2018-2019高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語(yǔ) 1.3.1 量詞學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx
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1.3.1 量 詞 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解全稱(chēng)量詞與存在量詞的含義.2.理解并掌握全稱(chēng)命題和存在性命題的概念.3.能判定全稱(chēng)命題和存在性命題的真假并掌握其判斷方法. 知識(shí)點(diǎn)一 全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)命題 思考 觀察下列命題: ①每一個(gè)三角形都有內(nèi)切圓; ②所有實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根; ③對(duì)一切有理數(shù)x,5x+2還是有理數(shù). 以上三個(gè)命題中分別使用了什么量詞?根據(jù)命題的實(shí)際含義能否判斷命題的真假. 答案 命題①②③分別使用量詞“每一個(gè)”“所有”“一切”. 命題①③是真命題,命題②是假命題.三個(gè)命題中的“每一個(gè)”“所有”“一切”都有全部、所有的意義,要求命題對(duì)某個(gè)集合的所有元素都成立,而負(fù)實(shí)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根,故命題②為假命題. 梳理 (1) 全稱(chēng)量詞 “所有”、“每一個(gè)”、“任何”、“任意”、“一切”、“任給”、“全部” 符號(hào) ? 全稱(chēng)命題p 含有全稱(chēng)量詞的命題 形式 “對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M,p(x) (2)判斷全稱(chēng)命題真假性的方法:對(duì)于全稱(chēng)命題“?x∈M,p(x)”,要判斷它為真,需要對(duì)集合M中的每個(gè)元素x,證明p(x)成立;要判斷它為假,只需在M中找到一個(gè)x,使p(x)不成立,即“?x∈M,p(x)不成立”. 知識(shí)點(diǎn)二 存在量詞與存在性命題 思考 觀察下列命題: ①有些矩形是正方形; ②存在實(shí)數(shù)x,使x>5; ③至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2-2x+2<0. 以上三個(gè)命題分別使用了什么量詞?根據(jù)命題的實(shí)際含義能否判斷命題的真假. 答案 命題①②③分別使用了量詞“有些”“存在”“至少有一個(gè)”.命題①②是真命題,命題③是假命題.三個(gè)命題中的“有些”“存在”“至少有一個(gè)”等詞都是對(duì)某個(gè)集合內(nèi)的個(gè)別元素而言,要說(shuō)明這些命題是真命題,只要舉出一個(gè)例子即可.所以命題①②是真命題,而對(duì)任意實(shí)數(shù)x,x2-2x+2都大于0,所以命題③為假命題. 梳理 (1) 存在量詞 “有些”、“有一個(gè)”、“存在”、“某個(gè)”、“有的” 符號(hào) ? 存在性命題 含有存在量詞的命題 形式 “存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M,p(x) (2)判斷存在性命題真假性的方法:要判斷一個(gè)存在性命題是真命題,只要在限定集合M中,至少能找到一個(gè)x=x0,使p(x0)成立即可,否則,這一存在性命題是假命題. 1.“某些”“有個(gè)”“有的”等短語(yǔ)不是存在量詞.( ) 2.全稱(chēng)命題一定含有全稱(chēng)量詞,存在性命題一定含有存在量詞.( ) 3.全稱(chēng)量詞的含義是“任意性”,存在量詞的含義是“存在性”.( √ ) 類(lèi)型一 全稱(chēng)命題與存在性命題的識(shí)別 例1 判斷下列語(yǔ)句是全稱(chēng)命題還是存在性命題: (1)凸多邊形的外角和等于360; (2)有的向量方向不定; (3)對(duì)任意角α,都有sin2α+cos2α=1; (4)有一個(gè)函數(shù),既是奇函數(shù)又是偶函數(shù); (5)若一個(gè)四邊形是菱形,則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直. 考點(diǎn) 全稱(chēng)量詞及全稱(chēng)命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 識(shí)別全稱(chēng)命題和存在性命題 解 (1)可以改寫(xiě)為“所有的凸多邊形的外角和都等于360”,故為全稱(chēng)命題. (2)含有存在量詞“有的”,故是存在性命題. (3)含有全稱(chēng)量詞“任意”,故是全稱(chēng)命題. (4)含有存在量詞“有一個(gè)”,故為存在性命題. (5)若一個(gè)四邊形是菱形,也就是所有的菱形,故為全稱(chēng)命題. 反思與感悟 判斷一個(gè)語(yǔ)句是全稱(chēng)命題還是存在性命題的思路 跟蹤訓(xùn)練1 判斷下列命題是全稱(chēng)命題還是存在性命題,并用符號(hào)“?”或“?”表示下列命題: (1)自然數(shù)的平方大于或等于零; (2)對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù)x,x2也是無(wú)理數(shù); (3)有的函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù); (4)對(duì)于數(shù)列,總存在正整數(shù)n,使得an與1之差的絕對(duì)值小于0.01. 