2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2.1 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx
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3.2.1 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.能根據(jù)定義求函數(shù)y=C,y=kx+b,y=x,y=x2,y=的導(dǎo)數(shù).2.準(zhǔn)確記憶基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,并靈活運用公式求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 知識點一 冪函數(shù)與一次函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 思考1 函數(shù)y=kx(k≠0)增(減)的快慢與什么有關(guān)? 答案 當(dāng)k>0時,函數(shù)增加的快慢與系數(shù)k有關(guān),k越大,增加的越快; 當(dāng)k<0時,函數(shù)減少的快慢與|k|有關(guān),|k|越大,函數(shù)減少的越快. 思考2 你能結(jié)合x′=1,(x2)′=2x,(x-1)′=-x-2及()′=歸納出f(x)=xn的導(dǎo)數(shù)有怎樣的規(guī)律嗎? 答案 f′(x)=(xn)′=nxn-1. 梳理 (1)(kx+b)′=k(k,b為常數(shù)),特別地C′=0(C為常數(shù)). (2)(xα)′=αxα-1(α為常數(shù)). 知識點二 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 思考 計算過程′=-sin=-正確嗎? 答案 不正確.因為cos=為常數(shù),其導(dǎo)數(shù)為0. 梳理 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)=sinx f′(x)=cosx f(x)=cosx f′(x)=-sinx f(x)=ax(a>0,且a≠1) f′(x)=axlna f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f′(x)= f(x)=lnx f′(x)= f(x)=xα(α為常數(shù)) f′(x)=αxα-1 1.(ex)′=ex.( √ ) 2.(lnx)′=.( √ ) 3.′=cos=.( ) 4.若f(x)=,則f′(x)=-.( √ ) 類型一 利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=x12;(2)y=;(3)y=; (4)y=2sincos;(5)y=;(6)y=3x. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 幾個常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 解 (1)y′=(x12)′=12x12-1=12x11. (2)y′=(x-4)′=-4x-4-1=-4x-5=-. (3)y′=()′=()′===. (4)∵y=2sincos=sinx,∴y′=cosx. (5)y′=()′==-. (6)y′=(3x)′=3xln3. 反思與感悟 若題目中所給出的函數(shù)解析式不符合導(dǎo)數(shù)公式,需通過恒等變換對解析式進(jìn)行化簡或變形后求導(dǎo),如根式化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo). 跟蹤訓(xùn)練1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)f(x)=;(2)f(x)=2-x; (3)f(x)=e2;(4)f(x)=cosx. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 幾個常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 解 (1)f′(x)=()′==; (2)f′(x)=′=xln=-2-xln2; (3)f′(x)=(e2)′=0; (4)f′(x)=(cosx)′=-sinx. 類型二 導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 例2 已知點P(-1,1),點Q(2,4)是曲線y=x2上兩點,是否存在與直線PQ垂直的切線,若有,求出切線方程;若沒有,說明理由. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 因為y′=(x2)′=2x,假設(shè)存在與直線PQ垂直的切線. 設(shè)切點為(x0,y0),則PQ的斜率為k==1, 而切線與PQ垂直,所以2x0=-1,即x0=-. 所以切點為. 所以所求切線方程為y-=(-1), 即4x+4y+1=0. 引申探究 若本例條件不變,求與直線PQ平行的曲線y=x2的切線方程. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 因為y′=(x2)′=2x,設(shè)切點為M(x0,y0), 則在點x=x0處的導(dǎo)數(shù)為2x0, 又因為PQ的斜率為k==1, 而切線平行于PQ,所以k=2x0=1,即x0=. 所以切點為M. 所以所求切線方程為y-=x-,即4x-4y-1=0. 反思與感悟 解決切線問題,關(guān)鍵是確定切點,要充分利用: (1)切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率; (2)切點在切線上; (3)切點又在曲線上這三個條件聯(lián)立方程解決. 跟蹤訓(xùn)練2 已知兩條曲線y=sinx,y=cosx,是否存在這兩條曲線的一個公共點,使在這一點處兩條曲線的切線互相垂直?并說明理由. 考點 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點 正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 設(shè)存在一個公共點(x0,y0),使兩曲線的切線垂直, 則在點(x0,y0)處的切線斜率分別為k1=cosx0,k2=-sinx0. 