331幾何概型學案（人教A版必修3）

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1、金太陽新課標資源網(wǎng) 3.3幾何概型 人教新課標A版 必修三 學案一 ——幾何概型 學習要求 1．了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法（包括計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來進行模擬）估計概率，初步體會幾何概型的意義； 2．通過閱讀材料，了解人類認識隨機現(xiàn)象的過程 學習注意 本講內(nèi)容在高考中所占比較輕，縱貫近幾年的高考對概率要求降低，但本講內(nèi)容使新加內(nèi)容，考試涉及的可能性較大 考試形式： （1）題目類型多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，； （2）本建考試的重點內(nèi)容幾何概型的求值問題，我們要善于將實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型處理。 精講要點 1．隨機數(shù)的概念 隨機數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的數(shù)，

2、并且得到這個范圍內(nèi)任何一個數(shù)的機會是均等的。 2．隨機數(shù)的產(chǎn)生方法 （1）利用函數(shù)計算器可以得到0~1之間的隨機數(shù)； （2）在Scilab語言中，應用不同的函數(shù)可產(chǎn)生0~1或a~b之間的隨機數(shù)。 3．幾何概型的概念 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型； 4．幾何概型的概率公式： P（A）=。 5．幾種常見的幾何概型 （1）設線段l是線段L的一部分,向線段L上任投一點.若落在線段l上的點數(shù)與線段L的長度成正比,而與線段l在線段l上的相對位置無關,則點落在線段l上的概率為： P=l的長度/L的長度 （2）設平面

3、區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分,向區(qū)域G上任投一點,若落在區(qū)域g上的點數(shù)與區(qū)域g的面積成正比,而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對位置無關,則點落在區(qū)域g上概率為： P=g的面積/G的面積 （3）設空間區(qū)域上v是空間區(qū)域V的一部分,向區(qū)域V上任投一點.若落在區(qū)域v上的點數(shù)與區(qū)域v的體積成正比,而與區(qū)域v在區(qū)域v上的相對位置無關,則點落在區(qū)域V上的概率為： P=v的體積/V的體積 幾何概型的應用例說 　　幾何概型，以其形象直觀的特點，倍受人們青睞．下面舉例說明幾何概型在幾方面的應用，以使同學們感受數(shù)學美的思維之花． 　　一、與數(shù)有關的幾何概型 　　例１　在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)，求關于的一元二次

4、方程有實根的概率． 　　解析：在平面直角坐標系中，以軸和軸分別表示的值，因為是與圖1中正方形內(nèi)的點一一對應，即正方形內(nèi)的所有點構(gòu)成全部試驗結(jié)果的區(qū)域．設事件表示方程有實根，則事件，所對應的區(qū)域為圖1中的陰影部分，且陰影部分的面積為．故由幾何概型公式得，即關于的一元二次方程有實根的概率為． 　　二、與形有關的幾何概型 　　例2　在等腰中，在斜邊上任取一點，求的長小于的長的概率． 　　解析：點隨機地落在線段上，故線段為試驗所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域．在上截取，則當點位于圖2中線段上時，，故線段即為構(gòu)成事件的區(qū)域． 　　于是，即的長小于的長的概率為． 例3 如圖3，在平面直角坐標系內(nèi)，射

5、線落在角的 終邊上，任作一條射線，求射線落在內(nèi)的概率． 　　解析：以為起點作射線是隨機的，因而射線落在任何位置都是等可能的．落在內(nèi)的概率只與的大小有關，符合幾何概型的條件． 　　記． 　　， 　　，即射線落在內(nèi)的概率為． 　　三、與時間有關的幾何概型 　　例4　從甲地到乙地有一班車在到到達，若某人從甲地坐該班車到乙地轉(zhuǎn)乘到出發(fā)的汽車到丙地去，問他能趕上車的概率是多少？ 　　解析：到達乙地的時間是到之間的任一時刻，某人從乙地轉(zhuǎn)乘的時間是到之間的任一時刻，如果在平面直角坐標系中用軸表示班車到達乙地的時間，軸表示從乙地出發(fā)的時間，因為到達乙地時間和從乙地出發(fā)的時間是隨機的，則試驗

6、的全部結(jié)果可看作是邊長為0．5的正方形．設“他能趕上車”為事件，則事件的條件是，構(gòu)成事件的區(qū)域為圖4的陰影部分． 　　由幾何概型公式，得，即他能趕上車的概率為0．875． 　　例5　國家安全機關監(jiān)聽錄音機記錄了兩個間諜的談話，發(fā)現(xiàn)30min長的磁帶上，從開始30s處起，有10s長的一段內(nèi)容包含間諜犯罪的信息．后來發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無意中按錯了鍵，使從此處起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了．那么由于按錯了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？ 　　解析：包含兩個間諜談話錄音的部分在30s到40s之間，當按錯鍵的時刻在這段時間之內(nèi)時，部分被

7、擦掉，當按錯鍵的時刻在０到30s之間時全部被擦掉，即在0到40s之間的時間段內(nèi)容按錯鍵時，含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉，而0到30min之間的時間段內(nèi)任一時刻按錯鍵的可能性是相等的，所以按錯鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率只與從開始到談話內(nèi)容結(jié)束的時間段長度有關． 　　記Ａ＝｛按錯鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉了｝，Ａ發(fā)生就是在0到min時間段內(nèi)按錯鍵． 　　． 　　四、體育運動中的古典概率 　　例6　在一個健身房里，用拉力器進行鍛煉時，需要選取2個質(zhì)量盤裝在拉力器上．有2個裝質(zhì)量盤的箱子，每個箱子中都裝有4個不同的質(zhì)量盤：2．5kg，5kg，10kg和20k

