中考數(shù)學(xué)試題分類26 矩形、菱形與正方形

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1、 第26章 矩形、菱形與正方形 一、選擇題 1. （2011浙江省舟山，10，3分）如圖，①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無(wú)縫隙）．若①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm2，則①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為（　 　） （A）48cm （B）36cm （C）24cm （D）18cm （第10題） ① ② ③ ④ ⑤ 【答案】A 2. （2011山東德州8,3分）圖1是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形和一個(gè)菱形的組合圖形，菱形邊長(zhǎng)為等邊三角形邊長(zhǎng)的一半，以此為基本單位，可以拼成一個(gè)形狀相同

2、但尺寸更大的圖形（如圖2），依此規(guī)律繼續(xù)拼下去（如圖3），……，則第n個(gè)圖形的周長(zhǎng)是 圖1 圖2 圖3 …… （A） （B） （C） （D） 【答案】C 3. （2011山東泰安，17 ，3分）如圖，邊長(zhǎng)為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為 A.17 B.17 C.18 D.19 【答案】B 4. （2011山東泰安，19 ，3分）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合，若BC

3、=3，則折痕CE的長(zhǎng)為 A.2 B. C. D.6 【答案】A 5. （2011浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一個(gè)菱形BFDE(點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上)，記它們的面積分別 為．現(xiàn)給出下列命題：（ ） ①若，則．②若則． 則: A．①是真命題，②是真命題 B．①是真命題，②是假命題 C．①是假命題，②是真命題 D，①是假命題，②是假命題 【答案】A 6. （2011浙江衢州，1,3分）衢州市新農(nóng)村建設(shè)推動(dòng)了農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡分別架在墻

4、體的點(diǎn)、點(diǎn)處，且,側(cè)面四邊形為矩形，若測(cè)得，則( ) （第5題） A. 35 B. 40 C. 55 D. 70 【答案】C 7. （2011浙江溫州，6，4分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．已知∠AOB= 60，AC＝16，則圖中長(zhǎng)度為8的線段有( ) A．2條 B．4條 C．5條 D．6條 【答案】D 8. 2011四川重慶，10，4分）如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG、CF．下列結(jié)論：

5、①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 9. （2011浙江省嘉興，10，4分）如圖，①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無(wú)縫隙）．若①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm2，則①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為（　 ?。? （A）48cm （B）36cm （C）24cm （D）18cm （第10題） ① ② ③ ④ ⑤ 【答案】A 10．（2011臺(tái)灣臺(tái)北

6、，29）如圖(十二)，長(zhǎng)方形ABCD中，E為中點(diǎn)，作的角平分線交于F點(diǎn)。若＝6，＝16，則的長(zhǎng)度為何？ A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 11. （2011湖南邵陽(yáng)，7，3分）如圖（二）所示，中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AB≠AD，則下列式子不正確的是（） A.AC⊥BD B.AB＝CD C. BO=OD D.∠BAD=∠BCD 【答案】A.提示：當(dāng)且僅當(dāng)為菱形時(shí)，AC⊥BD。 12. （2011湖南益陽(yáng)，7，4分）如圖2，小聰在作線段AB

7、的垂直平分線時(shí)，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是 A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 A C D 圖2 B 【答案】B 13. （2011山東聊城，7，3分）已知一個(gè)菱形的周長(zhǎng)是20cm，兩條對(duì)角線的比是4∶3，則這個(gè)菱形的面積是（ ） A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm2 【答案】B 14. （2011四川宜賓,7,3分）如

8、圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長(zhǎng)為（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 （第7題圖） 【答案】D 15. （ 2011重慶江津， 10，4分）如圖,四邊形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn),得到四邊形A1B1C1D1,再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn),得到四邊形A2B2C2D2……,如此進(jìn)行下去,得到四邊形AnBnCnDn.下列結(jié)論正確的有( ) ①四邊形A2B2

9、C2D2是矩形; ②四邊形A4B4C4D4是菱形; … A1 A A2 A3 B B1 B2 B3 C C2 C1 C3 D D2 D1 D3 第10題圖 ③四邊形A5B5C5D5的周長(zhǎng); ④四邊形AnBnCnDn的面積是 A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④ 【答案】C 16. （2011江蘇淮安，5，3分）在菱形ABCD中，AB=5cm，則此菱形的周長(zhǎng)為（ ） A. 5cm B. 15cm C. 20

