數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)—課程設(shè)計(jì)

《數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)—課程設(shè)計(jì)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)—課程設(shè)計(jì)（23頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 課 程 論 文 任 務(wù) 書 學(xué)生姓名 指導(dǎo)教師 論文題目 數(shù)值分析課程設(shè)計(jì) 論文內(nèi)容（需明確列出研究的問(wèn)題）： 本文主要描述運(yùn)用數(shù)值分析的知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)研究問(wèn)題中的計(jì)算問(wèn)題，包括運(yùn)用拉格朗日插值公式以及牛頓插值公式來(lái)根據(jù)觀測(cè)點(diǎn)來(lái)構(gòu)造一個(gè)反應(yīng)函數(shù)的特征并計(jì)算未觀測(cè)到點(diǎn)的函數(shù)值、運(yùn)用最小二乘法確定系數(shù)以及列主元Gauss消去法求解方程組 。 資料、數(shù)據(jù)、技術(shù)水平等方面的要求：論文要符合一般學(xué)術(shù)論文的寫作規(guī)范，具備學(xué)術(shù)性、科學(xué)性和一定的創(chuàng)造性。文字要流暢

2、、語(yǔ)言要準(zhǔn)確、論點(diǎn)要清楚、論據(jù)要準(zhǔn)確、論證要完整、嚴(yán)密，有獨(dú)立的觀點(diǎn)和見(jiàn)解。內(nèi)容要理論聯(lián)系實(shí)際，計(jì)算數(shù)據(jù)要求準(zhǔn)確，涉及到他人的觀點(diǎn)、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或計(jì)算公式等要標(biāo)明出處，結(jié)論要寫的概括簡(jiǎn)短。參考文獻(xiàn)的書寫按論文中引用的先后順序連續(xù)編碼。 發(fā)出任務(wù)書日期 完成論文（設(shè)計(jì)）日期 學(xué)科組或教研室意見(jiàn)（簽字） 院、系（系）主任意見(jiàn)（簽字） 目錄 【摘要】 Ⅰ 【關(guān)鍵詞】 Ⅰ A

3、bstract Ⅱ Keywords Ⅱ 一、插值問(wèn)題與插值多項(xiàng)式 1 （一）基礎(chǔ)知識(shí) 1 （二）題目： 2 （三）程序清單： 5 （四）實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析： 7 二、最小二乘法 7 （一）基礎(chǔ)知識(shí) 7 （二）題目： 8 （三）程序清單： 9 （四）實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析： 10 三、列主元Gauss消去法 11 （一）基礎(chǔ)知識(shí) 11 （二）題目 12 （三）程序清單： 12 （四）實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析： 13 四、實(shí)驗(yàn)心得： 14 數(shù)值分析課程設(shè)計(jì) 【摘要】 數(shù)值分析是研究各種數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的數(shù)值計(jì)算方法，是數(shù)學(xué)中計(jì)算數(shù)學(xué)分支的重要內(nèi)容。近幾十

4、年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法的學(xué)習(xí)與研究越來(lái)越離不開(kāi)計(jì)算機(jī)。實(shí)際計(jì)算中遇到的數(shù)值問(wèn)題只有與計(jì)算機(jī)相結(jié)合，算法與程序密切聯(lián)系，形成切實(shí)可靠的數(shù)值軟件才能為社會(huì)創(chuàng)造更大的社會(huì)財(cái)富。本文主要描述運(yùn)用數(shù)值分析的知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)研究問(wèn)題中的計(jì)算問(wèn)題，包括運(yùn)用拉格朗日插值公式以及牛頓插值公式來(lái)根據(jù)觀測(cè)點(diǎn)來(lái)構(gòu)造一個(gè)反應(yīng)函數(shù)的特征并計(jì)算未觀測(cè)到點(diǎn)的函數(shù)值、運(yùn)用最小二乘法確定系數(shù)以及列主元Gauss消去法求解方程組 。 【關(guān)鍵詞】插值問(wèn)題與插值多項(xiàng)式 最小二乘法 列主元Gauss消去法 1 1 Course Design for Numeri

5、cal Analysis Abstract Numerical analysis is an important branch of mathematics, which offers various mumerical methods to solve mathematical problem solving. In recent decades, with the rapid development of computers ,,numerical methods of learning and research are increasingly inseparable from

6、the computer. Actual numerical problems encountered in the calculation only combined with the computer, as well as algorithms and procedures contacted closely in order to form a practical and reliable numerical software, can it create a great of social wealth. This paper use numerical analysis of ma

7、thematical knowledge to solve research problems and computational problems, including by using column pivot gauss elimination method for the solution of equations, Newtons iterative method for finding the root of a equation； Including using Lagrange interpolation formula and the Newton interpolatio

