線性代數(shù)(李建平)講義復(fù)旦大學出版社第三章.ppt

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向量與向量空間同矩陣一樣，也是線性代數(shù)中一個非常重要的概念，對它們的討論是線性代數(shù)的主要內(nèi)容之一.另外，在對線性方程組的討論中，不僅需要行列式、矩陣，而且也需要向量這個重要工具.,第三章向量及向量空間,第一節(jié)向量及其線性運算,一、向量的概念,由n個數(shù)組成的有序數(shù)組,定義1,,（3.1),或,,（3.2）,稱為一個n維向量，簡稱向量。,(3.1)式稱為行向量，(3.2)式稱為列向量,以后我們用小寫希臘字母來表示向量。,注意行向量和列向量的區(qū)別只是寫法上的不同。若是行向量，則是列向量，若是列向量，則是行向量.本教材習慣將向量表示成列向量的形式。,定義2如果向量和,則稱這兩個向量相等.記為α=β,的對應(yīng)分量都相等,即:,,為向量α與數(shù)k的乘積，記為kα.,向量的加法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.,稱向量,給定向量,為向量α與β的和，記為α+β.,稱向量,T,二、向量的線性運算,稱向量,為α的負向量，記為-α.,定義3,分量全為零的向量(0,0,…,0)T稱為零向,量，記為0.,而向量的減法定義為,向量的線性運算與矩陣的運算規(guī)律相同，且滿足下列八條運算規(guī)律（其中α,β,γ為n維向量,k,l為實數(shù)）：(1)α+β=β+α;(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(3)α+0=α;(4)α+(-α)=0;(5)(k+l)α=kα+lα;(6)k(α+β)=kα+kβ;(7)(kl)α=k(lα)=l(kα);(8)1α=α.,例1,設(shè)α1=(2,5,1,3)T,α2=(-1,1,2,0)，,解,α1-2α2=(2,5,1,3)T-2(-1,1,2,0)T,求α1-2α2.,=(2,5,1,3)T-(-2,2,4,0)T,=(4,3,-3,3)T.,T,注意由于向量可以看成特殊的矩陣,所以向量運算和矩陣運算就非常類似，其運算性質(zhì)也相同.,向量的概念在實際中有著廣泛的應(yīng)用.例如,在線性方程組,中的每一行,中，系數(shù)矩陣,都是n維行向量,這m個n維行向量，稱為系數(shù)矩陣A的行向量組;,(i=1,2,…,m),都是m維列向量,這n個m維列向量稱為系數(shù)矩陣A的列向量組.,若記常數(shù)向量為=(),T,利用向量的運算，線性方程組也有向量表示形式:,(j=1,2,…,n),每一列,第二節(jié)向量的線性關(guān)系,一、向量組的線性組合,,,,,,定義4,給定向量組,對于任何,一組實數(shù),稱表達式,為向量組A的一個線性組合，稱,為這,個線性組合的系數(shù)。,向量組的關(guān)系對于我們揭示線性方程組中方程與方程之間、解與解之間的關(guān)系乃至更廣泛的事物之間的聯(lián)系是極其有意義的，我們必須熟練掌握如何判定向量組之間的關(guān)系.,定義5,給定向量組,和向量β，,若存在一組數(shù),使得,則稱向量β是向量組A的線性組合，或稱β能由向量組A線性表示(或線性表出).否則稱β不能由向量組A線性表示.,考慮線性方程組,，,則線性方程組可以表示為如下形式：x1α1+x2α2+…+xnαn=β.,令,β,于是，線性方程組是否有解，就等價于是否可由向量組,線性表示.,注(1)β能由向量組唯一線性表示,(3)β不能由向量組線性表示,(2)β能由向量組線性表示且表示式不唯一,有無窮多個解.,無解.,有唯一解.,線性方程組,線性方程組,線性方程組,(5)向量組中任一向量,稱向量組為n維基本單位向量組.,(4)任意向量都可由向量組，…,,線性表示.且表示式為,=0+…+1+…+0.,都可由該向量組線性表示.且表示式為:,(j=1,2,…,s),例1判斷向量β=(1,2,3)T是否可由向量組α1=(1,0,0)T,α2=(1,1,0)T,α3=(1,1,1)T線性表示，如果可以，請將β用α1,α2,α3表示出來.,,所以β可以由向量組α1,α2,α3唯一線性表示為：β=-α1-α2+3α3.,有唯一解：,解設(shè),即,唯一線性表示，則k應(yīng)滿足什么條件？