10、cm D. 25cm 【答案】C 17. （2011山東臨沂，11，3分）如圖，△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、F，BE⊥DF交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知∩A＝30，BC＝2，AF＝BF,則四邊形BCDE的面積是（ ） A．2 B．3 C．4 D．4 【答案】A 18. （2011四川綿陽(yáng)7，3）下列關(guān)于矩形的說法中正確的是 A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形 C．矩形的對(duì)角線互相垂直且平分 D．矩形的對(duì)角線相等且互相平分 【答案】D

11、 19. （2011四川樂山9，3分）如圖（5），在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，AE交BF于點(diǎn)H，CG∥AE交BF于點(diǎn)G。下列結(jié)論：①tan∠HBE=cot∠HEB ② ③BH=FG ④.其中正確的序號(hào)是 A．①②③ B．②③④ C． ①③④ D．①②④ 【答案】D 20．（2011江蘇無(wú)錫，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是 ( ) A．對(duì)角線互相垂直 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角互補(bǔ) 【答案】A 21. （2011湖北武漢市，12，3分）如圖，在菱形ABCD中，AB=

12、BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=DF．連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H．下列結(jié)論： ①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG= CG2； ③若AF=2DF，則BG=6GF．其中正確的結(jié)論 A．只有①②．B．只有①③．C．只有②③．D．①②③． A B C D E F G H 第12題圖 【答案】D 22. （2011廣東茂名，5，3分）如圖，兩條筆直的公路、相交于點(diǎn)O，村莊C的村民在公路的旁邊建三個(gè)加工廠 A．B、D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村莊C到公路的距離為4公里，則村莊C到公路的距離是 A．3公里 B

13、．4公里 C．5公里 D．6公里 【答案】B 23. （2011湖北襄陽(yáng)，10，3分）順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是 A.菱形 B.對(duì)角線互相垂直的四邊形 C.矩形 D.對(duì)角線相等的四邊形 【答案】D 24. （2011湖南湘潭市，5，3分）下列四邊形中，對(duì)角線相等且互相垂直平分的是 A.平行四邊形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形 【答案】B 二、填空題 1. （2011山東濱州，17，4分）將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖所示圖形。若∠CED′=56,則∠AED的大小是_______

14、. （第17題圖） 【答案】62 2. （2011山東德州16,4分）長(zhǎng)為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當(dāng)n=3時(shí)，a的值為________． 第一次操作 第二次操作 【答案】或 3. （2011湖北鄂州，5，3分）如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=10，BC=8，則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為_______． A B C D 第5題圖

15、【答案】28 4. （2011山東煙臺(tái)，17,4分）如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是 . 【答案】2 5. (2011 浙江湖州，16，4)如圖，甲類紙片是邊長(zhǎng)為2的正方形，乙類紙片是邊長(zhǎng)為1的正方形，丙類紙片是長(zhǎng)、寬分別為2和1的長(zhǎng)方形．現(xiàn)有甲類紙片1張，乙類紙片4張，則應(yīng)至少取丙類紙片 張，才能用它們拼成一個(gè)新的正方形． 【答案】4 6. (2011浙江紹興，15，5分) 取一張矩形紙片按照?qǐng)D1、圖2中的方法對(duì)折，并沿圖3中過矩形頂點(diǎn)的斜線（虛線）剪開，那剪下的①這部分展開，平鋪在桌面上，若平

16、鋪的這個(gè)圖形是正六邊形，則這張矩形紙片的寬和長(zhǎng)之比為 . 【答案】 7. （2011甘肅蘭州，20，4分）如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去。已知第一個(gè)矩形的面積為1，則第n個(gè)矩形的面積為 。 …… 【答案】 8. （2011江蘇泰州，18，3分）如圖，平面內(nèi)4條直線L1、L2、L3、L4是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D都在這些平行線上，其中點(diǎn)Ａ、Ｃ分別在直線L1和L4上，該正方形的面積是