8、n formula to according to the characteristics of the observation point to construct a response function not observation to point and calculate the function value, using the least squares method to determine coefficient, and column pca Gauss elimination method of solving equations. Keyword

9、s With the interpolation polynomial interpolation problem The least square method Column pca Gauss elimination method 1 一、插值問(wèn)題與y=f(x)插值多項(xiàng)式 （一）基礎(chǔ)知識(shí) 定義1 設(shè)為區(qū)間上y=f(x)函數(shù)，為上互不相同的點(diǎn)，為給定的某一函數(shù)類，若上有函數(shù)，滿足 . (1) 則稱為關(guān)于節(jié)點(diǎn)在上的插值函數(shù)，稱點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)；稱為插值型

10、值點(diǎn)，簡(jiǎn)稱型值點(diǎn)或插值點(diǎn);稱為被插函數(shù). 定義2 已知函數(shù)在區(qū)間上的個(gè)點(diǎn)的值，即已知，尋求一個(gè)解析形式的函數(shù)，使之滿足 (2) 則稱為插值結(jié)點(diǎn),為被插值函數(shù)，為插值函數(shù)，稱條件為插值條件，若為次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式，即， . (3) 其中為實(shí)數(shù)，則稱為插值多項(xiàng)式. 定理1在個(gè)相異結(jié)點(diǎn)滿足插值條件而次數(shù)不高于的多項(xiàng)式是唯一的. 拉格朗日插值多項(xiàng)式定義： 對(duì)某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，已知有給定的k+1個(gè)取值點(diǎn)： 其中xj對(duì)應(yīng)著自變量的位置，而yj對(duì)應(yīng)著函數(shù)在這個(gè)位置的

11、取值。 假設(shè)任意兩個(gè)不同的xj都互不相同，那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項(xiàng)式為： 其中每個(gè)為拉格朗日基本多項(xiàng)式（或稱插值基函數(shù)），其表達(dá)式為： 拉格朗日基本多項(xiàng)式的特點(diǎn)是在xj 上取值為1，在其它的點(diǎn) 上取值0。 求拉格朗日插值多項(xiàng)式的算法： 輸入：數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)構(gòu)成的向量x，y和要求的點(diǎn)x0； 輸出：拉格朗日插值多項(xiàng)式已經(jīng)特值對(duì)應(yīng)的y值 Step1: 對(duì)于i=1:n 對(duì)于j=1：n 如果j不等于i，執(zhí)行step2； 執(zhí)行step3 Step2: l=l*(t-x(

12、j))/(x(i)-x(j));//這就是計(jì)算出的拉格朗日基本多項(xiàng)式 step3：f=f+l;//計(jì)算插值多項(xiàng)式 （二）題目： 根據(jù)下表所列的數(shù)據(jù)點(diǎn)求出其拉格朗日插值多項(xiàng)式及牛頓插值多項(xiàng)式，并計(jì)算當(dāng)x=2.0時(shí)的值。 1 2 3 -4 5 2 48 272 1182 2262 1.拉格朗日多項(xiàng)式 解：編寫拉格朗日多項(xiàng)式插值方法函數(shù) >> x=[1 2 3 -4 5]; >> y=[2 48 272 1182 2262]; >> f=largance(x,y) f = 2.+t^2-3.*t-2.*t^3+4.*t^4

13、 >> f=largance(x,y,2.0) f = 48 >> 2.牛頓插值多項(xiàng)式 x=[1 2 3 -4 5]; y=[2 48 272 1182 2262]; f=Newton(x,y) f = 2.-3.*t+t^2-2.*t^3+4.*t^4 >> x=[1 1.2 1.8 2.5 4]; >> y=[1 1.44 3.24 6.25 16]; f=Newton(x,y) f = .182711e-14-.482154e-14*t+1.00000*t^2-.169177e-14

14、*t^3+.211471e-15*t^4 >> f=Newton(x,y,2.0) f = 4 （三）程序清單： 1.拉格朗日插值多項(xiàng)式 function f=largance(x,y,x0) syms t; %確保輸入數(shù)據(jù)正確 if(length(x)==length(y)) n=length(x); else disp(x和y的維數(shù)不同) return ; end f=0.0; for(i=1:n) l=y(i); %計(jì)算拉格朗日基本多項(xiàng)式 for(j=

15、1:n) if(j~=i) l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end; end %計(jì)算插值多項(xiàng)式 f=f+l; %簡(jiǎn)化多項(xiàng)式 simplify(f); if(i==n) if(nargin==3) f=subs(f,t,x0);%將特定值x0帶入多項(xiàng)式 else f=collect(f);%合并同類項(xiàng) f=vpa(f,6);%指定計(jì)算數(shù)據(jù)的精度