,設(shè)向量可以由向量組線性表示,則,例2設(shè),解,由于有唯一解，則根據(jù)克萊姆法則，得,故當時，能由唯一線性表示.,二、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān),定義6,給定向量組,如果存在不全為零,的數(shù),使,則稱向量組A線性相關(guān)，否則稱向量組A線性無關(guān).,注(1)向量組線性相(無)關(guān)的充分必要條件是:齊次方程組,有非零解(只有零解)；,(2)向量組α1=(a11,a21,…,an1)T,α2=(a12,a22,…,an2)T,,…,=()T線性相(無)關(guān)的充分必要,條件是行列式,比如:給定向量組,因為,所以線性相關(guān),(6)僅含兩個非零向量的向量組線性相(無)關(guān)的充分必要條件是這兩個向量的對應(yīng)分量成(不成)比例.,(5)僅含一個向量的向量組α線性相(無)關(guān)的充分必要條件是α=0(α≠0);,(4)含零向量的向量組必線性相關(guān)；,(3)基本單位向量組線性無關(guān)；,比如:,線性相關(guān),比如:,例3證明：如果向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，則向量組α1+α2，α2+2α3,α3+3α1也線性無關(guān).,因,，所以只有零解x1=x2=x3=0，故α1+α2,α2+2α3,α3+3α1線性無關(guān).,由于α1,α2,α3線性無關(guān)，故,即,證明設(shè),22,復(fù)習:：兩個重要概念,定理1,向量組線性相關(guān),證明必要性設(shè)α1,α2,…,αs線性相關(guān)，則存在s個不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0.不妨設(shè)k1≠.0，于是,充分性設(shè)α1,α2,…,αs中至少有一個向量能由其余向量線性表示，不妨設(shè)α1=k2α2+…+ksαs,即(-1)α1+k2α2+…+ksαs=0,故α1,α2,…,αs線性相關(guān).,向量組中至少有一個向量能由其余向量線性表示.,即可由其余向量線性表示,三、向量組線性相關(guān)性的判定,推論向量組線性無關(guān)的充分,量線性表示.,必要條件是:向量組中任意向量都不能由其余向,,注意到線性無關(guān)，易知k≠0，所以,定理2若向量組線性無關(guān)，,而向量組，β線性相關(guān)，則向量,β可由向量組線性表示，且表示法唯一.,證明先證β可由線性表示.,因為,β線性相關(guān)，所以存在一組不,全為零的數(shù),若則有,線性無關(guān).,再證表示式的唯一性,不能由線性表示，則向量組,推論若向量組線性無關(guān),且向量β,故表示法是唯一的.,由線性無關(guān)，易知,定理3,若向量組中有一部分組線性相關(guān)，則整個向量組線性相關(guān).簡稱部分相關(guān)，則整體相關(guān).,推論,若向量組線性無關(guān)，則它的任意部分組也線性無關(guān).簡稱整體無關(guān)，則部分無關(guān).,定理4,推論,若向量組線性相關(guān)，則在各向量中相應(yīng)減少分量后也線性相關(guān).簡稱高維相關(guān)，則低維相關(guān).,例如因為,所以,例如因為,若向量組線性無關(guān)，則在各向量中相應(yīng)增加分量后仍線性無關(guān).簡稱低維無關(guān)，則高維無關(guān).,設(shè)有向量組,定義7,若向量組B中的每一個向量都可由向量組A線性表示，,則稱向量組B能由向量組A線性表示。,若向量組A與向量組B能互相線性表示，則稱向,向量組A與向量組B等價，記為,四.向量組間的線性表示,A:;B:,{}?{}.,根據(jù)定義，不難驗證向量組的等價關(guān)系具有以下性質(zhì)：,反身性：任一向量組和它自身等價，即,(1),(2),對稱性：如果,則,(3),傳遞性：如果,則,如果向量組A：線性表示，并且s＞t，則向量組線性相關(guān).,,推論1,如果向量組線性無關(guān)，并且可,由向量組線性表示，則s≤t.,推論2,兩個等價的線性無關(guān)向量組所含向量的個數(shù)相同.,定理5,證明設(shè)向量組和都是線性無關(guān)向量組，且{}?