17、 平方單位． 【答案】5或9 9. （2011山東濰坊，16，3分）已知線段AB的長(zhǎng)為a，以AB為邊在AB的下方作正方形ACDB.取AB邊上一點(diǎn)E，以AE為邊在AB的上方作正方形AENM.過E作EF⊥CD，垂足為F點(diǎn).若正方形AENM與四邊形EFDB的面積相等，則AE的長(zhǎng)為_________. 【答案】 10．（2011山東濰坊，17，3分）已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，過對(duì)角線BD的中點(diǎn)O做BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，則AE的長(zhǎng)為_______________. 【答案】 11. （2011四川內(nèi)江，16，5分）如

18、圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的邊至少滿足 條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形． A B C D E F G H 【答案】AB=CD 12. (2011重慶綦江，14，4分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC＝8，BD＝6，過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H，則點(diǎn)O到邊AB的距離OH＝ ． 【答案】： 13. （2011江蘇淮安，17，3分）在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD是矩形.你添加的條件是

19、 .(寫出一種即可) 【答案】∠A=90或∠B=90或∠C=90或∠D=90或AC=BD (答案不唯一，寫出一種即可) 14. (2011江蘇南京，12，2分)如圖，菱形ABCD的連長(zhǎng)是2㎝，E是AB中點(diǎn)，且DE⊥AB，則菱形ABCD的面積為_________㎝2． (第12題) B A D C E 【答案】 15. （2011江蘇南通，15，3分）如同，矩形紙片ABCD中，AB＝2cm，點(diǎn)E在BC上，且 AE＝EC.若將紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好與AC上的點(diǎn)重合，則AC＝ ▲ cm. 【答案】4 16. （2011四川綿陽(yáng)17，4）如圖，

20、將長(zhǎng)8cm，寬4cm的矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與C重合，則折痕EF的長(zhǎng)為_____cm. 【答案】2 17. （2011四川涼山州，17，4分）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)是8，點(diǎn)E在直線AD上，若DE=3，連接BE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)M，則的值是 。 【答案】或 18. （2011湖北黃岡，5，3分）如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=10，BC=8，則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為_______． A B C D 第5題圖 【答案】28 19. （2011湖北黃石，13，3分）有甲乙兩張紙條，甲紙條的寬是乙紙條寬的2倍，如圖（4）.將這兩張紙條交

21、叉重疊地放在一起，重合部分為四邊形ABCD，則AB與BC的數(shù)量關(guān)系為 。 【答案】AB=2BC 20．（2011山東日照，16，4分）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN．當(dāng)BM= 時(shí)，四邊形ABCN的面積最大． 【答案】2; 21. （2011河北，14，3分）如圖6，已知菱形ABCD，其頂點(diǎn)A，B在數(shù)軸對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-4和1，則BC=__． 【答案】5 22. （2010湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊△CDE，則∠AED的度數(shù)是 .

22、 【答案】15或75 三、解答題 1. （2011浙江省舟山，23，10分）以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH． （1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）； （2）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)∠ADC=（0＜＜90）， ① 試用含的代數(shù)式表示∠HAE； ② 求證：HE=HG； ③ 四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由． （第23題圖2） （第

23、23題圖3） （第23題圖1） 【答案】（1）四邊形EFGH是正方形． 　　　　(2) ①∠HAE=90＋a． 在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180－∠ADC=180－a； ∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45， ∴∠HAE=360－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360－45－45－（180－a）＝90＋a． ②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD， 在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝

24、90＋a＝∠HAE． ∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG． ③四邊形EFGH是正方形． 由②同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，∵HE=HG（已證），∴GH=GF=FG=FE， ∴四邊形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已證），∴∠DHG=∠AHE， 又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90， ∴四邊形EFGH是正方形． 2. （2011安徽，23，14分）如圖，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線、、、上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為、、（＞0，＞0，＞0）． （1）求證：=；