考點(diǎn) 全稱(chēng)量詞及全稱(chēng)命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 識(shí)別全稱(chēng)命題和存在性命題 解 (1)是全稱(chēng)命題,表示為?x∈N,x2≥0. (2)是全稱(chēng)命題,?x∈{x|x是無(wú)理數(shù)},x2是無(wú)理數(shù). (3)是存在性命題,?f(x)∈{函數(shù)},f(x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù). (4)是存在性命題,?n∈N*,|an-1|<0.01,其中an=. 類(lèi)型二 全稱(chēng)命題與存在性命題的真假判斷 例2 判斷下列命題的真假,并給出證明: (1)任意兩向量a,b,若ab>0,則a,b的夾角為銳角; (2)?x,y為正實(shí)數(shù),使x2+y2=0; (3)在平面直角坐標(biāo)系中,任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P; (4)?x∈N,x2>0. 考點(diǎn) 全稱(chēng)量詞及全稱(chēng)命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 全稱(chēng)命題和存在性命題真假判斷 解 (1)∵ab=|a||b|cos〈a,b〉>0, ∴cos〈a,b〉>0. 又0≤〈a,b〉≤π, ∴0≤〈a,b〉<,即a,b的夾角為零或銳角. 故它是假命題. (2)∵當(dāng)x2+y2=0時(shí),x=y(tǒng)=0, ∴不存在x,y為正實(shí)數(shù),使x2+y2=0,故它是假命題. (3)由有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知,它是真命題. (4)∵0∈N,02=0, ∴命題“?x∈N,x2>0”是假命題. 反思與感悟 要判定一個(gè)全稱(chēng)命題是真命題,必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立;但要判定全稱(chēng)命題是假命題,卻只要能舉出集合M中的一個(gè)x=x0,使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說(shuō)的“舉出一個(gè)反例”). 跟蹤訓(xùn)練2 有下列四個(gè)命題:①?x∈R,2x2-3x+4>0;②?x∈{1,-1,0},2x+1>0;③?x∈N,x2≤x;④?x∈N*,x為29的約數(shù),其中真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 全稱(chēng)量詞及全稱(chēng)命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 全稱(chēng)命題和存在性命題真假判斷 答案 3 解析?、僦校?x2-3x+4=22+>0, 故①正確; ②中,當(dāng)x=-1時(shí),2x+1<0,故②不正確; ③中,當(dāng)x=0或1時(shí),x2≤x,故③正確; ④中,?29∈N*,29為29的約數(shù),故④正確. ∴真命題的個(gè)數(shù)為3. 類(lèi)型三 全稱(chēng)命題、存在性命題的應(yīng)用 例3 ?x∈[-1,2],使4x-2x+1+2-a<0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 考點(diǎn) 全稱(chēng)量詞及全稱(chēng)命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 由全稱(chēng)命題和存在性命題求參數(shù)范圍 解 已知不等式化為22x-22x+2-a<0,① 令t=2x,∵x∈[-1,2],∴t∈, 則不等式①化為t2-2t+2-a<0, 即a>t2-2t+2, 原命題等價(jià)于?t∈,a>t2-2t+2恒成立, 令y=t2-2t+2=(t-1)2+1, 當(dāng)t∈時(shí),ymax=10. ∴只需a>10即可. 即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(10,+∞). 引申探究 本例改為:?x∈[-1,2],使4x-2x+1+2-a<0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 已知不等式化為22x-22x+2-a<0,① 令t=2x,∵x∈[-1,2],∴t∈, 則不等式①化為t2-2t+2-a<0,即a>t2-2t+2, 原命題等價(jià)于?t∈,使a>t2-2t+2成立. 令y=t2-2t+2=(t-1)2+1, 當(dāng)t∈時(shí),ymin=1. ∴只需a>1即可. ∴a的取值范圍為(1,+∞). 反思與感悟 有解和恒成立問(wèn)題是存在性命題和全稱(chēng)命題的應(yīng)用,注意二者的區(qū)別. 跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)令p(x):ax2+2x+1>0,若對(duì)?x∈R,p(x)是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 考點(diǎn) 全稱(chēng)量詞及全稱(chēng)命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 由全稱(chēng)命題和存在性命題求參數(shù)范圍 解 (1)∵關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即4a-7≥0, 解得a≥,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為. (2)∵對(duì)?x∈R,p(x)是真命題, ∴對(duì)?x∈R,ax2+2x+1>0恒成立, 當(dāng)a=0時(shí),不等式為2x+1>0不恒成立, 當(dāng)a≠0時(shí),若不等式恒成立,則∴a>1, 即a的取值范圍為(1,+∞). 