{}.,可由向量組B:,即兩個向量組所含向量的個數(shù)相同.,由推論1可知：s≤t,且t≤s.于是s=t，,推論3若向量組所含向量的個數(shù)大于其所含向量的維數(shù)，則向量組線性相關(guān).,證明設(shè)為n維向量組，且s＞n,,而s＞n，由推論1知向量組線性相關(guān).,向量組線性表示，,事實上，由于向量組能由基本單位,下證向量組線性相關(guān).,例如,線性相關(guān).,如果向量組的一個部分組α1,α2,…,αr,(1)α1,α2,…,αr線性無關(guān)；,(2)向量組中任意一個向量都可以由這個部分組α1,α2,…,αr線性表示(或者說向量組中任意r+1個向量都線性相關(guān)),,滿足條件：,為極大無關(guān)組.,為此向量組的一個,極大線性無關(guān)部分組，簡稱,則稱部分組,一、極大無關(guān)向量組,第三節(jié)向量組的秩,一、極大無關(guān)向量組,定義8,,的極大無關(guān)組.,不難驗證及也是,所以是向量組的一個極大無關(guān)組.,例1考慮向量組,顯然，部分組線性無關(guān).,線性表示：,向量組中的任一向量都可由,(2)若向量組是線性無關(guān)的，,(4)一個向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)不超過這個向量組中所含向量的維數(shù).,(3)只含有零向量的向量組無極大無關(guān)組；,注(1)一個向量組的極大無關(guān)組可以不唯一；,則本身就是它的一個極大無關(guān)組；,任一向量組和它的極大無關(guān)組等價.,定理6,由定理6及向量組等價的傳遞性得:,推論1向量組的任何兩個極大無關(guān)組等價.,推論2向量組的任何兩個極大無關(guān)組所含向量的,個數(shù)相同.,由向量組等價的定義及極大無關(guān)組的定義得:,二、向量組的秩,向量組α1,α2,…,αs的極大無關(guān)組所含向量,定義9,如果一個向量組僅含有零向量，則規(guī)定它的秩為零.,顯然，如果向量組α1,α2,…,αs線性無關(guān)，則R(α1,α2,…,αs)=s,此時稱α1,α2,…,αs為滿秩向量組.否則稱為降秩向量組.,的個數(shù)稱為向量組的秩，記為R(α1,α2,…,αs).,由此可知:若向量組的秩=它所含向量的個數(shù)，則這個向量組線性無關(guān)。,等價向量組的秩相等，即如果,定理7,則,推論,若向量組,可由向量組,線性表示，則,證參見教材78頁.,證參見教材78頁.,從而,三、矩陣的秩和向量組的秩的關(guān)系,矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩.,定理8,證明設(shè)矩陣，R(A)=s,,則存在A的s階子式,從而所在的s個列向量線性無關(guān)；,又A中所有s+1階子式，故A中任意,s+1個列向量都線性相關(guān)，因此Ds所在的s列是A的的列向量組的一個極大無關(guān)組，所以,同理可證，矩陣A的行向量組的秩也等于s.我們稱矩陣A的列向量組的秩為A的列秩，A的行向量組的秩為A的行秩.從而，矩陣A的列秩等于A的行秩等于A的秩.,如果我們要判定向量組的線性相關(guān)性或求它的秩，則可由向量組構(gòu)造一個矩陣，然后利用初等變換將其化為階梯形矩陣來求秩.如果向量組為滿秩的，則向量組線性無關(guān)，否則，向量組線性相關(guān).,例2求向量組的秩,并判定線性相關(guān)性.,,,所以R(A)=R(α1,α2,α3,α4,α5)=3.,解因為,=,例3已知向量組α1=(1,-1,2,1,0),α2=(2,-2,4,-2,0),α3=(3,0,6,-1,1),α4=(0,3,0,0,1),試求(1)向量組α1,α2,α3,α4的秩；(2)判斷向量組的線性相關(guān)性；(3)求一個極大無關(guān)組，并將其余向量由這個極大無關(guān)組線性表示.,僅對A施行初等行變換，把A化為行階梯形矩陣：,解將向量看作矩陣的行向量組,構(gòu)成矩陣,,由最后的行階梯形矩陣知：=R(A)=3.,從而極大無關(guān)組含3個向量.,由最后的0行得,故為一個極大無關(guān)組.,從而,即,顯然,且向量組的其余向量由這個極大無關(guān)組線性表示為,例4已知向量組(1)求;(2)判定的線性相關(guān)性；(3)求一個極大無關(guān)組，并將其余向量由這個極大無關(guān)組線性表示.,解記,,則有,解記,,.