2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 三角函數(shù) 專題研究2 正、余弦定理應(yīng)用舉例練習(xí) 理.doc

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專題研究2 正、余弦定理應(yīng)用舉例 1.如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點C(△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測量方案： ①測量A，C，b；②測量a，b，C；③測量A，B，a，則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號為(　　) A．①②　　　　　　　　　 B．②③ C．①③ D．①②③ 答案　D 解析　由題意可知，在①②③三個條件下三角形均可唯一確定，通過解三角形的知識可求出AB.故選D. 2.(2017廣東中山上學(xué)期期末)如圖所示，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計算出A，B兩點的距離為(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 答案　A 解析　由題意，得B＝30.由正弦定理，得＝，∴AB＝＝＝50 (m)．故選A. 3．某人在C點測得某塔在南偏西80，塔頂仰角為45，此人沿南偏東40方向前進10米到D，測得塔頂A的仰角為30，則塔高為(　　) A．15米 B．5米 C．10米 D．1米 答案　C 解析　如圖所示，設(shè)塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45，則OC＝OA＝h. 在Rt△AOD中，∠ADO＝30，則OD＝h，在△OCD中，∠OCD＝120，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OCCDcos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h10cos120，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)． 4．有一長為1千米的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)要將傾斜角改為10，則斜坡長為(　　) A．1千米 B．2sin10 千米 C．2cos10 千米 D．cos20 千米 答案　C 解析　由題意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160， ∴BD2＝DC2＋CB2－2DCCBcos160 ＝1＋1－211cos(180－20) ＝2＋2cos20＝4cos210，∴BD＝2cos10. 5.(2017湖南師大附中月考)如圖所示，測量河對岸的塔高AB時可以測量與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15，∠BDC＝30，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60，則塔高AB＝(　　) A．5 B．15 C．5 D．15 答案　D 解析　在△BCD中，∠CBD＝180－45＝135.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15＝15.故選D. 6．在200 m高的山頂上，測得山下塔頂和塔底的俯角分別為30，60，則塔高為(　　) A. m B. m C. m D. m 答案　A 解析　如圖，在Rt△BAC中，∠ABC＝30，AB＝200， ∴BC＝＝. ∵∠EBD＝30，∠EBC＝60， ∴∠DBC＝30，∠BDC＝120. 在△BDC中，＝. ∴DC＝＝＝(m)． 7．(2018廣東佛山二模)某沿海四個城市A，B，C，D的位置如圖所示，其中∠ABC＝60，∠BCD＝135，AB＝80 n mile，BC＝(40＋30) n mile，CD＝250 n mile，D位于A的北偏東75方向．現(xiàn)在有一艘輪船從城市A出發(fā)以50 n mile/h的速度向城市D直線航行，60 min后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市C直線航行，收到指令時城市C對于輪船的方位角是南偏西θ，則sinθ＝________． 答案　 解析　設(shè)輪船行駛至F時收到指令，則AF＝50 n mile.連接AC，CF，過A作AE⊥BC于E，則AE＝ABsin60＝40(n mile)，BE＝ABcos60＝40(n mile)，CE＝BC－BE＝30(n mile)，AC＝＝50(n mile)，所以cos∠ACE＝，sin∠ACE＝，所以cos∠ACD＝cos(135－∠ACE)＝－＋＝＝，所以∠CAD＝90.因為AF＝50 n mile，AC＝50 n mile，可得∠AFC＝60，所以θ＝75－∠AFC＝15，故sinθ＝. 8．要測底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45，在D點測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的∠BCD＝120，CD＝40 m，求電視塔的高度． 答案　40米 解析　如圖設(shè)電視塔AB高為x，則在Rt△ABC中， 由∠ACB＝45，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30，∴BD＝x. 在△BDC中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos120. 即(x)2＝x2＋402－2x40cos120， 解得x＝40，∴電視塔高為40米． 9.衡水市某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計的底座形狀分別為△ABC，△ABD，經(jīng)測量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D. (1)求AB的長度； (2)若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價為5 000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計使建造費用較低(請說明理由)？較低造價為多少？(＝1.732，＝1.414) 答案　(1)7米 (2)小李的設(shè)計建造費用低，86 600元 解析　(1)在△ABC中，由余弦定理，得 cosC＝＝.① 在△ABD中，由余弦定理，得 cosD＝.② 由∠C＝∠D，得cosC＝cosD. ∴AB＝7，∴AB長為7米． (2)小李的設(shè)計建造費用較低，理由如下： S△ABD＝ADBDsinD， S△ABC＝ACBCsinC. ∵ADBD>ACBC，∴S△ABD>S△ABC. 故選擇△ABC建造環(huán)境標(biāo)志費用較低． ∵AD＝BD＝AB＝7，∴△ABD是等邊三角形，∠D＝60.∴S△ABC＝10＝101.732＝17.32. ∴總造價為5 00017.32＝86 600(元)． 10．(2017鹽城一模)如圖所示，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設(shè)計，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)? 答案　當(dāng)設(shè)計∠AMN＝60時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最小 解析　設(shè)∠AMN＝θ，在△AMN中，＝. 因為MN＝2，所以AM＝sin(120－θ)． 在△APM中，cos∠AMP＝cos(60＋θ)． AP2＝AM2＋MP2－2AMMPcos∠AMP＝sin2(120－θ)＋4－22sin(120－θ)cos(60＋θ)＝sin2(θ＋60)－sin(θ＋60)cos(θ＋60)＋4＝[1－cos(2θ＋120)]－sin(2θ＋120)＋4＝－[sin(2θ＋120)＋cos(2θ＋120)]＋＝－sin(2θ＋150)，θ∈(0，120)． 當(dāng)且僅當(dāng)2θ＋150＝270，即θ＝60時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2. 所以設(shè)計∠AMN＝60時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最?。?