要使兩切線垂直,必須有k1k2=cosx0(-sinx0)=-1, 即sin2x0=2,這是不可能的. 所以兩條曲線不存在公共點,使在這一點處的兩條切線互相垂直. 例3 求拋物線y=x2上的點到直線x-y-2=0的最短距離. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 依題意知拋物線y=x2與直線x-y-2=0平行的切線的切點到直線x-y-2=0的距離最短,設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,x). ∵y′=(x2)′=2x,∴2x0=1,∴x0=, ∴切點坐標(biāo)為, ∴所求的最短距離d==. 反思與感悟 利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式,可求其圖象在某一點P(x0,y0)處的切線方程,可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問題,一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān).解題時可先利用圖象分析取最值時的位置情況,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確計算. 跟蹤訓(xùn)練3 已知直線l: 2x-y+4=0與拋物線y=x2相交于A,B兩點,O是坐標(biāo)原點,試求與直線l平行的拋物線的切線方程,并在弧上求一點P,使△ABP的面積最大. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 設(shè)M(x0,y0)為切點,過點M與直線l平行的直線斜率k=y(tǒng)′=2x0, ∴k=2x0=2,∴x0=1,y0=1. 故可得M(1,1),∴切線方程為2x-y-1=0. 由于直線l: 2x-y+4=0與拋物線y=x2相交于A,B兩點, ∴AB為定值,要使△ABP的面積最大,只要P到AB的距離最大, 故點M(1,1)即為所求弧上的點,使△ABP的面積最大. 1.設(shè)函數(shù)f(x)=logax,f′(1)=-1,則a=________. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 解析 ∵f′(x)=, 則f′(1)==-1,∴a=. 2.下列結(jié)論: ①(sinx)′=-cosx;②′=;③(log3x)′=;④(lnx)′=. 其中正確的結(jié)論是________. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 ④ 解析 由求導(dǎo)公式知,(sin x)′=cos x,′=-,(log3x)′=,(lnx)′=,故④正確. 3.在曲線y=上求一點P,使得曲線在該點處的切線傾斜角為135,則點P的坐標(biāo)為__________. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 (2,1) 解析 y′=(4x-2)′=-8x-3,設(shè)點P(x0,y0), 依題意,得-8x=tan135=-1,∴x0=2. 又P(x0,y0)在曲線y=上,∴y0=1. 4.設(shè)正弦函數(shù)y=sinx上一點P,以點P為切點的切線為直線l,則直線l的傾斜角的取值范圍為________. 考點 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點 正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 ∪ 解析 ∵(sinx)′=cosx,∴kl=cosx, ∴-1≤kl≤1,∴αl∈∪. 5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=cos;(2)y=;(3)y=; (4)y=lgx;(5)y=5x;(6)y=cos. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 幾個常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 解 (1)y′=0. (2)∵y==x-5,∴y′=(x-5)′=-5x-6=-. (3)∵y==,∴y′=()′==. (4)y′=. (5)y′=5xln5. (6)∵y=cos=sinx, ∴y′=(sinx)′=cosx. 1.利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡便地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),其關(guān)鍵是牢記和運用好導(dǎo)數(shù)公式.解題時,能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸. 2.有些函數(shù)可先化簡再應(yīng)用公式求導(dǎo). 如求y=1-2sin2的導(dǎo)數(shù).因為y=1-2sin2=cosx, 所以y′=(cosx)′=-sinx. 3.對于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一是注意函數(shù)名稱的變化,二是注意函數(shù)符號的變化. 一、填空題 1.已知f(x)=sinx,則f′=________. 考點 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點 正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 0 解析 ∵f′(x)=cosx,∴f′=0. 2.若f(x)=x3,f′(x0)=3,則x0的值是________. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 1 解析 ∵f′(x0)=3x=3,∴x0=1. 3.已知f(x)=,g(x)=mx,且g′(2)=,則m=________. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案?。? 解析 ∵f′(x)=-,∴f′(2)=-, 又∵g′(x)=m,∴g′(2)=m, 由g′(2)=,得m=-4. 4.曲線y=f(x)=lnx在x=a處的切線傾斜角為,則a=________. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 1 解析 ∵y′=,∴f′(a)==1. ∴a=1. 5.下列結(jié)論中正確的個數(shù)為________. ①f(x)=ln2,則f′(x)=; ②f(x)=,則f′(3)=-; ③f(x)=2x,則f′(x)=2xln2; ④f(x)=log2x,則f′(x)=. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 3 解析?、賔(x)=ln2為常數(shù),所以f′(x)=0,①錯.②③④均正確. 6.曲線y=ex在點(2,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 e2 解析 ∵y′=(ex)′=ex,∴k=e2, ∴曲線在點(2,e2)處的切線方程為y-e2=e2(x-2), 即y=e2x-e2. 當(dāng)x=0時,y=-e2;當(dāng)y=0時,x=1. ∴S=1|-e2|=e2. 7.過曲線y=上一點P的切線的斜率為-4,則點P的坐標(biāo)為________. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 或 解析 ∵y′=(x-1)′=-=-4, ∴x2=,x=. ∴切點坐標(biāo)為或. 8.已知直線y=kx是曲線y=ex的切線,則實數(shù)k的值為________. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 e 解析 y′=ex,設(shè)切點為(x0,y0),則 ∴=x0, ∴x0=1,∴k=e. 9.曲線y=log2x在點(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 log2e 解析 ∵y′=,∴k=, ∴切線方程為y=(x-1), ∴三角形面積為S△=1==log2e. 10.已知f(x)=cosx,g(x)=x,則關(guān)于x的不等式f′(x)+g′(x)≤0的解集為____________________. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 幾個常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 答案 解析 ∵f′(x)=-sinx,g′(x)=1, 由f′(x)+g′(x)≤0,得-sinx+1≤0, 即sinx≥1,則sinx=1,解得x=+2kπ,k∈Z, ∴其解集為. 二、解答題 11.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)f(x)=log2x2-log2x;(2)f(x)=-2x; (3)f(x)=-2sin; (4)y=(1-)+. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 幾個常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 解 (1)∵f(x)=log2x2-log2x=2log2x-log2x=log2x, ∴f′(x)=(log2x)′=. (2)∵f(x)=-2x=2x+-2x=, ∴f′(x)=′=(x-1)′=-x-2=-. (3)∵f(x)=-2sin=sinx. ∴f′(x)=(sinx)′=cosx. (4)∵f(x)=(1-)+=1-+-1+= ∴f′(x)=()′==-. 12.若曲線y=在點(a,)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18,求a的值. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 ∵y=,∴y′=, ∴曲線在點(a,a-)處的切線斜率k=-a-, ∴切線方程為y-=. 令x=0,得y=;令y=0,得x=3a. ∴該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 S=3a==18,∴a=64. 13.已知曲線y=f(x)=5(x>0),求: (1)曲線上與直線y=2x-4平行的切線方程; (2)過點P(0,5),且與曲線相切的切線方程. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 (1)設(shè)切點為(x0,y0), 由y=f(x)=5,得f′(x0)=. 因為切線與直線y=2x-4平行,所以=2, 解得x0=,所以y0=. 故所求切線方程為y-=2, 即16x-8y+25=0. (2)因為點P(0,5)不在曲線y=5上, 所以設(shè)切點坐標(biāo)為M(x1,y1), 則切線斜率為(x1≠0), 又因為切線斜率為, 所以==, 解得x1=4(x1=0舍去). 所以切點為M(4,10),斜率為, 故切線方程為y-10=(x-4),即5x-4y+20=0. 三、探究與拓展 14.已知函數(shù)f(x)=-1(a>0)的圖象在x=1處的切線為l,則l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為________. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 1 解析 ∵f′(x)=,∴f′(1)=. 又f(1)=-1, ∴f(x)在x=1處的切線l的方程是y-+1=(x-1). ∴l(xiāng)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 S== ≥(2+2)=1. 故l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為1. 15.點P是曲線y=ex上任意一點,求點P到直線y=x的最小距離. 考點 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 如圖,當(dāng)曲線y=ex在點P(x0,y0)處的切線與直線y=x平行時,點P到直線y=x的距離最近. 則曲線y=ex在點P(x0,y0)處的切線斜率為1,又y′=(ex)′=ex, 所以=1,得x0=0, 代入y=ex,得y0=1,即P(0,1). 利用點到直線的距離公式得最小距離為.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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