所以=2,,并且極大無關(guān)組含兩個向量.,故,線性相關(guān)，,由此得,β3+β2-2β1=0,β4-3β2-β1=0,β5+β2+2β1=0,α3+α2-2α1=0,α4-3α2-α1=0,α5+α2+2α1=0,,顯然{α1,α2,α3,α4,α5}?{α1,α2},從而R(α1,α2,α3,α4,α5)=R(α1,α2)=2,于是α1,α2為一個極大無關(guān)組.,由最后的零行得：,從而,即,定理矩陣的行初等變換不改變矩陣的列向量組之間的線性關(guān)系.即有,(1)矩陣A的列向量組,中的部分組,線性無關(guān)B的列向量組,中對應(yīng)的部分組,線性無關(guān);,(2)矩陣A的列向量組,中的某個向量可由,部分組,線性表示為,的充要條件是B的列向量組,中對應(yīng)的向量,此定理給出了求向量組的秩、向量組的極大無關(guān)組以及將向量組中其余向量表示成極大無關(guān)組的線性組合的方法：,（1）將向量組寫成矩陣，利用初等行變換將矩陣化為行最簡形矩陣；,（2）行最簡形矩陣的行數(shù)就是矩陣的秩也是列向量組的秩，其最左邊的非零元素所在的列向量組成向量組的一個極大線性無關(guān)組；,（3）利用極大線性無關(guān)組將其余向量線性表出.,例5設(shè)向量組,求向量組的一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示.,,,由階梯形矩陣有三個非零行可知,,,=B,,,,又因為B的1，2，4列是B的列向量組的一個極大無關(guān)組,,,,所以向量組的其余向量由極大無關(guān)組線性表示為,5.證明：如果向量β不能被向量組線性表示，則β也不能被的任何部分組線性表示.,證∵不能由線性表示,β,∴線性方程組無解,假設(shè)能由線性表示，則存在一組數(shù),β,,,,,從而,,此式與方程組無解矛盾,,故不能由的任何部分組線性表示,，使,10.如果向量組線性無關(guān)，試證：(1)向量組線性無關(guān)；(2)向量組線性相關(guān).,證（1）設(shè),則,∴,即,故,線性無關(guān)。,（2）設(shè),則,∵,線性無關(guān),解之得,∴,從而向量組線性相關(guān)。,試證向量組與n維基本單位向量組等價.,證一方面，向量組,能由基本單位向量組,另一方面，基本單位向量組,由向量組,線性表示為,∴向量組,與向量組,等價。,11.設(shè)n維向量組,線性表示；,12.已知向量組與向量組有相同的秩，證明：｛?｛｝.,證一方面,可由向量組,另一方面由于,與,有相同的秩，,的一個極大無關(guān)組就是向量組,的一個極大無關(guān)組，,可以由,線性表示.,線性表示；,所以,從而,故,｝,13.設(shè)向量組的秩為r，是中的r個向量，使得中每一個向量都可被它們線性表示.證明：是的一個極大線性無關(guān)組.,證依題設(shè)向量組可由線性表示,又顯然,,線性無關(guān),是,的一個極大無關(guān)組。,∴,故,所以,可由線性表示,14.證明：如果n維基本單位向量可由n維向量組線性表示，則向量組線性無關(guān).,證∵,可由,而,也可由,線性表示,從而,故,線性無關(guān)。,線性表示，,∴,15.設(shè)是一組n維向量，證明：線性無關(guān)的充要條件是任一維向量都可被它們線性表示.,證必要性：∵,是一組,維向量，,線性無關(guān)，顯然任意,n維向量,都可由,線性表示。,∴基本單位向量組,可由,故,∴,從而,線性無關(guān)。,充分性：∵任意n維向量都可以由,若,線性表示，,線性表示，,17.