25、l1 l2 l3 l4 h1 h2 h3 A B C D （2）設(shè)正方形ABCD的面積為S，求證：S=； （3）若，當(dāng)變化時(shí)，說明正方形ABCD的面積S隨的變化情況． l1 l2 l3 l4 h1 h2 h3 A B C D E F G 1 4 2 3 【答案】（1）過A點(diǎn)作AF⊥l3分別交l2、l3于點(diǎn)E、F，過C點(diǎn)作CG⊥l3交l3于點(diǎn)G， ∵l2∥l3，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90，∠4+∠3=90，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；

26、（2）∵∠FAD+∠3=90，∠4+∠3=90，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD2=AF2+FD2，∴S=； (3)由題意，得， 所以 ， 又，解得0＜h1＜ ∴當(dāng)0＜h1＜時(shí)，S隨h1的增大而減小； 當(dāng)h1=時(shí)，S取得最小值； 當(dāng)＜h1＜時(shí)，S隨h1的增大而增大. 3. （2011福建福州，21，12分）已知,矩形中,,,的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、,垂足為. (1)如圖10-1,連接、.求證四邊形為菱形,并求的長(zhǎng)； (2)如圖10-2,動(dòng)點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿和各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)

27、自→→→停止,點(diǎn)自→→→停止.在運(yùn)動(dòng)過程中, ①已知點(diǎn)的速度為每秒5,點(diǎn)的速度為每秒4,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,當(dāng)、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求的值. ②若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)路程分別為、(單位:,),已知、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求與滿足的數(shù)量關(guān)系式. 圖10-1 圖10-2 備用圖 【答案】(1)證明:①∵四邊形是矩形 ∴∥ ∴, ∵垂直平分,垂足為 ∴ ∴≌ ∴ ∴四邊形為平行四邊形 又∵ ∴四邊形為菱形 ②設(shè)菱形的邊長(zhǎng),則 在中, 由勾股定理得,解得 ∴ (2)①顯然當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),點(diǎn)在上,此時(shí)、、、四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;同理點(diǎn)在

28、上時(shí),點(diǎn)在或上,也不能構(gòu)成平行四邊形.因此只有當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形 ∴以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí), ∵點(diǎn)的速度為每秒5,點(diǎn)的速度為每秒4,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒 ∴, ∴,解得 ∴以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),秒. ②由題意得,以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),點(diǎn)、在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上. 分三種情況: i)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),,即,得 ii)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),, 即,得 iii)如圖3,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),,即,得 綜上所述,與滿足的數(shù)量關(guān)系式是 圖1 圖2 圖3 4. （2011廣東廣州

29、市，18，9分） 如圖4，AC是菱形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，且AE=AF． 求證：△ACE≌△ACF． 圖4 A B C D E F 【答案】∵四邊形ABCD為菱形 ∴∠BAC=∠DAC 又∵AE=AF，AC=AC ∴△ACE≌△ACF（SAS） 5. （2011山東濱州，24，10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF。那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何下時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論。 （第24題圖）

30、 【答案】 當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)（或OA=OC）時(shí)， 四邊形AECF是矩形………………2分 證明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分 又∵M(jìn)N∥BC, ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分 同理，F(xiàn)O=CO………………6分 ∴EO=FO 又OA=OC, ∴四邊形AECF是平行四邊形………………7分 又∵∠1=∠2，∠4=∠5， ∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180 ∴∠2+∠4=90………………9分 ∴四邊形AECF是矩形………………10分 6. （2011山東濟(jì)寧，22，

31、8分）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，為邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的垂直平分線交邊于，交邊的延長(zhǎng)線于.當(dāng)時(shí)，與的比值是多少？ 經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過作直線平行于交，分別于，，如圖，則可得：，因?yàn)椋?可求出和的值，進(jìn)而可求得與的比值. (1) 請(qǐng)按照小明的思路寫出求解過程. (2) 小東又對(duì)此題作了進(jìn)一步探究，得出了的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)說明理由. (第22題) （1）解：過作直線平行于交，分別于點(diǎn)，， 則，，. ∵，∴. 2分 ∴，. ∴. 4分 （2）證明：作

32、∥交于點(diǎn)， 5分 則，. ∵， ∴. ∵，， ∴.∴. 7分 ∴. 8分 (第22題) 7. （2011山東威海，24，11分）如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK． （1）若∠1=70，求∠MNK的度數(shù)． （2）△MNK的面積能否小于？若能，求出此時(shí)∠1的度數(shù)；若不能，試說明理由． （3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請(qǐng)你利用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值． （備用圖） 【答案】