16、 end end End 2.牛頓插值公式 function f=Newton(x,y,x0) syms t; if(length(x)==length(y)) n=length(x); c(1:n)=0.0; else disp(x和y的維數(shù)不相等！); return; end f=y(1); yl=0; l=1; for (i=1:n-1) for (j=i+1:n) y1(j)=(y(j)-y(i))/(x(j)-x(i)); end c(i)=y1(

17、i+1); l=l*(t-x(i)); f=f+c(i)*l; simplify(f); y=y1; if(i==n-1) if(nargin==3) f=subs(f,t,x0); else f=collect(f); f=vpa(f,6); end end end （4） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析： 通過(guò)比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知他們計(jì)算的插值基點(diǎn)得函數(shù)值基本相同，具有較高的穩(wěn)定性；拉格朗日插值多項(xiàng)式形式對(duì)稱，但

18、是用它計(jì)算時(shí)，若要增加一個(gè)插值點(diǎn)，則原先計(jì)算的插值多項(xiàng)式對(duì)計(jì)算后來(lái)的多項(xiàng)式?jīng)]有用，這樣增加了計(jì)算工作量；而對(duì)于牛頓插值公式構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，若增加一個(gè)插值基點(diǎn)，原先計(jì)算的結(jié)果對(duì)于后來(lái)的計(jì)算過(guò)程仍有用。用matlab編寫程序后可以準(zhǔn)確算出結(jié)果。 2、 最小二乘法 （1） 基礎(chǔ)知識(shí) 在我們研究?jī)蓚€(gè)變量(x, y)之間的相互關(guān)系時(shí)，通常可以得到一系列成對(duì)的數(shù)據(jù)(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；將這些數(shù)據(jù)描繪在x -y直角坐標(biāo)系中: 　　 　 (式1-1) 　　其中：、 是任意實(shí)數(shù) 　　為建立這直

19、線方程就要確定和，應(yīng)用《最小二乘法原理》，將實(shí)測(cè)值與利用(式1-1)計(jì)算值()的離差()的平方和最小為“優(yōu)化判據(jù)”。 　　 令: 　 　 (式1-2) 　　把(式1-1)代入(式1-2)中得: 　 　 (式1-3) 　　當(dāng)平方最小時(shí)，可用函數(shù) 對(duì)、求偏導(dǎo)數(shù)，令這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)等于零。亦即： 　 (式1-4) 　 (式1-5) 　　得到的兩個(gè)關(guān)于、 為未知數(shù)的兩個(gè)方

20、程組，解這兩個(gè)方程組得出： (式1-6) 　 (式1-7) 這時(shí)把、 代入(式1-1)中, 此時(shí)的(式1-1)就是我們回歸的元線性方程即：。 　　在回歸過(guò)程中，回歸的關(guān)聯(lián)式是不可能全部通過(guò)每個(gè)回歸數(shù)據(jù)點(diǎn)(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),為了判斷關(guān)聯(lián)式的好壞,可借助相關(guān)系數(shù)“R”，統(tǒng)計(jì)量“F”，剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差“S”進(jìn)行判斷；“R”越趨近于 1 越好；“F”的絕對(duì)值越大越好；“S”越趨近于 0 越好。 　

21、 (式1-10) 　　在(式1-1)中，m為樣本容量，即實(shí)驗(yàn)次數(shù)；Xi、Yi分別任意一組實(shí)驗(yàn)X、Y的數(shù)值。 （二）題目： 液體的表面張力是溫度的線性函數(shù)，用最小二乘法確定系數(shù). 0 10 20 30 40 80 90 95 68.0 67.1 66.4 65.6 64.6 61.8 61.0 60.0 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： ans = -0.0799 67.9593 （三）程序清單： >> T=[0 10 20 30 40 80 90 95]; >> S=[68.0 67.1 66.4 65.6

22、 64.6 61.8 61.0 60.0]; >> polyfit(T,S,1) （4） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析： 通過(guò)運(yùn)用matlab軟件，編寫程序?qū)σ后w的表面張力是溫度的線性函數(shù)的分析可知，在已知T和S的情況下，運(yùn)用程序能夠準(zhǔn)確的求解出線性函數(shù)的系數(shù)a和b.并且準(zhǔn)確度是相當(dāng)高，實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為可信。 三、列主元Gauss消去法 （1） 基礎(chǔ)知識(shí) 1.高斯消去法就是通過(guò)矩陣的行變換達(dá)到消元的目的，從而將方程組的系數(shù)矩陣由對(duì)稱矩陣變?yōu)槿蔷仃?，最后獲得方程組的解。 算法步驟： 輸入 方程組的階數(shù)n；增廣矩陣[A,b] 輸出： 方程組的解x1,x2,…….xn

