《偏微分方程數(shù)值解法的MATLAB源碼學(xué)練結(jié)合》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《偏微分方程數(shù)值解法的MATLAB源碼學(xué)練結(jié)合（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
[原創(chuàng)]偏微分方程數(shù)值解法的MATLAB源碼【更新完畢】
說(shuō)明：由于偏微分的程序都比較長(zhǎng)，比其他的算法稍復(fù)雜一些，所以另開(kāi)一貼，專門上傳偏微分的程序
謝謝大家的支持！
其他的數(shù)值算法見(jiàn)：
..//Announce/Announce.asp?BoardID=209&id=8245004
1、古典顯式格式求解拋物型偏微分方程（一維熱傳導(dǎo)方程）
function [U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)
%古典顯式格式求解拋物型偏微分方程
%[U x t]=PDEParabolic
2、ClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)
%
%方程：u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT
%初值條件：u(x,0)=phi(x)
%邊值條件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t)
%
%輸出參數(shù)：U -解矩陣，第一行表示初值，第一列和最后一列表示邊值，第二行表示第2層……
% x -空間變量
% t -時(shí)間變量
%輸入?yún)?shù)：uX -空間變量x的取值上限
% uT -時(shí)間變量t的取值上限
% phi -初值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)
%
3、psi1 -邊值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)
% psi2 -邊值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)
% M -沿x軸的等分區(qū)間數(shù)
% N -沿t軸的等分區(qū)間數(shù)
% C -系數(shù)，默認(rèn)情況下C=1
%
%應(yīng)用舉例：
%uX=1;uT=0.2;M=15;N=100;C=1;
%phi=inline(sin(pi*x));psi1=inline(0);psi2=inline(0);
%[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C);
%設(shè)置參數(shù)C的默認(rèn)值
if nargin==7
C=
4、1;
end
%計(jì)算步長(zhǎng)
dx=uX/M;%x的步長(zhǎng)
dt=uT/N;%t的步長(zhǎng)
x=(0:M)*dx;
t=(0:N)*dt;
r=C*dt/dx/dx;%步長(zhǎng)比
r1=1-2*r;
if r > 0.5
disp(r > 0.5,不穩(wěn)定)
end
%計(jì)算初值和邊值
U=zeros(M+1,N+1);
for i=1:M+1
U(i,1)=phi(x(i));
end
for j=1:N+1
U(1,j)=psi1(t(j));
U(M+1,j)=psi2(t(j));
end
%逐層求解
for j=1
5、:N
for i=2:M
U(i,j+1)=r*U(i-1,j)+r1*U(i,j)+r*U(i+1,j);
end
end
U=U;
%作出圖形
mesh(x,t,U);
title(古典顯式格式，一維熱傳導(dǎo)方程的解的圖像)
xlabel(空間變量 x)
ylabel(時(shí)間變量 t)
zlabel(一維熱傳導(dǎo)方程的解 U)
return;
古典顯式格式不穩(wěn)定情況
古典顯式格式穩(wěn)定情況
2、古典隱式格式求解拋物型偏微分方程（一維熱傳導(dǎo)方程）
function [U x t]=PDEParabolicClass
6、icalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)
%古典隱式格式求解拋物型偏微分方程
%[U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)
%
%方程：u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT
%初值條件：u(x,0)=phi(x)
%邊值條件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t)
%
%輸出參數(shù)：U -解矩陣，第一行表示初值，第一列和最后一列表示邊值，第二行表示第2層……
% x -空間變量
%
7、t -時(shí)間變量
%輸入?yún)?shù)：uX -空間變量x的取值上限
% uT -時(shí)間變量t的取值上限
% phi -初值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)
% psi1 -邊值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)
% psi2 -邊值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)
% M -沿x軸的等分區(qū)間數(shù)
% N -沿t軸的等分區(qū)間數(shù)
% C -系數(shù)，默認(rèn)情況下C=1
%
%應(yīng)用舉例：
%uX=1;uT=0.2;M=50;N=50;C=1;
%phi=inline(sin(pi*x));psi1=inline(0);psi2=inline(0);
