江蘇省2019高考數學二輪復習 專題八 附加題 第3講 矩陣與變換、坐標系與參數方程學案.doc
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第3講 矩陣與變換、坐標系與參數方程 [考情考向分析] 1.考查常見的平面變換與矩陣的乘法運算,二階矩陣的逆矩陣及其求法,矩陣的特征值與特征向量的求法,屬B級要求.2.考查直線、曲線的極坐標方程、參數方程,參數方程與普通方程的互化,極坐標與直角坐標的互化,屬B級要求. 熱點一 二階矩陣與平面變換 例1 已知矩陣A=所對應的變換T把曲線C變成曲線C1:+=1,求曲線C的方程. 解 設曲線C上任一點為(x,y), 經過變換T變成(x0,y0), 則=,即x0=x,y0=y(tǒng). 由+=1,得曲線C的方程為x2+4y2=4. 思維升華 解決這類問題一般是設變換T:→,求出原曲線在T的變換下得到的曲線,再根據條件求相應的系數值. 跟蹤演練1 已知曲線C1:x2+y2=1,對它先作矩陣A=對應的變換,再作矩陣B=對應的變換,得到曲線C2:+y2=1,求實數b的值. 解 從曲線C1變到曲線C2的變換對應的矩陣為BA==.在曲線C1上任意選一點P(x0,y0),設它在矩陣BA對應的變換作用下變?yōu)? P′(x′,y′), 則有 =,即=. 故 解得 代入曲線C1方程得,y′2+2=1. 即曲線C2方程為2x2+y2=1. 與已知的曲線C2的方程+y2=1比較得(2b)2=4. 所以b=1. 熱點二 二階矩陣的逆矩陣及其求法 例2 已知點P(3,1)在矩陣A=變換下得到點P′(5,-1).試求矩陣A和它的逆矩陣A-1. 解 依題意得 ==, 所以解得所以A=. 因為det(A)==1(-1)-02=-1, 所以A-1=. 思維升華 由二階矩陣與向量的乘法及向量相等建立方程組,常用于求二階矩陣,要注意變換的前后順序. 跟蹤演練2 二階矩陣M對應的變換TM將曲線x2+x-y+1=0變?yōu)榍€2y2-x+2=0,求M-1. 解 設曲線2y2-x+2=0上一點P(x,y)在M-1對應變化下變成P(x′,y′), 設M-1=,所以代入x2+x-y+1=0得,方程(ax+by)2+(ax+by)-(cx+dy)+1=0, 即b2y2+(a-c)x+(b-d)y+2abxy+a2x2+1=0,與方程y2-+1=0比較得,a=0,b=1,c=,d=1或a=0, b=-1,c=,d=-1. 所以M-1=或M-1=. 熱點三 特征值與特征向量 例3 已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應的一個特征向量e1=,并且矩陣M對應的變換將點(-1,2)變換成(-2,4). (1)求矩陣M; (2)求矩陣M的另一個特征值. 解 (1)設M=,M=8=, M==, 則 解得即M=. (2)令特征多項式f(λ)= =(λ-6)(λ-4)-8=0, 解得λ1=8,λ2=2. 故矩陣M的另一個特征值為2. 思維升華 求矩陣M=就是要求待定的字母,利用條件建立方程組,確立待定的字母的值,從而求出矩陣,待定系數法是求這類問題的通用方法. 跟蹤演練3 已知矩陣A的逆矩陣A-1=. (1)求矩陣A; (2)求矩陣A-1的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量. 解 (1)因為矩陣A是矩陣A-1的逆矩陣, 且|A-1|=22-11=3≠0, 所以A==. (2)矩陣A-1的特征多項式為f(λ)= =λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3), 令f(λ)=0,得矩陣A-1的特征值為λ1=1,λ2=3, 所以ξ1=是矩陣A-1的屬于特征值λ1=1的一個特征向量, ξ2=是矩陣A-1的屬于特征值λ2=3的一個特征向量. 熱點四 曲線的極坐標方程 例4 (2018江蘇沖刺預測)已知曲線C1的參數方程為(t為參數),以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ= . (1)求曲線C1的極坐標方程和C2的直角坐標方程; (2)射線OP:θ=α與C2交于P點,射線OQ:θ=α+與C2交于Q點,求+的值. 解 (1)因為曲線C1的參數方程為(t為參數), 所以曲線C1的直角坐標方程為x-2y-2=0, 所以曲線C1的極坐標方程為ρcos θ-2ρsin θ-2=0, 因為ρ=,所以ρ2(2+sin2θ)=6, 所以曲線C2的直角坐標方程為2x2+3y2=6. (2)依題意得,點P的極坐標滿足 所以OP=,=, 點Q的極坐標滿足 所以OQ=,=, 所以+=+=. 思維升華 解決這類問題一般有兩種思路:一是將極坐標方程化為直角坐標方程,求出交點的直角坐標,再將其化為極坐標;二是將曲線的極坐標方程聯立,根據限制條件求出極坐標.要注意題目所給的限制條件及隱含條件. 跟蹤演練4 在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(t為參數,a>0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程; (2)直線C3的極坐標方程為θ=α0,其中α0滿足tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a. 解 (1)消去參數t得到C1的普通方程為x2+(y-1)2=a2(a>0),C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓. 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0. (2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1. 當a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上. 所以a=1. 熱點五 參數方程 例5 在直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為(t為參數).在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=2sin θ. (1)求圓C的直角坐標方程; (2)設圓C與直線l交于點A,B.若點P的坐標為(3,),求PA+PB. 解 方法一 (1)由ρ=2sin θ,得x2+y2-2y=0, 即x2+(y-)2=5. (2)將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程, 得2+2=5,即t2-3t+4=0. 