23、; Step1: 對(duì)k=1,2,………..,n-1做step2~5 Step2 選主元：求使 = Step3 若=0，則輸出（‘A is singular’）;停機(jī) Step4 若k,則；；,j=k,k+1,…..n+1.(交換增廣矩陣的第 行與第k行) Step5 對(duì)i=k+1，….n做step6~7. Step6 = Step7 對(duì)j=k+1,…..n+1 Step8

24、 若=0，則輸出（‘A is singular’）;停機(jī)；否則， Step9 對(duì)k=n-1，…..1 Step10 輸出；停機(jī) （二）題目 用列主元Gauss消去法解方程組 運(yùn)行結(jié)果： >> clear >> A=[2,4,-6;1,5,3;1,3,2]; >> b=[-4;10;5]; >> x=gaussc(A,b) x = -3 2 1 （三）程序清單： function x=gaussc(A,b) [n,m]=size(A); A=[A,b]; for k=1:n-1

25、 for p=k+1:n if abs(A(p,k))>abs(A(k,k)) for j=k:n+1 t=A(k,j); A(k,j)=A(p,j); A(p,j)=t; end end end %搜索主元并交換 for i=k+1:n l=-A(i,k)/A(k,k);

26、 for j=k+1:n+1 A(i,j)=A(i,j)+l*A(k,j); end end end %消去過(guò)程結(jié)束 x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+A(i,j)*x(j); end x(i)=(A(i,n+1)-s)/A(i,i); End （4） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析： 采用gauss消去

27、法時(shí)，如果消元時(shí)對(duì)角線上的元素較大，不進(jìn)行列主元計(jì)算，計(jì)算結(jié)果一般可以達(dá)到要求，否則必須進(jìn)行列主元這一步，以減小誤差影響。通過(guò)檢驗(yàn)可以得出結(jié)果是準(zhǔn)確的，正確反應(yīng)了實(shí)驗(yàn)程序的編寫的正確性。并且Gauss消去法的消元過(guò)程不至于中斷，并且舍入誤差較小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為精確。 4、 實(shí)驗(yàn)心得： 通過(guò)這次數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)，我運(yùn)用matlab軟件分別解決了包括運(yùn)用拉格朗日插值公式以及牛頓插值公式來(lái)根據(jù)觀測(cè)點(diǎn)來(lái)構(gòu)造一個(gè)反應(yīng)函數(shù)的特征并計(jì)算未觀測(cè)到點(diǎn)的函數(shù)值、運(yùn)用最小二乘法確定系數(shù)以及列主元Gauss消去法求解方程組在內(nèi)的問(wèn)題，這其中自己遇到很多不懂得地方，但是通過(guò)

28、查閱圖書資料，加之一遍又一遍的調(diào)試程序，還是順利的完成了課程設(shè)計(jì)，在這個(gè)過(guò)程中，我學(xué)會(huì)了很多以前不懂得程序解法，懂得了如何快速調(diào)試程序，然后運(yùn)行成功。當(dāng)然，我深知自己理論知識(shí)的不夠，我定將加強(qiáng)自己理論的研究，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的魅力！ 參考文獻(xiàn) [1]黃友謙，程詩(shī)杰，陳浙鵬，《數(shù)值試驗(yàn)》，北京：高等教育出版社，1989 [2]《計(jì)算方法》鄧建中等編，西安交大出版社，1985。 [3]《數(shù)值計(jì)算和C程序集》蔣長(zhǎng)錦編著，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1998。 [4]《計(jì)算方法引論》徐萃薇編，高等教育出版社，1999。 [5]陳寶林．?dāng)?shù)值分析．合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2010.7，112-

29、123 [6]林成森．?dāng)?shù)值分析．北京：科學(xué)出版社，2007，19—23 119—130 [7]蔡大用，《數(shù)值分析與實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》，北京：清華大學(xué)出版社與施普林格出版社，2001課程論文成績(jī)?cè)u(píng)定表 學(xué)生姓名 專業(yè)班級(jí) 論文題目 數(shù)值分析課程設(shè)計(jì) 指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)及意見(jiàn)： 指導(dǎo)教師評(píng)閱成績(jī)： 指導(dǎo)教師簽字 年 月 日 評(píng)閱人評(píng)語(yǔ)及意見(jiàn)： 評(píng)閱人評(píng)閱成績(jī)： 評(píng)閱人簽字 年 月 日 總評(píng)成績(jī)（以百分記）： 年 月 日 15