%[U x t]=PDEParaboli
8、cClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C);
%設(shè)置參數(shù)C的默認(rèn)值
if nargin==7
C=1;
end
%計(jì)算步長(zhǎng)
dx=uX/M;%x的步長(zhǎng)
dt=uT/N;%t的步長(zhǎng)
x=(0:M)*dx;
t=(0:N)*dt;
r=C*dt/dx/dx;%步長(zhǎng)比
Diag=zeros(1,M-1);%矩陣的對(duì)角線元素
Low=zeros(1,M-2);%矩陣的下對(duì)角線元素
Up=zeros(1,M-2);%矩陣的上對(duì)角線元素
for i=1:M-2
Diag(i)=1+2*r;
9、Low(i)=-r;
Up(i)=-r;
end
Diag(M-1)=1+2*r;
%計(jì)算初值和邊值
U=zeros(M+1,N+1);
for i=1:M+1
U(i,1)=phi(x(i));
end
for j=1:N+1
U(1,j)=psi1(t(j));
U(M+1,j)=psi2(t(j));
end
%逐層求解，需要使用追趕法（調(diào)用函數(shù)EqtsForwardAndBackward）
for j=1:N
b1=zeros(M-1,1);
b1(1)=r*U(1,j+1);
b1(M-1)=r*U(M+1,j+1
10、);
b=U(2:M,j)+b1;
U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b);
end
U=U;
%作出圖形
mesh(x,t,U);
title(古典隱式格式，一維熱傳導(dǎo)方程的解的圖像)
xlabel(空間變量 x)
ylabel(時(shí)間變量 t)
zlabel(一維熱傳導(dǎo)方程的解 U)
return;
此算法需要使用追趕法求解三對(duì)角線性方程組，這個(gè)算法在上一篇帖子中已經(jīng)給出，為了方便，再給出來(lái)
追趕法解三對(duì)角線性方程組
function x=EqtsForwardAnd
11、Backward(L,D,U,b)
%追趕法求解三對(duì)角線性方程組Ax=b
%x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)
%x:三對(duì)角線性方程組的解
%L:三對(duì)角矩陣的下對(duì)角線，行向量
%D:三對(duì)角矩陣的對(duì)角線，行向量
%U:三對(duì)角矩陣的上對(duì)角線，行向量
%b:線性方程組Ax=b中的b，列向量
%
%應(yīng)用舉例:
%L=[-1 -2 -3];D=[2 3 4 5];U=[-1 -2 -3];b=[6 1 -2 1];
%x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)
%檢查參數(shù)的輸入是否正確
n=length(D);m=le
12、ngth(b);
n1=length(L);n2=length(U);
if n-n1 ~= 1 || n-n2 ~= 1 || n ~= m
disp(輸入?yún)?shù)有誤！)
x= ;
return;
end
%追的過(guò)程
for i=2:n
L(i-1)=L(i-1)/D(i-1);
D(i)=D(i)-L(i-1)*U(i-1);
end
x=zeros(n,1);
x(1)=b(1);
for i=2:n
x(i)=b(i)-L(i-1)*x(i-1);
end
%趕的過(guò)程
x(n)=x(n)/D(n);
for i=n-1
13、:-1:1
x(i)=(x(i)-U(i)*x(i+1))/D(i);
end
return;
古典隱式格式
在以后的程序中，我們都取C=1，不再作為一個(gè)輸入?yún)?shù)處理
3、Crank-Nicolson隱式格式求解拋物型偏微分方程
需要調(diào)用追趕法的程序
function [U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N)
%Crank-Nicolson隱式格式求解拋物型偏微分方程
%[U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N)
%
%方程：u_t=
14、u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT
%初值條件：u(x,0)=phi(x)
%邊值條件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t)
%
%輸出參數(shù)：U -解矩陣，第一行表示初值，第一列和最后一列表示邊值，第二行表示第2層……
% x -空間變量
% t -時(shí)間變量
%輸入?yún)?shù)：uX -空間變量x的取值上限
% uT -時(shí)間變量t的取值上限
% phi -初值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)
% psi1 -邊值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)
% psi2 -邊值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)
% M -沿x軸的等分
15、區(qū)間數(shù)
% N -沿t軸的等分區(qū)間數(shù)
%
%應(yīng)用舉例：
%uX=1;uT=0.2;M=50;N=50;
%phi=inline(sin(pi*x));psi1=inline(0);psi2=inline(0);
%[U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N);
%計(jì)算步長(zhǎng)
dx=uX/M;%x的步長(zhǎng)
dt=uT/N;%t的步長(zhǎng)
