高中數(shù)學(xué) 章末綜合測(cè)評(píng)1 解三角形 新人教A版必修5

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1、 章末綜合測(cè)評(píng)(一)　解三角形 滿分：150分　時(shí)間：120分鐘 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．在△ABC中，a＝k，b＝k(k>0)，A＝45°，則滿足條件的三角形有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432101】 A．0個(gè)　　　　　　　 B．1個(gè) C．2個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè) A　[由正弦定理得＝， 所以sin B＝＝>1，即sin B>1，這是不成立的．所以沒(méi)有滿足此條件的三角形．] 2．已知三角形三邊之比為5∶7∶8，則最大角與最小角的和為(　　) A．90°

2、; B．120° C．135° D．150° B　[設(shè)最小邊為5，則三角形的三邊分別為5,7,8，設(shè)邊長(zhǎng)為7的邊對(duì)應(yīng)的角為θ，則由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝，∴θ＝60°.則最大角與最小角的和為180°－60°＝120°.] 3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，則C＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432102】 A.或 B. C. D. C　[由＝，得sin C＝. ∵BC＝3，AB＝，∴A>C，則C為銳角，故C＝.] 4．在△ABC中，a＝15，

3、b＝20，A＝30°，則cos B＝(　　) A．± B. C．－ D. A　[因?yàn)椋?，所以＝? 解得sin B＝. 因?yàn)閎>a，所以B>A，故B有兩解，所以cos B＝±.] 5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sin A∶sin B∶sin C等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432103】 A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6 B　[∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6， ∴＝＝. 令＝＝＝k(k>0)， 則解得 ∴sin A

4、∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.] 6．在△ABC中，a，b，c分別為A，B，C的對(duì)邊，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面積為，那么b等于(　　) A. B．1＋ C. D．2 B　[∵S△ABC＝acsin B，∴ac＝6. 又∵b2＝a2＋c2－2accos B ＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos 30°＝4b2－12－6， ∴b2＝4＋2，∴b＝1＋.] 7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，則k的取值范圍是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432104】 A．(2，＋

5、∞) B．(－∞，0) C. D. D　[由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk，(m>0)， ∵即 ∴k>.] 8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin2＝，則△ABC的形狀為(　　) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 B　[由已知可得＝－， 即cos A＝，b＝ccos A. 法一：由余弦定理得cos A＝，則b＝c·， 所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC為直角三角形． 法二：由正弦定理，得sin B＝sin Ccos A. 在△ABC中，sin B＝si

6、n(A＋C)， 從而有sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A， 即sin Acos C＝0.在△ABC中，sin A≠0， 所以cos C＝0.由此得C＝，故△ABC為直角三角形．] 9．已知圓的半徑為4，a，b，c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432105】 A．2 B．8 C. D. C　[∵＝＝＝2R＝8， ∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝＝＝.] 10．在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a－2，a，a＋2，最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形的面積為(　　) A. B. C

7、. D. B　[∵三邊不等，∴最大角大于60°.設(shè)最大角為α，故α所對(duì)的邊長(zhǎng)為a＋2，∵sin α＝，∴α＝120°. 由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三邊長(zhǎng)為3,5,7，S△ABC＝×3×5×sin 120°＝.] 11．如圖1­6，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，與O相距15海里的C處．現(xiàn)甲船以35海里/小時(shí)的速度沿直線CB去營(yíng)救位于中心O正東方向25海里的B處的乙船，則甲船到達(dá)B處需要的時(shí)間為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432106】

8、 圖1­6 A.小時(shí) B．1小時(shí) C.小時(shí) D．2小時(shí) B　[在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小時(shí))，因此甲船到達(dá)B處需要的時(shí)間為1小時(shí)．] 圖1­7 12．如圖1­7，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，則sin C的值為(　　) A. B. C. D. D　[設(shè)BD＝a，則BC＝2a，AB＝AD＝a. 在△ABD中，由余弦定理，得 cos A

9、＝＝＝. 又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴sin A＝. 在△ABC中，由正弦定理得，＝. ∴sin C＝·sin A＝·＝.] 二、填空題(每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上) 13．已知△ABC為鈍角三角形，且C為鈍角，則a2＋b2與c2的大小關(guān)系為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432107】 a2＋b2<c2　[∵cos C＝，且C為鈍角， ∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0，故a2＋b2<c2.] 14．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，則角C＝_

