陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第四章 數(shù)系的擴(kuò)充 數(shù)系的擴(kuò)充典型例題講解素材 北師大版選修

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1、 “數(shù)系的擴(kuò)充”例題精析 例1 實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是①實(shí)數(shù)；②虛數(shù)；③純虛數(shù)；④對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限；⑤對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線(xiàn)x+y+4=0上；⑥共軛復(fù)數(shù)的虛部為12. 分析:本題是一道考查復(fù)數(shù)概念的題目.解題的關(guān)鍵是把復(fù)數(shù)化成z=a+bi(a、b∈R)的形式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)其實(shí)部與虛部進(jìn)行討論，由其滿(mǎn)足的條件進(jìn)行解題. 解: z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i =(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i. ∵m∈R,∴z的實(shí)部為m2+5m+6,虛部為m2－2m－15. ①要使z為實(shí)數(shù)，必有∴m=5或m=－3.

2、 ②要使z為虛數(shù)，必有m2－2m－15≠0,∴m≠5且m≠－3. ③要使z為純虛數(shù)，必有 即 ∴m=－2. ④要使z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限， 必有 ∴－3

3、整理成z=a+bi(a、 1 / 3 b∈R)的形式，明確復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，由復(fù)數(shù)相等的充要條件或?qū)嵅颗c虛部滿(mǎn)足的條件，列出方程(組)或不等式(組)，通過(guò)解方程(組)或不等式(組)達(dá)到解決問(wèn)題之目的. 例2 已知復(fù)數(shù)z1滿(mǎn)足(z1－2)i=1+i，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1z2是實(shí)數(shù)，求復(fù)數(shù)z2. 分析:本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算，屬“較易”的試題.解題的關(guān)鍵是根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件或?qū)嵅颗c虛部滿(mǎn)足的條件，求得復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部. 解:由(z1－2)i=1+i,得z1=+2=(1+i)(－i)+2=3－i. ∵z2的虛部為2，∴可設(shè)z2=a+2i(a∈R), z1z2=(

4、3－i)(a+2i)=(3a+2)+(6－a)i為實(shí)數(shù)， ∴6－a=0,即a=6. 因此z2=6+2i. 評(píng)注: 掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除運(yùn)算是本章的基礎(chǔ)，也是重點(diǎn)，要牢記復(fù)數(shù)的四種運(yùn)算法則. 例3 復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是1,過(guò)點(diǎn)A作虛軸的平行線(xiàn)l,設(shè)l上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,求所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡. 分析:本題考查復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡方程.因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),l過(guò)點(diǎn)A且平行于虛軸,所以直線(xiàn)l上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z的實(shí)部為1,可設(shè)為z=1+bi(b∈R),然后再求所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合. 解:如圖.因?yàn)辄c(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A且平行于虛軸,所以可設(shè)直線(xiàn)l上的點(diǎn)對(duì)

5、應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=1+bi(b∈R). 因此. 設(shè)=x+yi(x、y∈R),于是x+yi=i. 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件,有 消去b,有x2+y2= ===x. 所以x2+y2=x(x≠0), 即(x－)2+y2=(x≠0). 所以所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是以(,0)為圓心,為半徑的圓,但不包括原點(diǎn)O(0,0). 評(píng)注:一般說(shuō)來(lái),求哪個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程就設(shè)哪個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y).所謂動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程就是動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)所滿(mǎn)足的等量關(guān)系.常見(jiàn)求曲線(xiàn)方程的方法有:軌跡法、待定系數(shù)法、代入法、參數(shù)法等.若把參數(shù)方程中的參數(shù)消去,就可把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程.無(wú)論用什么方法求得曲線(xiàn)的方程,都要注意檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線(xiàn)上.對(duì)此,常從以下兩個(gè)方面入手:一是看對(duì)方程的化簡(jiǎn)是否采用了非同解變形的手法;二是看是否符合題目的實(shí)際意義.其中,用參數(shù)法求得的曲線(xiàn)方程中的x、y的范圍可由參數(shù)函數(shù)的值域來(lái)確定. 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！