33、 解：∵ABCD是矩形， ∴AM∥DN， ∴∠KNM=∠1． ∵∠KMN=∠1， ∴∠KNM=∠KMN． ∵∠1=70， ∴∠KNM=∠KMN=70． ∴∠MNK=40． （2）不能． 過M點(diǎn)作ME⊥DN，垂足為點(diǎn)E，則ME=AD=1, 由（1）知∠KNM=∠KMN． ∴MK=NK． 又MK≥ME, ∴NK≥1． ∴． ∴△MNK的面積最小值為，不可能小于． （3）分兩種情況： 情況一：將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與點(diǎn)D重合． 設(shè)MK=MD=x，則AM=5-x，由勾股定理，得 , 解得，． 即． ∴．

34、 （情況一） 情況二：將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕為AC． 設(shè)MK=AK= CK=x，則DK=5-x，同理可得 即． ∴． ∴△MNK的面積最大值為1.3． （情況二） 8. （2011山東煙臺(tái)，24,10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2． （1）求證：AB＝BC； A B C D E （2）當(dāng)BE⊥AD于E時(shí)，試證明：BE＝AE＋CD． 【答案】（1）證明：連接AC， ∵∠ABC＝90，

35、∴AB2＋BC2＝AC2. ∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2. ∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2， ∴AB＝BC. （2）證明：過C作CF⊥BE于F. ∵BE⊥AD，∴四邊形CDEF是矩形. ∴CD＝EF. ∵∠ABE＋∠BAE＝90，∠ABE＋∠CBF＝90， ∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF. ∴AE＝BF. ∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD. 9. (2011 浙江湖州，22，8) 如圖已知E、F分別是□ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn)，且BE=DF． (1) 求證：四邊形AECF是平行四邊形； (2) 若BC＝10，∠BA

36、C＝90，且四邊形AECF是菱形，求BE的長(zhǎng) ． 【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF， ∴AF=EC，∴四邊形AECF是平行四邊形. （2）∵四邊形AECF是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90，∴∠3＝∠90－∠2，∠4＝∠90－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝BC＝5. 10．（2011寧波市，23，8分）如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊ABCD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過A點(diǎn)作AGDB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G． （1）求證：DE∥BF； （2）若∠G＝90，求證四邊形DE

37、BF是菱形． 解：（1）□ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD ∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn) ∴DF＝DC，BE＝AB ∴DF∥BE，DF＝BE ∴四邊形DEBF為平行四邊形 ∴DE∥BF (2)證明：∵AG∥BD ∴∠G＝∠DBC＝90 ∴DBC 為直角三角形 又∵F為邊CD的中點(diǎn)． ∴BF＝DC＝DF 又∵四邊形DEBF為平行四邊形 ∴四邊形DEBF是菱形 11. （2011浙江衢州，22,10分）如圖，中，是邊上的中線，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作與分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，連接 求證：; 當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是菱形； 在（2）的條件下，若，求的值. （第22題）

38、 【答案】.證明：(1) 解法1：因?yàn)镈E//AB,AE//BC,所以四邊形ABDE是平行四邊形， 所以AE//BD且AE=BD，又因?yàn)锳D是邊BC上的中線，所以BD=CD， 所以AE平行且等于CD，所以四邊形ADCE是平行四邊形，所以AD=EC. 解法2： 又 (2)解法1： 證明是斜邊上的中線 又四邊形是平行四邊形 四邊形是菱形 解法2 證明： 又四邊形是

39、平行四邊形 四邊形是菱形 解法3 證明： 四邊形是平行四邊形 又 四邊形是菱形 解法1 解：四邊形是菱形 的中位線，則 解法2 解：四邊形是菱形 12. （2011浙江省嘉興，23，12分）以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH． （1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；

