2022年中考數(shù)學考前專題輔導 全等三角形及三角形全等的條件

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1、課 題 全等三角形及三角形全等的條件 教學目的 1、掌握全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質，并能進行簡單的推理計算。 2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能準確找到判定定理的條件，并熟練運用。 教學內容 1、 課前檢測 1．如圖（1），△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，則__________≌__________． 2．斜邊和一銳角對應相等的兩直角三角形全等的根據(jù)是__________，底邊和腰相等的兩個等腰三角形全等的根據(jù)是__________． 3．已知△ABC≌△DEF，△DEF的周長為32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm則AB=_______

2、_____，BC=____________，AC=____________． 圖（1）　　　 圖（2）　　　　　 　圖（3）　　　　　　　 4． 如圖（2），AC=BD，要使△ABC≌△DCB還需知道的一個條件是__________ 5． 如圖（3），若∠1=∠2，∠C=∠D，則△ADB≌__________，理由______________________． 6． 不能確定兩個三角形全等的條件是（ ） A．三邊對應相等 B．兩邊及其夾角相等 C．兩角和任一邊對應相等 D．三個角對應相等 7△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠

3、D，若△ABC≌△DEF還需要 （ ） A．∠B=∠E B．∠C=∠F C．AC=DF D．前三種情況都可以 8 在△ABC和△A′B′C′中①AB=A′B′?、?BC=B′C′　③AC=A′C′?、堋螦=∠A′⑤∠B=∠B′　⑥∠C=∠C′，則下列哪組條件不能保證△ABC≌△A′B′C′ （ ） A．具備①②④ B．具備①②⑤ C．具備①⑤⑥ D．具備①②③ 參考答案：1．△ADB　△ADC　2．ASA（或AAS）　SSS　3．9 cm　12 cm　11 cm　4．∠ACB=∠DBC或AB=CD 5． △ACB　AAS 6D

4、 7D 8A 2、 知識梳理 知識要點： 要點1：全等三角形的概念及其性質 （1）全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形 。 （2）全等三角形性質：對應邊相等、對應角相等、周長相等、面積相等 要點2：全等三角形的判定 （1）兩邊及夾角對應相等SAS； （2）兩角及夾邊對應相等ASA； （3）兩角及其中一角的對邊對應相等AAS； （4）三邊對就應相等SSS。 要點3：找全等三角形的對應邊，對應角的方法　 （1）若給出對應頂點即可找出對應邊和對應角。 （2）若給出一些對應邊或對應角，則按照對應邊所對的角是對

5、應角， 反之，對應角所對的邊是對應邊就可找出其他幾組對應邊和對應角。 （3）按照兩對對應邊所夾的角是對應角，兩對對應角所夾的邊是對應邊來準確找出對應角和對應邊。 （4）一般情況下，在兩個全等三角形中，公共邊、公共角、對頂角等往往是對應邊，對應角。 要點4：尋找兩個三角形全等的途徑 （1）三角形全等的判定是這個單元的重點，也是平面幾何的重點 　　 ①有兩組對應角相等時；找 　　 ②有兩組對應邊相等時；找 　 　③有一邊，一鄰角相等時；找 　　 ④有一邊，一對角相等時；找任一組角相等（AAS） （2）利用兩個三角形的公共邊或公共角尋找對應關系，推得新的等量元素 如圖（

6、一）中的AD，圖（二）中的BC都是相應三角形的公共元素。 圖（三）中如有BF=CE，利用公有的線段FC就可推出BC=EF。 圖（四）中若有∠DAB=∠EAC，就能推出∠DAC=∠BAE。 三、例題講解： 例1. 如圖，四點共線，，，，。求證：。 . 思路分析：從結論入手，全等條件只有；由兩邊同時減去得到，又得到一個全等條件。還缺少一個全等條件，可以是，也可以是。 由條件，可得，再加上，，可以證明，從而得到。 解答過程：， 在與中 ∴(HL) ，即 在與中 (SAS) 解題后的思考：本題的分析方法實際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問題或

