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高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 階段復習課 第2課 數(shù)列學案 新人教A版必修5

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高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 階段復習課 第2課 數(shù)列學案 新人教A版必修5

第二課數(shù)列核心速填等差、等比數(shù)列的性質項目等差數(shù)列等比數(shù)列通項公式ana1(n1)dana1qn1anam(nm)danamqnm中項若三個數(shù)a,A,b成等差數(shù)列,這時A叫做a與b的等差中項,且A若三個數(shù)a,G,b成等比數(shù)列,這時G叫做a與b的等比中項,且G±前n項和公式Snna1dq1時,Snq1時,Snna1性質下標性質m、n、p、qN*且mnpqamanapaqam·anap·aqSm,S2mSm,S3mS2m成等差數(shù)列成等比數(shù)列體系構建題型探究等差(比)數(shù)列的基本運算等比數(shù)列an中,已知a12,a416.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若a3,a5分別為等差數(shù)列bn的第3項和第5項,試求數(shù)列bn的通項公式及前n項和Sn.解(1)設an的公比為q,由已知得162q3,解得q2,an2×2n12n.(2)由(1)得a38,a532,則b38,b532.設bn的公差為d,則有解得所以bn1612(n1)12n28.所以數(shù)列bn的前n項和Sn6n222n.規(guī)律方法在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式an與前n項和公式Sn中,共涉及五個量:a1,an,n,d(或q),Sn,其中a1和d(或q)為基本量,“知三求二”是指將已知條件轉換成關于a1,d(q),an,Sn,n的方程組,利用方程的思想求出需要的量,當然在求解中若能運用等差(比)數(shù)列的性質會更好,這樣可以化繁為簡,減少運算量,同時還要注意整體代入思想方法的運用.跟蹤訓練1已知等差數(shù)列an的公差d1,前n項和為Sn.(1)若1,a1,a3成等比數(shù)列,求a1;(2)若S5>a1a9,求a1的取值范圍.【導學號:91432240】解(1)因為數(shù)列an的公差d1,且1,a1,a3成等比數(shù)列,所以a1×(a12),即aa120,解得a11或a12.(2)因為數(shù)列an的公差d1,且S5>a1a9,所以5a110>a8a1,即a3a110<0,解得5<a1<2.求數(shù)列的通項公式(1)已知數(shù)列an的前n項和Sn32n,求an.(2)數(shù)列an的前n項和為Sn且a11,an1Sn,求an.思路探究:(1)已知Sn求an時,應分n1與n2討論;(2)在已知式中既有Sn又有an時,應轉化為Sn或an形式求解解(1)當n2時,anSnSn132n(32n1)2n1,當n1時,a1S15不適合上式an(2)Sn3an1, n2時,Sn13an. 得SnSn13an13an,3an14an,又a2S1a1.n2時,an·n2,不適合n1.an 規(guī)律方法數(shù)列通項公式的求法(1)定義法,即直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法,這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目.(2)已知Sn求an.若已知數(shù)列的前n項和Sn與an的關系,求數(shù)列an的通項an可用公式an求解.(3))累加或累乘法,形如anan1f(n)(n2)的遞推式,可用累加法求通項公式;形如f(n)(n2)的遞推式,可用累乘法求通項公式. 跟蹤訓練2設數(shù)列an是首項為1的正項數(shù)列,且an1anan1·an0(nN*),求an的通項公式.【導學號:91432241】解an1anan1·an0,1.又1,是首項為1,公差為1的等差數(shù)列故n.an.等差(比)數(shù)列的判定數(shù)列an的前n項和為Sn,a11,Sn14an2(nN*)(1)設bnan12an,求證:bn是等比數(shù)列(2)設cn,求證:cn是等差數(shù)列思路探究:分別利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義進行證明證明(1)an2Sn2Sn14an124an24an14an.2.因為S2a1a24a12,所以a25.所以b1a22a13.所以數(shù)列bn是首項為3,公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知bn3·2n1an12an,所以3.所以cn1cn3,且c12,所以數(shù)列cn是等差數(shù)列,公差為3,首項為2.規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法(1)定義法:an1and(常數(shù))an是等差數(shù)列;(q為常數(shù),q0)an是等比數(shù)列.