40、 （2）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)∠ADC=（0＜＜90）， ① 試用含的代數(shù)式表示∠HAE； ② 求證：HE=HG； ③ 四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由． （第23題圖2） （第23題圖3） （第23題圖1） 【答案】（1）四邊形EFGH是正方形． 　　　　(2) ①∠HAE=90＋a． 在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180－∠ADC=180－a； ∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45， ∴∠HAE=360－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360－45－45－（180－a）＝90＋a． ②∵△AE

41、B和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD， 在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90＋a＝∠HAE． ∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG． ③四邊形EFGH是正方形． 由②同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，∵HE=HG（已證），∴GH=GF=FG=FE， ∴四邊形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已證），∴∠DHG=∠AHE， 又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝9

42、0， ∴四邊形EFGH是正方形． 13. （2011福建泉州，21，9分）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1． (1)證明：△A1AD1≌△CC1B； (2)若∠ACB＝30，試問當(dāng)點(diǎn)C1在線段AC上的什么位置時(shí)，四邊形ABC1D1是菱形. （直接寫出答案） 【答案】 ∵矩形ABCD ∴BC=AD,BC∥AD ∴∠DAC=∠ACB ∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1． ∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1 ∴∠A1=∠ACB，A1D1=CB。C B A D A1 C1 D1 （第

43、21題） ∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）?！?分 當(dāng)C1在AC中點(diǎn)時(shí)四邊形ABC1D1是菱形，……………9分 14. （2011甘肅蘭州，27，12分）已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD>AB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連結(jié)AF和CE。 （1）求證：四邊形AFCE是菱形； （2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長(zhǎng)； （3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2=ACAP？若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由。 A B C D E F

44、 O 【答案】（1）由折疊可知EF⊥AC，AO=CO ∵AD∥BC ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO ∴△AOE≌△COF ∴EO=FO ∴四邊形AFCE是菱形。 （2）由（1）得AF=AE=10 設(shè)AB=a，BF=b，得 a2+b2=100 ①，ab=48 ② ①+2②得 (a+b)2=196，得a+b=14（另一負(fù)值舍去） ∴△ABF的周長(zhǎng)為24cm （3）存在，過點(diǎn)E作AD的垂線交AC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P符合題意。 A B C D E F O P 證明：∵∠AEP=∠AOE=90，∠EAP=∠OAE ∴△AOE∽△AEP ∴，得

45、AE2=AOAP即2AE2=2AOAP 又AC=2AO ∴2AE2=ACAP 15. （2011廣東株洲，23，8分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)， PO的延長(zhǎng)線交BC于Q. （1）求證： OP=OQ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點(diǎn)A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運(yùn)動(dòng)（不與D重合）.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)用t表示PD的長(zhǎng)；并求t為何值時(shí)，四邊形PBQD是菱形． 【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，

46、 ∴△POD≌△QOB， ∴OP=OQ。 （2）解法一： PD=8-t ∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90， ∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm. 當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB， ∴△ODP∽△ADB， ∴，即， 解得,即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊

47、形PBQD是菱形. 解法二：PD=8-t 當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB=PD=(8-t)cm， ∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90，在RT△ABP中，AB=6cm， ∴， ∴， 解得,即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形PBQD是菱形. 16. （2011江蘇蘇州，28,9分）（本題滿分9分）如圖①，小慧同學(xué)吧一個(gè)正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1繞B1點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120，

48、點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A1處，點(diǎn)O1運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O2處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O2處）. 小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)過程中，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段圓弧，即弧OO1和弧O1O2，頂點(diǎn)O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長(zhǎng)度之和，并且這兩端圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形AOO1的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和. 小慧進(jìn)行類比研究：如圖②，她把邊長(zhǎng)為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1

49、B1繞B1點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，……，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問題： 問題①：若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程； 問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程是π？ 請(qǐng)你解答上述兩個(gè)問題. 【答案】解問題①：如圖，正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3， ∴頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過的路程為 . 頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖

50、形與直線l2圍成圖形的面積為 =1+π. 正方形OABC經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程為 . 問題②：∵方形OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程為 ∴π=20π+π. ∴正方形紙片OABC經(jīng)過了81次旋轉(zhuǎn). 17. （2011江蘇泰州，24，10分）如圖，四邊形ABCD是矩形，直線L垂直平分線段AC，垂足為O，直線L分別與線段AD、CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F． （1）△ABC與△FOA相似嗎？為什么？ （2）試判定四邊形AFCE的形狀，并說明理由． 【答案】(1)相似.由直線L垂直平分線段AC，所以AF=FC，∴∠FAC=∠ACF，又∵∠ABC=∠AOF=90，∴△

