沒有參與搶紅包活動).各選取1人的情形有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,B3),(a1,B4),(a1,B5),(a1,B6),(A2,b1),(A2,b2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,B5),(A2,B6),(A3,b1),(A3,b2),(A3,B3),(A3,B4),(A3,B5),(A3,B6),(A4,b1),(A4,b2),(A4,B3),(A4,B4),(A4,B5),(A4,B6),共24種. 其中僅有一人沒有參與搶紅包活動的情形有10種,分別為(a1,B3),(a1,B4),(a1,B5),(a1,B6),(A2,b1),(A3,b1),(A4,b1),(A2,b2),(A3,b2),(A4,b2),所以選中的兩人中僅有一人沒有參與搶紅包活動的概率P==.- 配套講稿:
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