《高中數(shù)學(xué) 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系檢測 新人教A版必修2》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系檢測 新人教A版必修2(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
A級 基礎(chǔ)鞏固
一、選擇題
1.已知空間兩個角α,β,α與β的兩邊對應(yīng)平行,且α=
60,則β=( )
A. 60 B.120
C.30 D.60或120
解析:由等角定理,知β與α相等或互補,故β=60或120.
答案:D
2.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1, OA與O1A1的方向相同,則下列結(jié)論中正確的是( )
A.OB∥O1B1且方向相同
B.OB∥O1B1
C.OB與O1B1不平行
D.OB與O1B1不一定平行
解析:由于∠AOB與∠A1O1B1是空間角,不一定在同一平
2、面上,如圖①.
圖①
此時OB與O1B1不平行.
若這兩個角在同一平面上時,如圖②,OB∥O1B1且方向相同;如圖③,OB與O1B1不平行.
圖② 圖③
綜上所述,OB與O1B1不一定平行,故選D.
答案:D
3.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點,則異面直線B1C與EF所成的角的大小為( )
A.30 B.45
C.60 D.90
解析:連接BD,B1D1,D1C知△D1B1C是等邊三角形,所以D1B1與B1C所成角為60,故B1C與EF所成角也是60
答案:C
4.空間四邊形ABCD中,AB,BC,
3、CD的中點分別是P,Q,R,且PQ=2,QR=,PR=3,那么異面直線AC和BD所成的角是( ).
A.90 B.60 C.45 D.30
解析:∠PQR(或其補角)為所求,由勾股定理的逆定理可知∠PQR=90.
答案:A
5.三棱錐的對角線互相垂直相等,順次連接這個四邊形各邊中點,所組成的四邊形是( )
A.梯形 B.矩形
C.平行四邊形 D.正方形
解析:如圖所示,因為BD⊥AC,且BD=AC,又因為E,F(xiàn),G,H分別為對應(yīng)邊的中點,所以FG綊EH綊BD,HG綊EF綊AC.所以FG⊥HG,且FG=HG.所以四邊形EFGH為正方形.
答案:D
4、二、填空題
6.在四棱錐PABCD中,各棱所在的直線互相異面的有________對.
解析:以底邊所在直線為準進行考查,因為四邊形ABCD是平面圖形,4條邊在同一平面內(nèi),不可能組成異面直線,而每一邊所在直線能與2條側(cè)棱組成2對異面直線,所以共有42=8對異面直線.
答案:8
7.如圖,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有________.
解析:如題干圖①中,GH∥MN,因此,GH與MN共面.圖②中,G,H,N三點共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面.圖③中,連接MG,GM∥HN,因此,GH與MN共面.圖④中,G,
5、M,N三點共面,但H?平面GMN,所以GH與MN異面.所以圖②,④中GH與MN異面.
答案:②④
8.已知正方體ABCDA1B1C1D1中,E為C1D1的中點,則異面直線AE與BC所成角的余弦值為________.
解析:在正方體ABCDA1B1C1D1中,AD∥BC,所以AE與AD所成的角即為AE與BC所成的角,即是∠EAD.連接DE,
在Rt△ADE中,設(shè)AD=a,則DE=a,AE==a,故cos∠EAD=.所以異面直線AE與BC所成角的余弦值為.
答案:
三、解答題
9.如圖,已知長方體的長和寬都是4 cm,高是4 cm.
(1)求BC和A′C′所成的角的度數(shù).
(
6、2)求AA′和BC′所成的角的度數(shù).
解:(1)在長方體中,BC∥B′C′,
所以∠A′C′B′為BC與A′C′所成的角.
因為A′B′=B′C′=4 cm,∠A′B′C′=90,
所以∠A′C′B′=45,所以BC和A′C′所成的角為45.
(2)在長方體中,AA′∥BB′,
所以∠C′BB′為AA′與BC′所成的角.
因為BB′=4 cm,B′C′=4 cm,
所以∠C′BB′=60,所以AA′和BC′所成的角為60.
10.如圖,已知棱長為a的正方體中,M,N分別是棱CD,AD的中點.
(1)求證:四邊形MNA1C1是梯形;
(2)求證:∠DNM=∠D1A1C1
7、.
證明:如圖,連接AC.
因為在△ACD中,M,N分別是CD,AD的中點,
所以MN是三角形的中位線,
所以MN∥AC,MN=AC.
由正方體的性質(zhì)得AC∥A1C1,AC=A1C1,
所以MN∥A1C1,且MN=A1C1,即MN≠A1C1,
所以四邊形MNA1C1是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又ND∥A1D1,
所以∠DNM與∠D1A1C1相等或互補,而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的銳角.
所以∠DNM=∠D1A1C1.
[B級 能力提升]
1.如圖所示,在等邊三角形ABC中,D,E,F(xiàn)分別為各邊的中點,G,H,I,J分別為AF,AD,BE
8、,DE的中點,將△ABC沿DE,EF,DF折成三棱錐以后,HG與IJ所成角的度數(shù)為( )
A.90 B.60
C.45 D.0
解析:將三角形折成空間幾何體,如圖所示,HG與IJ是一對異面直線.由已知得IJ∥AD,HG∥DF,
所以DF與AD所成的角為HG與IJ所成的角,又∠ADF=
60,
所以HG與IJ所成的角的度數(shù)為60.
答案:B
2.一個正方體紙盒展開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:
①AB⊥EF;②AB與CM所成的角為60;③EF與MN是異面直線;④MN∥CD.
以上結(jié)論中正確的序號為________.
解析:把正方體的平面展開圖
9、還原成原來的正方體,如圖所示,AB⊥EF,EF與MN是異面直線,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正確.
答案:①③
3.若空間四邊形ABCD的各個棱長都相等,E為BC的中點,求異面直線AE與CD所成的角的余弦值.
解:取BD的中點F,連接EF, AF,
又E為BC的中點,
所以EF綊CD,
所以∠AEF或其補角為異面直線AE與CD所成的角,設(shè)空間四邊形的棱長為a,則AE=AF=a,EF=,
所以cos∠AEF===.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375