2019高考數(shù)學 專題五 導數(shù)的應用精準培優(yōu)專練 文.doc
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培優(yōu)點五 導數(shù)的應用 1.利用導數(shù)判斷單調性 例1:求函數(shù)的單調區(qū)間 【答案】見解析 【解析】第一步:先確定定義域,定義域為, 第二步:求導: , 第三步:令,即, 第四步:處理恒正恒負的因式,可得, 第五步:求解,列出表格 2.函數(shù)的極值 例2:求函數(shù)的極值. 【答案】的極大值為,無極小值 【解析】 令解得:,的單調區(qū)間為: 的極大值為,無極小值. 3.利用導數(shù)判斷函數(shù)的最值 例3:已知函數(shù)在區(qū)間上取得最小值4,則___________. 【答案】 【解析】思路一:函數(shù)的定義域為,. 當時,, 當時,,為增函數(shù),所以,,矛盾舍去; 當時,若,,為減函數(shù),若,,為增函數(shù), 所以為極小值,也是最小值; ①當,即時,在上單調遞增,所以, 所以(矛盾); ②當,即時,在上單調遞減,, 所以; ③當,即時,在上的最小值為, 此時(矛盾). 綜上. 思路二:,令導數(shù),考慮最小值點只有可能在邊界點與極值點處取得,因此可假設,,分別為函數(shù)的最小值點,求出后再檢驗即可. 對點增分集訓 一、單選題 1.函數(shù)的單調遞減區(qū)間為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】函數(shù)的導數(shù)為,令,得, ∴結合函數(shù)的定義域,得當時,函數(shù)為單調減函數(shù). 因此,函數(shù)的單調遞減區(qū)間是.故選A. 2.若是函數(shù)的極值點,則( ) A.有極大值 B.有極小值 C.有極大值0 D.有極小值0 【答案】A 【解析】因為是函數(shù)的極值點,所以,,,.當時,;當時,,因此有極大值,故選A. 3.已知函數(shù)在上單調遞減,且在區(qū)間上既有最大值,又有最小值,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因為函數(shù)在上單調遞減, 所以對于一切恒成立,得,, 又因為在區(qū)間上既有最大值,又有最小值, 所以,可知在上有零點, 也就是極值點,即有解,在上解得, 可得,,故選C. 4.函數(shù)是上的單調函數(shù),則的范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若函數(shù)是上的單調函數(shù),只需恒成立, 即,.故選C. 5.遇見你的那一刻,我的心電圖就如函數(shù)的圖象大致為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由,其定義域為,即,, 則函數(shù)為奇函數(shù),故排除C、D, ,則函數(shù)在定義域內單調遞減,排除B,故選A. 6.函數(shù)在內存在極值點,則( ) A. B. C.或 D.或 【答案】A 【解析】若函數(shù)在無極值點,則或在恒成立. ①當在恒成立時,時,,得;時,,得; ②當在恒成立時,則且,得; 綜上,無極值時或.∴在在存在極值.故選A. 7.已知,,若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,則實數(shù)的取值范圍是( ) A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】D 【解析】因為,函數(shù)在區(qū)間上單調遞減, 所以在區(qū)間上恒成立, 只需,即解得或,故選D. 8.函數(shù)在定義域內可導,其圖像如圖所示.記的導函數(shù)為,則不等式的解集為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由圖象知和上遞減,因此的解集為.故選A. 9.設函數(shù),則( ) A.在區(qū)間,內均有零點 B.在區(qū)間,內均無零點 C.在區(qū)間內有零點,在區(qū)間內無零點 D.在區(qū)間內無零點,在區(qū)間內有零點 【答案】D 【解析】的定義域為,在單調遞減,單調遞增,, 當在區(qū)間上時,在其上單調,,,故在區(qū)間上無零點, 當在區(qū)間上時,在其上單調,,,故在區(qū)間上有零點. 故選D. 10.若函數(shù)既有極大值又有極小值,則實數(shù)的取值范圍為( ) A. B. C.或 D.或 【答案】D 【解析】,, 函數(shù)既有極大值又有極小值, 有兩個不等的實數(shù)根, ,,則或,故選D. 11.