10、_______. 　[由3sin A＝5sin B，得3a＝5b. 又因?yàn)閎＋c＝2a， 所以a＝b，c＝b， 所以cos C＝＝＝－.因?yàn)镃∈(0，π)，所以C＝.] 15．在銳角△ABC中，BC＝1，B＝2A，則的值等于________，AC的取值范圍為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432108】 2　(，)　[設(shè)A＝θ?B＝2θ. 由正弦定理得＝， ∴＝1?＝2. 由銳角△ABC得0°<2θ<90°?0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°?30

11、°<θ<60°， 故30°<θ<45°?<cos θ<， ∴AC＝2cos θ∈(，)．] 16．在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若＋＝6cos C，則＋＝________. 4　[∵＋＝6cos C， ∴＝6·， ∴2a2＋2b2－2c2＝c2， 又＋＝＋＝＝＝＝＝＝＝4.] 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin Asin B＋bco

12、s2A＝a. (1)求； (2)若c2＝b2＋a2，求B. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432109】 [解]　(1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A. 故sin B＝sin A，所以＝. (2)由余弦定理和c2＝b2＋a2， 得cos B＝. 由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2. 可得cos2B＝，又cos B>0， 故cos B＝，所以B＝45°. 18．(本小題滿分12分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＝2，cos B＝. (1)若b＝

13、4，求sin A的值； (2)若△ABC的面積S△ABC＝4，求b，c的值． [解]　(1)∵cos B＝>0，且0<B<π， ∴sin B＝＝. 由正弦定理得＝， sin A＝＝＝. (2)∵S△ABC＝acsin B＝4， ∴×2×c×＝4，∴c＝5. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝ . 19．(本小題滿分12分)已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2cos2＋cos A＝0. (1)求角A的值； (2)

14、若a＝2，b＝2，求c的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432110】 [解]　(1)∵cos A＝2cos2－1， ∴2cos2＝cos A＋1. 又2cos2＋cos A＝0，∴2cos A＋1＝0， ∴cos A＝－，∴A＝120°. (2)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A， 又a＝2，b＝2，cos A＝－， ∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×， 化簡(jiǎn)，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去)． 20．(本小題滿分12分)某觀測(cè)站在城A南偏西20°方向的C處，由城A出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40&#

15、176;，在C處測(cè)得公路距C處31千米的B處有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到達(dá)D處，此時(shí)C、D間的距離為21千米，問(wèn)這人還要走多少千米可到達(dá)城A? [解] 如圖所示， 設(shè)∠ACD＝α，∠CDB＝β. 在△CBD中，由余弦定理得 cos β＝ ＝＝－， ∴sin β＝. 而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝×＋×＝ . 在△ACD中，＝， ∴AD＝＝15(千米)． 所以這人還要再走15千米可到達(dá)城A. 21．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的

16、邊分別為a，b，c，cos 2C＋2cos C＋2＝0. (1)求角C的大??； (2)若b＝a，△ABC的面積為sin Asin B，求sin A及c的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432111】 [解]　(1)∵cos 2C＋2cos C＋2＝0， ∴2cos2C＋2cos C＋1＝0，即(cos C＋1)2＝0， ∴cos C＝－. 又C∈(0，π)，∴C＝. (2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝3a2＋2a2＝5a2， ∴c＝a，即sin C＝sin A， ∴sin A＝sin C＝. ∵S△ABC＝absin C，且S△ABC＝sin Asin B， ∴absi

17、n C＝sin Asin B， ∴sin C＝，由正弦定理得 2sin C＝，解得c＝1. 22．(本小題滿分12分)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足sin A＋cos A＝2. (1)求角A的大小； (2)現(xiàn)給出三個(gè)條件：①a＝2；②B＝；③c＝b.試從中選出兩個(gè)可以確定△ABC的條件，寫(xiě)出你的方案并以此為依據(jù)求△ABC的面積．(寫(xiě)出一種方案即可) [解]　(1)依題意得2sin＝2， 即sin＝1， ∵0<A<π，∴<A＋<，∴A＋＝， ∴A＝. (2)參考方案：選擇①②. 由正弦定理＝，得b＝＝2. ∵A＋B＋C＝π， ∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝， ∴S△ABC＝absin C＝×2×2×＝＋1. 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。