判斷下列命題是否正確，如果該命題成立，則簡述理由，否則，舉出反例：若存在全為零的數(shù)k1=k2=…=ks=0，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0，則向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)；(2)如果向量組α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則其任一部分組也線性相關(guān)；(3)如果向量組α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則其任一向量都可由其余向量線性表示；(4)如果向量組α1，α2，…，αm中有r個向量使得α1，α2，…，αm中任何向量均可由這r個向量線性表示，則R(α1，α2，…，αm)=r；,(錯),（錯）,（錯）,（錯）,(5)如果兩個向量組等價，則它們所含的向量個數(shù)相同；(6)如果R(α1，α2，…，αs)=r，則向量組α1，α2，…，αs中任意r個向量都線性無關(guān)；(7)如果R(α1，α2，…，αs)=r，則向量組α1，α2，…，αs中任意多于r個向量的向量組都線性相關(guān)；(8)如果R(α1，α2，…，αs)=s，則向量組α1，α2，…，αs中的任一部分組都線性無關(guān),（錯）,（錯）,（對）,.(對),線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．,線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作線性空間，進而通過研究線性空間來解決實際問題．,一.線性空間的定義,若F中任意兩個數(shù)的和、差、積、商（0不作除數(shù)），仍然,在F中，則稱F為一個數(shù)域。,容易驗證，實數(shù)集R、有理數(shù)集Q都是數(shù)域，,而無理數(shù)集不是數(shù)域。,第四節(jié)向量空間,定義2,設(shè)V為一非空集合，V中的元素用小寫希臘字母,α，β,γ等表示，對V中的任意兩個元素α、β及,數(shù)域F中的數(shù)k，定義了加法運算(記為α+β)及數(shù)乘運算(記為kα)，且α+β∈V,kα∈V，如果加法運算和數(shù)乘運算(統(tǒng)稱為線性運算)滿足下述8條運算律：,則稱V為數(shù)域F上的一個線性空間.,例1實數(shù)域R上的全體n維向量的集合，按照向量的加法與數(shù)乘運算是一個線性空間.該線性空間俗稱為向量空間.例2實數(shù)域R上的mn矩陣的全體組成的集合，按照矩陣的加法與數(shù)乘運算是一個線性空間.例3定義在閉區(qū)間［a,b］上的全體連續(xù)函數(shù)的集合C［a,b］，按照函數(shù)的加法與乘法是一個線性空間.例4單個零元素組成的集合V={0}是一個線性空間，稱為零線性空間(這里定義0+0=0,k0=0,k為數(shù)域F中的數(shù)).,上述例子表明，線性空間的概念比向量空間的,稱為向量，而不論其實際是矩陣、是函數(shù)還是其他什么,概念更具有普遍性。習慣上我們?nèi)詫⒕€性空間中的元素,事物，線性空間V又稱向量空間。,為了對向量空間進行深入的討論，我們引入了向量(廣義的)的線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念，而本章第一節(jié)，第二節(jié)所討論的向量(狹義的)的有關(guān)定義和定理可以推廣到數(shù)域F上的線性空間中來，本教材便不再敘述這些內(nèi)容.,我們已經(jīng)知道：在Rn中，線性無關(guān)的向量組最多由n個向量組成，而任意n+1個向量都是線性相關(guān)的．,我們把這n個線性無關(guān)的向量稱為線性空間的一組基。一般地，有如下定義:,二、線性空間的基與維數(shù),定義3在線性空間V中，如果存在n個向量,滿足：,維數(shù),,當一個線性空間V中存在任意多個線性無關(guān)的向量時，就稱V是無限維的．,記作dimV＝n;,注(1)零向量空間沒有基,規(guī)定其維數(shù)為0.,(2)如果把向量空間V看作向量組,可知,V的基就是向量組的極大無關(guān)組,V的維數(shù)就是向量組的秩.,(3)向量空間的基不唯一.,n維線性空間，,顯然，的任意n個線性無關(guān)向量都構(gòu)成的一組基，從,而有無窮多組基。例如，n維基本向量組,就是的一組基（稱作標準基），于是是,組基，但不同的基中所含的向量的個數(shù)卻是相同的.,（4）零空間中沒有線性無關(guān)的向量，所以沒有基。