已知函數(shù)的兩個極值點分別在與內,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由函數(shù),求導, 的兩個極值點分別在區(qū)間與內,由的兩個根分別在區(qū)間與內,, 令,轉化為在約束條件為時,求的取值范圍, 可行域如下陰影(不包括邊界), 目標函數(shù)轉化為,由圖可知,在處取得最大值,在處取得最小值,可行域不包含邊界,的取值范圍.本題選擇A選項. 12.設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為,在區(qū)間上的導函數(shù)為,若在區(qū)間 上,則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”,已知在區(qū)間上為“凹函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵,∴,∴, ∵函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”∴, ∴在上恒成立,即在上恒成立. ∵在上為單調增函數(shù),∴,∴, 故選D. 二、填空題 13.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是___________. 【答案】8 【解析】,已知, 當或時,,在該區(qū)間是增函數(shù), 當時,,在該區(qū)間是減函數(shù), 故函數(shù)在處取極大值,,又,故的最大值是8. 14.若函數(shù)在,上都是單調增函數(shù),則實數(shù)的取值集合是______. 【答案】 【解析】,, 函數(shù)在,上都是單調增函數(shù), 則,即,解得,,即,解得, 則實數(shù)的取值集合是,故答案為. 15.函數(shù)在內不存在極值點,則的取值范圍是___________. 【答案】或 【解析】函數(shù)在內不存在極值點在內單調函數(shù)或在內恒成立, 由在內恒成立,,即, 同理可得,故答案為或. 16.已知函數(shù), ① 當時,有最大值; ② 對于任意的,函數(shù)是上的增函數(shù); ③ 對于任意的,函數(shù)一定存在最小值; ④ 對于任意的,都有. 其中正確結論的序號是_________.(寫出所有正確結論的序號) 【答案】②③ 【解析】由函數(shù)的解析式可得:,當時,,,單調遞增,且, 據(jù)此可知當時,,單調遞增,函數(shù)沒有最大值,說法①錯誤; 當時,函數(shù),均為單調遞增函數(shù),則函數(shù)是上的增函數(shù),說法②正確; 當時,單調遞增,且, 且當,據(jù)此可知存在, 在區(qū)間上,,單調遞減; 在區(qū)間上,,單調遞增; 函數(shù)在處取得最小值,說法③正確; 當時,, 由于,故,,說法④錯誤; 綜上可得:正確結論的序號是②③. 三、解答題 17.已知函數(shù) (1)討論函數(shù)在上的單調性; (2)證明:恒成立. 【答案】(1)當時,在上單調遞增;當時,在上單調遞增, 在上單調遞減;(2)見解析. 【解析】(1), 當時,恒成立,所以,在上單調遞增; 當時,令,得到,所以,當時,,單調遞增,當時,,單調遞減. 綜上所述,當時,在上單調遞增;當時,在上單調遞增,在上單調遞減. (2)證法一:由(1)可知,當時,, 特別地,取,有,即,所以(當且僅當時等號成立), 因此,要證恒成立,只要證明在上恒成立即可, 設 ,則, 當時,,單調遞減, 當時,,單調遞增. 所以,當時,,即在上恒成立. 因此,有,又因為兩個等號不能同時成立,所以有恒成立. 證法二:記函數(shù),則, 可知在上單調遞增,又由,知,在上有唯一實根, 且,則,即(*), 當時,,單調遞減;當時,,單調遞增, 所以,結合(*)式,知, 所以, 則,即,所以有恒成立. 18.已知函數(shù),其導函數(shù)為. (1)當時,若函數(shù)在上有且只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍; (2)設,點是曲線上的一個定點,是否存在實數(shù)使得成立?并證明你的結論. 【答案】(1)或;(2)不存在,見解析. 【解析】(1)當時,,,,, 由題意得,即, 令,則,解得, 當時,,單調遞減;當時,,單調遞增, , 當時,,當時,, 則或時,在上有且只有一個零點. (2)由,得, 假設存在,則有, 即, , , , 即,,, 令,則, 兩邊同時除以,得,即, 令,, 令在上單調遞增,且, 對于恒成立,即對于恒成立, 在上單調遞增,, 對于恒成立,不成立, 同理,時,也不成立, 不存在實數(shù)使得成立.- 配套講稿:
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