7、結論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結論。再對比“所需條件”和“得出結論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。 小結：本題不僅告訴我們如何去尋找全等三角形及其全等條件，而且告訴我們如何去分析一個題目，得出解題思路 例2. 如圖，在中，是∠ABC的平分線，，垂足為。求證：。 思路分析：直接證明比較困難，我們可以間接證明，即找到，證明且。也可以看成將“轉移”到。 那么在哪里呢？角的對稱性提示我們將延長交于，則構造了△FBD，可以通過證明三角形全等來證明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。 解答過程：延長交于 在與中 (A

8、SA 又 。 解題后的思考：由于角是軸對稱圖形，所以我們可以利用翻折來構造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。 例3. 如圖，在中，，。為延長線上一點，點在上，，連接和。求證：。 思路分析：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等，關鍵是要找到這兩個三角形。以線段為邊的繞點順時針旋轉到的位置，而線段正好是的邊，故只要證明它們全等即可。 解答過程：，為延長線上一點 在與中 (SAS) 。 解題后的思考：利用旋轉的觀點，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對應邊和對應角。 小結：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時不容易找到需證明的三角形。這時我們就可

9、以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉等圖形變換的觀點來尋找或利用輔助線構造全等三角形。 例4. 如圖，是的邊上的點，且，，是的中線。求證：。 思路分析：要證明“”，不妨構造出一條等于的線段，然后證其等于。因此，延長至，使。 解答過程：延長至點，使，連接 在與中 (SAS) ， 又 ， 在與中 (SAS) 又 。 解題后的思考：三角形中倍長中線，可以構造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。 4、 課堂練習 一、選擇題： 1. 能使兩個直角三角形全等的條件是( ) A. 兩直角邊對應相等 B.

10、 一銳角對應相等 C. 兩銳角對應相等 D. 斜邊相等 2. 根據(jù)下列條件，能畫出唯一的是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 3. 如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④。其中能使的條件有( ) A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個 （第3題） （第4題） （第5題） （第6題） 4. 如圖，已知，，，則等于( ) A. B. C. D. 無法確定 二、填空題： 5. 如圖，在中，

11、，的平分線交于點，且，，則點到的距離等于__________； 6. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，則的大小為_________； 三、解答題： 7. 如圖，為等邊三角形，點分別在上，且，與交于點。求的度數(shù)。 8. 如圖，，，為上一點，，，交延長線于點。求證：。 9. 如圖，已知AE⊥AD，AF⊥AB，AF=AB，AE=AD=BC，AD//BC.求證：（1）AC=EF，（2）AC⊥EF 10. 已知：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，∠1=∠2，CE⊥BD的延長線于E.求證：BD=2CE. 　 參考答案 一、選

12、擇題： 1. A 2. C 3. B 4. C 二、填空題： 5. 4 6. 三、解答題： 7. 解：為等邊三角形 ， 在與中 (SAS) 。 8. 證明：， 在與中 (AAS) 。 9. 證明： 　?。?）∵AD//BC，∴∠B＋∠DAB=180 　　又∵∠DAB＋∠4＋∠EAF＋∠3=360，∠3=∠4=90 　　∴∠DAB＋∠EAF=180 　　∴∠B=∠EAF 在△ABC和△FAE中 　 　　∴△ABC≌△FAE（SAS） ∴AC=EF 　?。?）∵△ABC≌△FAE

13、　　∴∠1=∠F 又∵∠1＋∠3=∠2＋∠F 　　∴∠2=∠3 又∵∠3=90 ∴∠2=90 ∴AG⊥EF，即AC⊥EF 10. 證明：延長BA、CE交于點F. ∵∠3=90，∴∠5＋∠F=90 　　又∵BE⊥CE，∴∠4=90，∠7=90 ∴∠1＋∠F=90，∠6=180－90=90 　　∴∠1=∠5 　　在△ABD和△ACF中 　　 ∴△ABD≌△ACF（ASA） 　　∴BD=FC 　　在△BEF和△BEC中 ∴△BEF≌△BEC（ASA） ∴EF=EC ∴FC=2EC ∴B

14、D=2EC 5、 課堂小結 (1) 全等三角形的概念及其性質 (2) 全等三角形的判定 (3) 找全等三角形的對應邊，對應角的方法 (4) 尋找兩個三角形全等的途徑 六、課后作業(yè) 一、填空題 1如圖（1），∠C=∠E，∠1=∠2，AC=AE，則△ABD按邊分是__________ 三角形． 2如圖（2），AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，交BD于P，則PD__________PE（填“<”或“>”或“=”）． 3．如圖（3），△ABC中，AB=AC，現(xiàn)想利用證三角形全等證明∠B=∠C，若證三角形全等所用的公理是SSS公理，則圖中所添加的輔助線應是____

