陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第四章 數(shù)系的擴(kuò)充 復(fù)數(shù)的概念要點(diǎn)解讀素材 北師大版選修

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1、 復(fù)數(shù)的概念要點(diǎn)解讀 一、復(fù)數(shù)的基本概念： 為了解決有解這一問題，引進(jìn)了新數(shù)i； 1）虛數(shù)單位：i叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定： ①它的平方等于-1，即； ②和無理數(shù)相似，虛數(shù)單位i可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加，乘運(yùn)算律仍然成立。 規(guī)定：，這時(shí)任何一個(gè)實(shí)數(shù)a都可以寫成的形式。 2）復(fù)數(shù)：形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)（） a和b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部，分別用Rez（Real）和Imz（Imaginary）表示。 全體復(fù)數(shù)所成的集合稱為復(fù)數(shù)集一般用字母C表示（Complex numbers）。 當(dāng)b=0時(shí)，就是實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)叫虛數(shù)；當(dāng)a=0，b≠0時(shí)

2、，叫做純虛數(shù)。 引入新數(shù)i（虛數(shù)單位）后，我們將數(shù)系由實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集，從而完成了數(shù)系的最后一次擴(kuò)展。 二、幾個(gè)基本要點(diǎn) 1、正確認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部 對(duì)于復(fù)數(shù)，實(shí)部是，虛部是．注意在說復(fù)數(shù)時(shí)，一定有，否則，不能說實(shí)部是，虛部是,復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)． 說明：對(duì)于復(fù)數(shù)的定義，特別要抓住這一標(biāo)準(zhǔn)形式以及是實(shí)數(shù)這一概念，這對(duì)于解有關(guān)復(fù)數(shù)的問題將有很大的幫助． 2、關(guān)于復(fù)數(shù)能否比較大小分析 教材最后指出：“兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較它們的大小”，要注意： ①根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等地定義，可知在兩式中，只要有一個(gè)不成立，那么．兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，只有相等與不等關(guān)系，而

3、不能比較它們的大小． ②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個(gè)復(fù)數(shù)間的一個(gè)關(guān)系‘<’，都不能使這關(guān)系同時(shí)滿足實(shí)數(shù)集中大小關(guān)系地四條性質(zhì)”： 2 / 4 (i)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a， b來說，a＜b， a=b， b＜a這三種情形有且僅有一種成立； (ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c； (iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c； (iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向?qū)W生講解) 3、在講復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)所成的集合對(duì)應(yīng)時(shí)注意事項(xiàng) ①任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)()唯一確定．這就是說，復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對(duì)．一些書上就是把實(shí)數(shù)對(duì)

4、()叫做復(fù)數(shù)的． ②復(fù)數(shù)用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z()表示．復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z的坐標(biāo)是()，而不是()，也就是說，復(fù)平面內(nèi)的縱坐標(biāo)軸上的單位長度是1，而不是．由于=0＋1，所以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(0，1)表示時(shí)，這點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是1，等于縱軸上的單位長度．這就是說，當(dāng)我們把縱軸上的點(diǎn)(0，1)標(biāo)上虛數(shù)時(shí)，不能以為這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是虛數(shù)單位，或者就是縱軸的單位長度． ③當(dāng)時(shí)，對(duì)任何，是純虛數(shù)，所以縱軸上的點(diǎn)()( )都是表示純虛數(shù)．但當(dāng)時(shí)，是實(shí)數(shù)．所以，縱軸去掉原點(diǎn)后稱為虛軸． 由此可見，復(fù)平面(也叫高斯平面)與一般的坐標(biāo)平面(也叫笛卡兒平面)的區(qū)別就是復(fù)平面的虛軸不包括原點(diǎn)，而一般坐標(biāo)平面的原點(diǎn)是橫、

5、縱坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)． ④復(fù)數(shù)z=a＋bi中的z，書寫時(shí)小寫，復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z(a，b)中的Z，書寫時(shí)大寫．要學(xué)生注意． 4、正確地對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，弄清數(shù)集之間的關(guān)系 分類要求不重復(fù)、不遺漏，同一級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一．根據(jù)上述原則，復(fù)數(shù)集的分類如下： 注意分清復(fù)數(shù)分類中的界限： ①設(shè)，則為實(shí)數(shù) ②為虛數(shù) ③且． ④為純虛數(shù)且 5、關(guān)于共軛復(fù)數(shù)的概念 設(shè)，則，即與的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)（不能認(rèn)為與或是共軛復(fù)數(shù)）． 教師可以提一下當(dāng)時(shí)的特殊情況，即實(shí)軸上的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸本身對(duì)稱，例如：5和－5也是互為共軛復(fù)數(shù)．當(dāng)時(shí)，與互為共軛虛數(shù)．可見，共軛虛數(shù)是共軛復(fù)數(shù)的特殊情行． 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！