51、ABC∽FOA． （2）四邊形AFCE是菱形。理由：∵AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO， 又∵AO＝CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF， ∴四邊形AFCE為平行四邊形，又AF=FC，所以平行四邊形AFCE為菱形． 18. （2011江蘇泰州，28，12分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，邊長(zhǎng)為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C、D都在第一象限． （1）當(dāng)∠BAO=45時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo); (2)求證：無(wú)論點(diǎn)A在x軸正

52、半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上； （3）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由． 【答案】解：（1）當(dāng)∠BAO=45時(shí)，∠PAO=90，在Rt⊿AOB中，OA＝AB＝，在Rt⊿APB中，PA＝AB＝?！帱c(diǎn)P的坐標(biāo)為（，） （2）過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線垂足分別為M、N，則有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90，∴∠MPA=∠NPB，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM=PN，于是，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上； （3）＜h≤。當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離為，然后頂點(diǎn)A在x軸正半軸上向左運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半

53、軸上向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離逐漸增大，當(dāng)∠BAO=45時(shí)，PA⊥x軸，這時(shí)點(diǎn)P到AB的距離最大為，然后又逐漸減小到，∵x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O ， ∴點(diǎn)P到x軸的距離的取值范圍是＜h≤。 19. （2011山東濟(jì)寧，17， 5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線EF⊥BD，分別交AD、BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F，求證：四邊形BEDF是菱形． 第17題 【答案】證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，OB=OD，…………………………………………1分 ∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，…………………………2分 ∴△OE

54、D≌△OFB， ∴DE=BF，………………………………………………………3分 又∵DE∥BF， ∴四邊形BEDF是平行四邊形，………………………………4分 ∵EF⊥BD， ∴四邊形BEDF是菱形．………………………………………5分 20．（2011山東聊城，25，12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向移動(dòng)，點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，△EFG的面積為S（cm2）． （1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，S

55、的值是多少？ （2）寫出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍． （3）若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)說明理由． 【答案】（1）如圖甲，當(dāng)t＝1秒時(shí)，AE＝2，EB＝10，BF＝4，F(xiàn)C＝4，CG＝2， 由S＝S梯形EGCG－SEBF－SFCG＝(10＋2)8－104－42＝24 (2)如圖（甲），當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)E、F、G分別在AB、BC、CD上移動(dòng)， 此時(shí)AE＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，F(xiàn)C＝8－4t，S＝8t2－32t＋48（0≤t≤2） （3）如圖乙，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G時(shí)

56、，4t＝2t＝8，解得t＝4， 當(dāng)2＜t≤4時(shí)，CF＝4t－8，CG＝2t，F(xiàn)G＝CG－CF＝8－2t，即S＝－8t＋32(2＜t≤4)， (3)如圖（甲），當(dāng)點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)時(shí)，0≤t≤2，在EFF和FCG中，B＝C＝90，，①若，即，解得t＝，又t＝滿足0≤t≤2，所以當(dāng)t＝時(shí)△EBF∽△GCF②若，即，解得t＝，又t＝滿足0≤t≤2，所以當(dāng)t＝時(shí)△EBF∽△GCF， 綜上知，當(dāng)t＝或時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似 21. （2011山東濰坊，18，8分）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，P是射線AB上任意一點(diǎn)，

57、過P點(diǎn)分別做直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F. （1）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上時(shí)，求PE+PF的值； （2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，求PE－PF的值. 【解】（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD. ∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF. 又∵∠PBF=45，∴PF=BF. ∴PE+PF=OF+FB=OB=. （2）∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD. ∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF. 又∵∠PBF=45，∴PF=BF