1.下列命題是“?x∈R,x2>3”的表述方法的有________. ①有一個(gè)x∈R,使得x2>3; ②對(duì)有些x∈R,使得x2>3; ③任選一個(gè)x∈R,使得x2>3; ④至少有一個(gè)x∈R,使得x2>3. 考點(diǎn) 存在量詞與存在性命題 題點(diǎn) 識(shí)別存在性命題 答案 ①②④ 2.下列命題中全稱(chēng)命題的個(gè)數(shù)是________. ①任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù); ②有的等差數(shù)列也是等比數(shù)列; ③三角形的內(nèi)角和是180. 考點(diǎn) 全稱(chēng)量詞及全稱(chēng)命題 題點(diǎn) 識(shí)別全稱(chēng)命題 答案 2 解析?、佗凼侨Q(chēng)命題. 3.下列存在性命題是假命題的是________. ①存在x∈Q,使得2x-x3=0;②存在x∈R,使得x2+x+1=0;③有的素?cái)?shù)是偶數(shù);④有的有理數(shù)沒(méi)有倒數(shù). 考點(diǎn) 存在量詞與存在性命題 題點(diǎn) 存在性命題真假的判斷 答案 ② 解析 對(duì)于任意的x∈R,x2+x+1=2+>0恒成立,因此,使x2+x+1=0的實(shí)數(shù)不存在,所以②為假命題. 4.對(duì)任意的x>3,x>a都成立,則a的取值范圍為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 全稱(chēng)量詞及全稱(chēng)命題 題點(diǎn) 恒成立求參數(shù)的范圍 答案 (-∞,3] 解析 只有當(dāng)a≤3時(shí),對(duì)任意的x>3,x>a都成立. 5.用量詞符號(hào)“?”“?”表述下列命題: (1)凸n邊形的外角和等于2π. (2)有一個(gè)有理數(shù)x滿(mǎn)足x2=3. 考點(diǎn) 全稱(chēng)量詞及全稱(chēng)命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 識(shí)別全稱(chēng)命題和存在性命題 解 (1)?x∈{x|x是凸n邊形},x的外角和是2π. (2)?x∈Q,x2=3. 1.判斷命題是全稱(chēng)命題還是存在性命題,主要是看命題中是否含有全稱(chēng)量詞或存在量詞,有些全稱(chēng)命題雖然不含全稱(chēng)量詞,可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷. 2.要確定一個(gè)全稱(chēng)命題是真命題,需保證該命題對(duì)所有的元素都成立;若能舉出一個(gè)反例說(shuō)明命題不成立,則該全稱(chēng)命題是假命題. 3.要確定一個(gè)存在性命題是真命題,舉出一個(gè)例子說(shuō)明該命題成立即可;若經(jīng)過(guò)邏輯推理得到命題對(duì)所有的元素都不成立,則該存在性命題是假命題. 一、填空題 1.下列命題中,是全稱(chēng)命題且是真命題的是________.(填序號(hào)) ①對(duì)任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0; ②菱形的兩條對(duì)角線相等; ③?x∈R,=x; ④對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù). 考點(diǎn) 全稱(chēng)量詞及全稱(chēng)命題 題點(diǎn) 全稱(chēng)命題真假的判斷 答案?、? 解析?、僦械拿}是全稱(chēng)命題,但a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,故是假命題;②中的命題是全稱(chēng)命題,但是假命題;③中的命題是全稱(chēng)命題,但=|x|,故是假命題;很明顯④中的命題是全稱(chēng)命題且是真命題. 2.下列命題中,既是真命題又是存在性命題的是________.(填序號(hào)) ①存在一個(gè)角α,使得tan(90-α)=tanα; ②存在實(shí)數(shù)x,使得sinx=; ③對(duì)一切α,sin(180-α)=sinα; ④sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 考點(diǎn) 存在量詞與存在性命題 題點(diǎn) 存在性命題真假的判斷 答案 ① 解析 ∵當(dāng)α=45時(shí),tan(90-45)=tan45, ∴①為真命題,且為存在性命題; ②中對(duì)?x∈R,有sinx≤1<,∴②為假命題; ③④都是全稱(chēng)命題. 3.下列命題中的假命題是________.(填序號(hào)) ①?x∈R,lgx=0;②?x∈R,tanx=1; ③?x∈R,x3>0;④?x∈R,2x>0. 考點(diǎn) 全稱(chēng)量詞及全稱(chēng)命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 全稱(chēng)命題和存在性命題真假判斷 答案?、? 解析 對(duì)于①,當(dāng)x=1時(shí),lgx=0,正確;對(duì)于②,當(dāng)x=時(shí),tanx=1,正確;對(duì)于③,當(dāng)x<0時(shí),x3<0,錯(cuò)誤;對(duì)于④,?x∈R,2x>0,正確. 4.已知命題:“?x∈{x|-1- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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