由于Δ=(-3)2-44=2>0,故可設t1,t2是上述方程的兩實根,所以又直線l過點P(3,), 故由上式及t的幾何意義, 得PA+PB=|t1|+|t2|=t1+t2=3. 方法二 (1)同方法一. (2)因為圓C的圓心為(0,),半徑r=,直線l的普通方程為y=-x+3+. 由 得x2-3x+2=0. 解得或 不妨設A(1,2+),B(2,1+), 又點P的坐標為(3,).故PA+PB=+=3. 思維升華 過定點P0(x0,y0),傾斜角為α的直線參數方程的標準形式為(t為參數),t的幾何意義是數量,即|t|表示P0到P的距離,t有正負之分.使用該式時直線上任意兩點P1,P2對應的參數分別為t1,t2,則P1P2=|t1-t2|,P1P2的中點對應的參數為(t1+t2). 跟蹤演練5 在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數方程為(t為參數),直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,求線段AB的長. 解 將直線l的參數方程(t為參數) 代入拋物線方程y2=4x,得2=4, 解得t1=0,t2=-8. 所以AB=|t1-t2|=8. 1.(2018江蘇)已知矩陣A=. (1)求A的逆矩陣A-1; (2)若點P在矩陣A對應的變換作用下得到點P′(3,1),求點P的坐標. 解 (1)因為A=,又det(A)=22-13=1≠0, 所以A可逆,從而A-1=. (2)設P(x,y),則 =, 所以=A-1=, 因此,點P的坐標為(3,-1). 2.(2018江蘇)在極坐標系中,直線l的方程為ρsin=2,曲線C的方程為ρ=4cos θ,求直線l被曲線C截得的弦長. 解 因為曲線C的極坐標方程為ρ=4cos θ, 所以曲線C是圓心為(2,0),直徑為4的圓. 因為直線l的極坐標方程為ρsin=2, 則直線l過點A(4,0),且傾斜角為, 所以A為直線l與圓C的一個交點. 設另一個交點為B,則∠OAB=. 如圖,連結OB. 因為OA為直徑,從而∠OBA=, 所以AB=4cos =2. 因此,直線l被曲線C截得的弦長為2. 3.(2017江蘇)已知矩陣A=,B=. (1)求AB; (2)若曲線C1:+=1在矩陣AB對應的變換作用下得到另一曲線C2,求C2的方程. 解 (1)因為A=,B=, AB= =. (2)設Q(x0,y0)為曲線C1上任意一點,它在矩陣AB對應的變換作用下變?yōu)辄cP(x,y), 則 =, 即所以 因為點Q(x0,y0)在曲線C1上,所以+=1, 從而+=1,即x2+y2=8. 因此曲線C1在矩陣AB對應的變換作用下得到曲線 C2:x2+y2=8. 1.(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市模擬)已知矩陣M=的一個特征值為3,求M-1. 解 由=0, 得(λ-2)(λ-x)-4=0的一個解為3,代入得x=-1, 因為M=, 所以M-1=. 2.已知矩陣A=,B=,向量α=, x,y為實數.若Aα=Bα,求x+y的值. 解 由已知,得Aα= =, Bα= =. 因為Aα=Bα,所以=. 故解得 所以x+y=. 3.(2015江蘇)已知x,y∈R,向量α=是矩陣A=的屬于特征值-2的一個特征向量,求矩陣A以及它的另一個特征值. 解 由已知,得Aα=-2α, 即 ==, 則即所以矩陣A=. 從而矩陣A的特征多項式f(λ)=(λ+2)(λ-1), 所以矩陣A的另一個特征值為1. 4.在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為(θ為參數),直線l的參數方程為(t為參數). (1)若a=-1,求C與l的交點坐標; (2)若C上的點到l的距離的最大值為,求a. 解 (1)曲線C的普通方程為+y2=1. 當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0. 由解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0),. (2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0, 故C上的點(3cos θ,sin θ)到l的距離為 d=. 當a≥-4時,d的最大值為 . 由題設得=,所以a=8; 當a<-4時,d的最大值為. 由題設得=,所以a=-16. 綜上,a=8或a=-16. 5.已知圓C的極坐標方程為ρ2+2ρsin-4=0,求圓C的半徑. 解 以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O,以極軸為x軸的正半軸,建立直角坐標系xOy. 圓C的極坐標方程為ρ2+2ρ-4=0,化簡,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0. 則圓C的直角坐標方程為x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圓C的半徑為. 6.(2016江蘇)已知矩陣A=,矩陣B的逆矩陣B-1=,求矩陣AB. 解 B=(B-1)-1==. ∴AB= =. 7.(2016江蘇)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數方程為(t為參數),橢圓C的參數方程為(θ為參數).設直線l與橢圓C相交于A,B兩點,求線段AB的長. 解 直線l的方程化為普通方程為x-y-=0, 橢圓C的方程化為普通方程為x2+=1, 聯立方程組得 解得或 ∴取A(1,0),B. 故AB= =. 8.(2018揚州模擬)在直角坐標系xOy中,直線l的參數方程是(t是參數,m是常數).以O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=6cos θ. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程; (2)若直線l與曲線C相交于P,Q兩點,且PQ=2,求實數m的值. 解 (1)因為直線l的參數方程是 (t是參數), 所以直線l的普通方程為x-y-m=0. 因為曲線C的極坐標方程為ρ=6cos θ,故ρ2=6ρcos θ, 所以x2+y2=6x, 所以曲線C的直角坐標方程是(x-3)2+y2=9. (2)曲線C表示以C(3,0)為圓心,3為半徑的圓,設圓心到直線l的距離為d, 則d==2, 又d==2, 所以|3-m|=4,即 m=-1或m=7.- 配套講稿:
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