8、g，每次都隨機的從2個箱子中各取1個質(zhì)量盤裝在拉力器上后，再拉動這個拉力器． 　?。?）隨機的從2個箱子中各取1個質(zhì)量盤，共有多少種可能的結(jié)果？用表格列出所有可能的結(jié)果． 　?。?）計算選取的兩個質(zhì)量盤的總質(zhì)量分別是下列質(zhì)量的概率：①20kg；②30kg；③不超過10kg；④超過10kg． 　?。?）如果一個人不能拉動超過22kg的質(zhì)量，那么他不能拉開拉力器的概率是多少？ 　　解：（1）第一個箱子的質(zhì)量盤和第二個箱子的質(zhì)量盤都可以從4種不同的質(zhì)量盤中任意選取．我們可以用一個“有序?qū)崝?shù)對”來表示隨機選取的結(jié)果．例如，我們用（10，20）來表示：在一次隨機的選取中，從第一個箱子中取的質(zhì)量盤

9、是10kg，從第二個箱子中取的質(zhì)量盤是20kg．表1列出了所有可能結(jié)果． 　　 從表1中可以看出，隨機的從2個箱子中各取1個質(zhì)量盤的所有可能結(jié)果共有16種．由于選取質(zhì)量盤是隨機的，因此這16種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，這個試驗屬于古典概型． 　?。?） 　?、儆肁表示事件“選取的兩個質(zhì)量盤的總質(zhì)量是20kg”，從表2中可以看出，總質(zhì)量為20kg的所有可能結(jié)果只有1種，因此，事件A的概率． 　?、谟肂表示事件“選取的兩個質(zhì)量盤的總質(zhì)量是30kg”，從表2中可以看出，總質(zhì)量為30kg的所有可能結(jié)果共有2種，因此，事件B的

10、概率． 　?、塾肅表示事件“選取的兩個質(zhì)量盤的總質(zhì)量不超過10kg”．總質(zhì)量不超過10kg，即總質(zhì)量為5kg，7．5kg，10kg之一，從表2中容易看出，所有可能結(jié)果共有4種，因此，事件C的概率． 　　④用D表示事件“選取的兩個質(zhì)量盤的總質(zhì)量超過10kg”．總質(zhì)量超過10kg，即總質(zhì)量為12．5kg，15kg，20kg，22．5kg，25kg，30kg，40kg之一，從表2中可以看出，所有可能結(jié)果共有12種，因此，事件D的概率． 　　（3）用E表示事件“不能拉開拉力器”，即總質(zhì)量超過22kg．總質(zhì)量超過22kg是指總質(zhì)量為22．5kg，25kg，30kg，40kg之一．從表2中可以看出，

11、這樣的可能結(jié)果共有7種，因此，不能拉開拉力器的概率． 思維總結(jié) 1．幾何概率是考研大綱上要求的基本內(nèi)容，也是近年來新增考察內(nèi)容之一； 2．有關幾何概率的題目難度不大，但需要準確理解題意，利用圖形分析問題。本講將著重介紹如何利用圖形解決幾何概率的相關問題； 3．學好幾何概率對于解決后續(xù)均勻分布的問題有很大幫助。 4．關于幾何概型： （1）我們是就平面的情形給出幾何概型的，同樣的方法顯然也適用于直線或空間的情形，只需將“面積”相應地改變?yōu)椤伴L度”、“體積”； （2）幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點的試驗，如果一個隨機試驗有無限多個等可能的基本結(jié)果，每個基本結(jié)果可以用平面(或

12、直線、空間)中的一點來表示，而所有基本結(jié)果對應于一個區(qū)域Ω，這時，與試驗有關的問題即可利用幾何概型來解決 當堂練習： 1．從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個，其質(zhì)量小于4.8g的概率為0.3，質(zhì)量小于4.85g的概率為0.32，那么質(zhì)量在[4.8，4.85]（g）范圍內(nèi)的概率是（ ） A．0.62 　　　B．0.38 　　 C．0.02 　　 D．0.68 2．在長為10 cm的線段AB上任取一點P，并以線段AP為邊作正方形，這個正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間的概率為（ ） A． B． 　C． D．

13、 3．同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤甲得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤乙得到的數(shù)為y，構(gòu)成數(shù)對（x，y），則所有數(shù)對（x，y）中滿足xy＝4的概率為（ ） A． 　　　 B． 　　 C． 　　 D． 甲 乙 1 2 3 4 1 2 3 4 4．如圖，是由一個圓、一個三角形和一個長方形構(gòu)成的組合體，現(xiàn)用紅、藍兩種顏色為其涂色，每個圖形只能涂一種顏色，則三個形狀顏色不全相同的概率為（ ） A． 　　　 B． 　　　 C． 　　　 D． 5．兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去．則 求兩人會面的概率為（ ） A． 　　　　　B． 　　　　 　C． 　　　　　　D． 答案：1.B; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C; 第 7 頁 共 7 頁 金太陽新課標資源網(wǎng)