15、________________________． 圖（1） 圖（2）　　　　　　　　圖（3）　　　　　　　　　 圖（4） 4． 一個三角形的三邊為2、5、x，另一個三角形的三邊為y、2、6，若這兩個三角形全等，則x+y=__________． 5． 如圖（4），AD=AE，若△AEC≌△ADB，則需增加的條件是______________．（至少三個） 2、 選擇題 6．如圖（8），圖中有兩個三角形全等，且∠A=∠D，AB與DF是對應邊，則下列書寫最規(guī)范的是（ ） A．△ABC≌△DEF B．△ABC≌△DFE C．△BAC

16、≌△DEF D．△ACB≌△DEF 7．如圖（9），AC=AB，AD平分∠CAB，E在AD上，則圖中能全等的三角形有____________對 A．1 B．2 C．3 D．4 圖（8）　　　　 圖（9）　　　　　　圖（10）　　　　　　圖（11） 8．如圖（10），△ABC中，D、E是BC邊上兩點，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110，∠BAE=60，則∠CAD等于 （ ） A．70　 B．60 C．50 D．110 9．如圖（11），AB∥CD，且AB=CD，則△ABE≌△CDE的根據(jù)是 （ ）

17、A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．用ASA或AAS 10．如圖（12），△ABC≌△AEF，AB和AE，AC和AF是對應邊，那么∠EAC等于（ ） A．∠ACB B．∠BAF C．∠F D．∠CAF 11．如圖（13），△ABC中，∠C=90，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E且AB=6 cm，則△DEB的周長為 （ ） A．40 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 　　　　 圖（12）　　　　　　圖（13）　　　　　　　　　　圖（14） 12．如圖（14），∠

18、1=∠2，∠C=∠D，AC，BD相交于點E，下面結論不正確的是（ ） A．∠DAE=∠CBE B．△DEA與△CEB不全等 C．CE=CD D．△AEB是等腰三角形 三、解答題 13．已知EF是AB上的兩點，AE=BF，AC∥BD，且AC=DB，求證：CF=DE． 圖（15） 14．一塊

19、三角形玻璃損壞后，只剩下如圖（16）所示的殘片，你對圖中作哪些數(shù)據(jù)測量后就可到建材部門割取符合規(guī)格的三角形玻璃并說明理由． 圖（16） 15．如圖（17），在△ABC中，AM是中線，AD是高線． 圖（17） （1）若AB比AC長5 cm，則△ABM的周長比△ACM的周長多__________ cm． （2）若△AMC的面積為10 cm2，則△ABC的面積為__________cm 2． A．10 B．20　 C．30　 D．40 （3）若AD又是△AMC的角平分線，∠AMB=130，求∠ACB的度數(shù)． 16．已知如圖（

20、18），B是CE的中點，AD=BC，AB=DC．DE交AB于F點 求證：（1）AD∥BC　 （2）AF=BF． 圖（18） 參考答案 一、1等腰　2．=　3．AD為△ABC的中線　4．11 5．∠AEC=∠ADB或∠C=∠B或AC=AB或BE=CD．（多寫一個加一分） 二、6．B　7．C　8．B　　9．D　 10．B　11．B　12．B　 三、13．證明：△ACF≌△BDE（SAS）　∴CF=DE 14．測量∠A，∠B的度數(shù)和線段AB的長度，做∠A′=∠A，A’B’=AB∠B′=∠B，則△A′B′C′和原三角形全等，據(jù)ASA定理． 15．（1）5　（2）B （3）解：△ADM≌△ADC，∴∠AMD=∠ACM，∵∠AMB=130，∴∠AMC=∠ACB=50． 16．（1）證明：△ADB≌△CBD（SSS），∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC． （2）證：△AFD≌△BFE（AAS），∴AF=FB． 17．（1）證明：△ABD≌△CAE（HL），∴∠DAB=∠ACE． 又∵∠ACE+∠CAE=90，∴∠DAB+∠CAE=90 ∴∠BAC=90，∴AB與AC垂直．