58、. ∴PE－PF=OF－BF= OB=. 22. （2011四川廣安，23，8分）如圖5所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60，DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：DE=BE 圖5 【答案】證明：∵ABCD是菱形，∠ABC= 60 ∴BC=AC=AD 又∵DE∥AC ∴ACED為平行四邊形 ∴CE=AD=BC DE=AC ∴DE=CE=BC ∴DE=BE 23. (2011江蘇南京，21，7分)如圖，將□ABCD的邊D

59、C延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F． ⑴求證：△ABF≌△ECF ⑵若∠AFC=2∠D，連接AC、BE．求證：四邊形ABEC是矩形． A B C D E F (第21題) 【答案】證明：⑴∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF. ∵EC=DC, ∴AB=EC． 在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC， ∴⊿ABF≌⊿ECF． （2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．∴AF=EF， BF=CF． ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠

60、D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC． ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB． ∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形． 解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形． ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE． 又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE， ∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD． 又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90． ∴口ABEC是矩形． 24. （2011江蘇南通，26，10分）（本體滿分1

61、0分） 已知：如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，OD到點(diǎn)E，使OF＝2OA，OE＝2OD，連結(jié)EF，將△FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到△（如圖2）. （1） 探究AE′與BF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明； （2） 當(dāng)α＝30時(shí)，求證：△AOE′為直角三角形. 【答案】（1）AE′＝BF 證明：如圖2， ∵在正方形ABCD中， AC⊥BD ∴∠＝∠AOD＝∠AOB＝90 即∠AOE′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′ ∴∠AOE′＝∠BOF′ 又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA ∴OE′＝OF′ ∴△OAE′≌△OBF′ ∴AE′

62、＝BF （2）作△AOE′的中線AM，如圖3. 則OE′＝2OM＝2OD＝2OA ∴OA＝OM ∵α＝30 ∴∠AOM＝60 ∴△AOM為等邊三角形 ∴ MA＝MO＝ME′，∠＝∠ 又∵∠＋∠＝∠AMO 即2∠＝60 ∴∠＝30 ∴∠＋∠AOE′＝30＋60＝90 ∴△AOE′為直角三角形. 25. （2011山東臨沂，22，7分）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分別是△ABC兩個(gè)外角的平分線．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90，＝2CD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，線段OA，OB的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn) （1）求證：AC＝AD；

63、（2）若∠B＝60，求證：四邊形ABCD是菱形； 【解】（1）證明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠BCA， ∴∠EAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B， ∵AD平分∠FAC， ∴∠FAD＝∠B， ∴AD∥BC，……………………………………………………………………（2分） ∴∠D＝∠DCE， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE， ∴∠D＝∠ACD，………………………………………………………………（3分） ∴AC＝AD；……………………………………………………………………（4分） （2）證明：∵∠B＝60， ∴∠ACB＝60，∠FAC＝∠ACE＝120， ∴∠DCE＝∠

64、B＝60，………………………………………………………（5分） ∴DC∥AB, ∵AD∥BC， ∴四邊形ABCD為平行四邊形，……………………………………………（6分） 又由（1）知AC＝AD， ∴AB＝AD， ∴四邊形ABCD是菱形．……………………………………………………（7分） 26. （2011山東臨沂，25，11分)如圖1，獎(jiǎng)三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，三角板的一邊交CD于點(diǎn)F，另一邊交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G． （1）求證：EF＝EG； （2）如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，其他條件不變．

65、（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，情給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由； （3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)B，其他條件不變，若AB＝a,BC＝b，求的值． 圖1 圖2 圖3 （1）證明：∵∠GEB＋∠BEF＝90，∠DEF＋∠BEF＝90， ∴∠DEF＝GEB，………………………………………………（ 1分） 又∵ED＝BE， ∴

66、Rt△FED≌Rt△GEB，…………………………………………（ 2分） ∴EF＝EG．……………………………………………………（ 3分） (2)成立．……………………………………………………………………（ 4分） 證明：如圖，過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I， 則EH＝EI，∠HEI＝90，…………………………………（ 5分） ∵∠GEH＋∠HEF＝90，∠IEF＋∠HEF＝90， ∴∠IEF＝∠GEH，……………………………………………（ 6分） ∴Rt△FEI≌Rt△GEH, ∴EF＝EG．………………………………………………………（7分） (3)解：如圖，過