,作為全體n維向量的集合，基是它的一個極大線性,無關(guān)組，而維數(shù)則是它的秩，所以雖然有無窮多,(5)由于本書只著重討論中的問題，所以下面的討論只,在中進行，事實上涉及到的概念與性質(zhì)均可移植,到一般線性空間中去.,定義3,三、元素在給定基下的坐標,顯然，基本單位向量組為的一組基，向量在該組基下的坐標為,解之得x1=1,x2=5,x3=2,故α在基α1,α2,α3下的坐標為(1,5,2).,例5在R3中，求向量α=(8,7,2)T在基α1=(1,0,0)T,α2=(1,1,0)T,α3=(1,1,1)T下的坐標.,解設(shè)則有,定理1設(shè)是的一組基，α,β是的兩個,向量，它們在基下的坐標分別為,則α+β在這組基下的坐標為,kα(k∈R)在這組基下的坐標為,定義4設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn和η1,η2,…,ηn為Rn的兩組基，它們之間的線性關(guān)系為,η1=a11ξ1+a21ξ2+…+an1ξn,η2=a12ξ1+a22ξ2+…+an2ξn,…………ηn=a1nξ1+a2nξ2+…+annξn,，,(),即,*,四、基變換公式與過渡矩陣,=,矩陣A=,稱為由基ξ1,ξ2,…,ξn到基η1,η2,…,ηn的過渡矩陣.,()式可簡記為,*,并稱之為由基基變換.,定理2設(shè)；以及都是的基，A,B為n階矩陣，并且,定理的結(jié)論是顯然的.,則()=()AB,()=()B,,()=()A,,反過來，任意一個n階可逆矩陣A都可以作為中由一組基到另一組基的過渡矩陣,過渡矩陣具有以下性質(zhì)：,()=().,定理3設(shè)和均為,中的基，且,則過渡矩陣A可逆，且,()=()A,例如R2中有兩組基,求由基的過渡矩陣與,的過渡矩陣.,解,的過渡矩陣為,的過渡矩陣為,B=A.,()=()B,-1,證明定理3由假設(shè)有另設(shè)由基到基的過渡矩陣為B，則有,所以有由于和都是中的基，結(jié)合第二節(jié)的定理2，有,AB=E=BA.從而A可逆，且,反過來，若是任一n階可逆矩陣，為中一組基，取于是有因A可逆，從而有這表明向量組可由向量組線性表示.,因而也是的一組基，并且A就是由基.,知,再由假設(shè),也線性無關(guān),線性無關(guān),到基的過渡矩陣,五、坐標變換公式,定理4設(shè)和為中的,兩組基，且基變換公式為,()=()A,,中的向量α在基和下,的坐標分別為，則有,=,A,稱上式為坐標變換公式.,T,證明因(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)A,又α=x1α1+x2α2+…+xnαn=(α1,α2,…,αn),，,α=y1β1+y2β2+…+ynβn=(β1,β2,…,βn),，,=(α1,α2,…,αn)A,，,所以(α1,α2,…,αn),=(α1,α2,…,αn)A,，,從而,=A,即(x1,x2,…,xn)=(y1,y2,…,yn)AT.,注基變換公式還有其他表示形式,如果為中的兩組基，,且基變換公式為,()=()A,,又若中的向量在兩組基下的坐標為,，則有,=,A,T,即,=,A,或,=,A,-1,例5給定R3的兩組基,的坐標為（1，－1，1），求,下的坐標；,的坐標為（1，－1，1），求,下的坐標.,解,則有,(2)設(shè),下的坐標為,則,有坐標變換公式,=,P,T,(3)設(shè)向量,下的坐標為,得,下的坐標為,由坐標變換公式,=,T,P,*六、子空間及其維數(shù)設(shè)W是的一個非空子集，若對于W中的任意兩個向量α與β的和α+β仍在W內(nèi)，則說W對于的加法是封閉的；同樣，如果W中任意向量α與任意實數(shù)k的乘積kα仍在W內(nèi)，就說W對于數(shù)乘是封閉的.定理5設(shè)L是的一個非空子集，如果L對于的加法及數(shù)乘是封閉的，則L本身也是實數(shù)域R上的一個向量空間.,稱L為的一個子空間.,例6由的單個零向量構(gòu)成的子集L={0}滿足定理5的條件，所以它是的一個子空間，稱為零子空間.,顯然是其自身的子空間.,例7中的向量的一切線性組合組成的集合是的一個子空間，并稱為由向量組生成的子空間,且其維數(shù)為R()，該子空間記作L().由于子空間L是的一個子集，所以L中線性無關(guān)向量的個數(shù)不超過n，因此dimL≤dim.特別地，我們規(guī)定零子空間的維數(shù)為零.,