(2)中項公式法:2an1anan2an是等差數(shù)列;是等比數(shù)列.(3)通項公式法:anknb(k,b是常數(shù))an是等差數(shù)列;anc·qn(c,q為非零常數(shù))an是等比數(shù)列.(4)前n項和公式法:SnAn2Bn(A,B為常數(shù),nN*)an是等差數(shù)列;SnAqnA(A,q為常數(shù),且A0,q0,q1,nN*)an是等比數(shù)列.特別提醒:前兩種方法是判定等差、等比數(shù)列的常用方法,而后兩種方法常用于選擇、填空題中的判定.若要判定一個數(shù)列不是等差(比)數(shù)列,則只需判定其任意的連續(xù)三項不成等差(比)即可.跟蹤訓練3(2018·全國卷)已知數(shù)列an滿足a11,nan12(n1)an.設bn.(1)求b1,b2,b3;(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并說明理由;(3)求an的通項公式解(1)由條件可得an1an.將n1代入得,a24a1,而a11,所以,a24.將n2代入得,a33a2,所以,a312.從而b11,b22,b34.(2)bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列由條件可得,即bn12bn,又b11,所以bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得2n1,所以ann·2n1.數(shù)列求和探究問題1若數(shù)列cn是公差為d的等差數(shù)列,數(shù)列bn是公比為q(q1)的等比數(shù)列,且ancnbn,如何求數(shù)列an的前n項和?提示:數(shù)列an的前n項和等于數(shù)列cn和bn的前n項和的和2有些數(shù)列單獨看求和困難,但相鄰項結合后會變成熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和試用此種方法求和:122232429921002.提示:122232429921002(1222)(3242)(9921002)(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)(123499100)5 050.3我們知道,試用此公式求和:.提示:由得 11.已知數(shù)列an的前n項和Snkcnk(其中c、k為常數(shù)),且a24,a68a3,(1)求an;(2)求數(shù)列nan的前n項和Tn.【導學號:91432242】思路探究:(1)已知Sn,據(jù)an與Sn的關系an確定an;(2)若an為等比數(shù)列,則nan是由等差數(shù)列和等比數(shù)列的對應項的積構成的新數(shù)列,則可用錯位相減法求和解(1)當n>1時,anSnSn1k(cncn1),則a6k(c6c5),a3k(c3c2),c38,c2.a24,即k(c2c1)4,解得k2,an2n.當n1時,a1S12.綜上所述,an2n(nN*)(2)nann·2n,則Tn22·223·23n·2n,2Tn1·222·233·24(n1)·2nn·2n1,兩式作差得Tn222232nn·2n1,Tn2(n1)·2n1.母題探究:1.(變結論)例題中的條件不變,(2)中“求數(shù)列nan的前n項和Tn”變?yōu)椤扒髷?shù)列nan的前n項和Tn”解由題知Tn12222323n2n(123n)(2222n)2n12.2(變結論)例題中的條件不變,將(2)中“求數(shù)列nan的前n項和Tn”變?yōu)椤扒髷?shù)列的前n項和Tn”解由題Tn,Tn,得:Tn1n,Tn22.規(guī)律方法數(shù)列求和問題一般轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項和問題或已知公式的數(shù)列求和,不能轉化的再根據(jù)數(shù)列通項公式的特點選擇恰當?shù)姆椒ㄇ蠼?,一般常見的求和方法有:(1)公式法:利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前n項和公式;(2)分組求和法:把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.(3)裂項(相消)法:有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式,相加過程消去中間項,只剩有限項再求和.(4)錯位相減法:適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘構成 的數(shù)列求和.(5)倒序相加法:例如,等差數(shù)列前n項和公式的推導.我國經濟發(fā)展進入新常態(tài),需要轉變經濟發(fā)展方式,改變粗放式增長模式,不斷優(yōu)化經濟結構,實現(xiàn)經濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調發(fā)展,推進新型城鎮(zhèn)化,推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國經濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。

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