x=(0:M)*dx;
t=(0:N)*dt;
r=dt/dx/dx;%步長(zhǎng)比
Diag=zeros(1,M-1);%矩陣的對(duì)角線元素
Low=zeros(1,M-2
16、);%矩陣的下對(duì)角線元素
Up=zeros(1,M-2);%矩陣的上對(duì)角線元素
for i=1:M-2
Diag(i)=1+r;
Low(i)=-r/2;
Up(i)=-r/2;
end
Diag(M-1)=1+r;
%計(jì)算初值和邊值
U=zeros(M+1,N+1);
for i=1:M+1
U(i,1)=phi(x(i));
end
for j=1:N+1
U(1,j)=psi1(t(j));
U(M+1,j)=psi2(t(j));
end
B=zeros(M-1,M-1);
for i=1:M-2
B(i,i)=
17、1-r;
B(i,i+1)=r/2;
B(i+1,i)=r/2;
end
B(M-1,M-1)=1-r;
%逐層求解，需要使用追趕法（調(diào)用函數(shù)EqtsForwardAndBackward）
for j=1:N
b1=zeros(M-1,1);
b1(1)=r*(U(1,j+1)+U(1,j))/2;
b1(M-1)=r*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2;
b=B*U(2:M,j)+b1;
U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b);
end
U=U;
%作出圖
18、形
mesh(x,t,U);
title(Crank-Nicolson隱式格式，一維熱傳導(dǎo)方程的解的圖像)
xlabel(空間變量 x)
ylabel(時(shí)間變量 t)
zlabel(一維熱傳導(dǎo)方程的解 U)
return;
Crank-Nicolson隱式格式
4、正方形區(qū)域Laplace方程Diriclet問(wèn)題的求解
需要調(diào)用Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法求解線性方程組
function [U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,t
19、ype)
%正方形區(qū)域Laplace方程的Diriclet邊值問(wèn)題的差分求解
%此程序需要調(diào)用Jacobi迭代法或者Guass-Seidel迭代法求解線性方程組
%[U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type)
%
%方程：u_xx+u_yy=0 0<=x,y<=ub
%邊值條件：u(0,y)=phi1(y)
% u(ub,y)=phi2(y)
% u(x,0)=psi1(x)
% u(x,ub)=psi2(x)
%
%輸出參數(shù)：U -解矩陣，第一行表示y=0
20、時(shí)的值，第二行表示第y=h時(shí)的值……
% x -橫坐標(biāo)
% y -縱坐標(biāo)
%輸入?yún)?shù)：ub -變量邊界值的上限
% phi1,phi2,psi1,psi2 -邊界函數(shù)，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)
% M -橫縱坐標(biāo)的等分區(qū)間數(shù)
% type -求解差分方程的迭代格式，若type=Jacobi，采用Jacobi迭代格式
% 若type=GS，采用Guass-Seidel迭代格式。默認(rèn)情況下，type=GS
%
%應(yīng)用舉例：
%ub=4;M=20;
%phi1=inline(y*(4-y));phi2=inline(0);psi1=inline(s
21、in(pi*x/4));psi2=inline(0);
%[U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,GS);
if nargin==6
type=GS;
end
%步長(zhǎng)
h=ub/M;
%橫縱坐標(biāo)
x=(0:M)*h;
y=(0:M)*h;
%差分格式的矩陣形式AU=K
%構(gòu)造矩陣A
M2=(M-1)^2;
A=zeros(M2);
for i=1:M2
A(i,i)=4;
end
for i=1:M2-1
if mod(i,M-1)~=0
22、
A(i,i+1)=-1;
A(i+1,i)=-1;
end
end
for i=1:M2-M+1
A(i,i+M-1)=-1;
A(i+M-1,i)=-1;
end
U=zeros(M+1);
%邊值條件
for i=1:M+1
U(i,1)=psi1((i-1)*h);
U(i,M+1)=psi2((i-1)*h);
U(1,i)=phi1((i-1)*h);
U(M+1,i)=phi2((i-1)*h);
end
%構(gòu)造K
K=zeros(M2,1);
for i=1:M-1
K(i)=U(i+1,
23、1);
K(M2-i+1)=U(i+1,M+1);
end
K(1)=K(1)+U(1,2);
K(M-1)=K(M-1)+U(M+1,2);
K(M2-M+2)=K(M2-M+2)+U(1,M);
K(M2)=K(M2)+U(M+1,M);
for i=2:M-2
K((M-1)*(i-1)+1)=U(1,i+1);
K((M-1)*i)=U(M+1,i+1);
end
x0=ones(M2,1);
switch type
%調(diào)用Guass-Seidel迭代法求解線性方程組AU=K
case Jacobi
X=EqtsJacob
24、i(A,K,x0);
%調(diào)用Guass-Seidel迭代法求解線性方程組AU=K
case GS
X=EqtsGS(A,K,x0);
otherwise
disp(差分格式類型輸入錯(cuò)誤)
return;
end
%把求解結(jié)果化成矩陣型式
for i=2:M
for j=2:M
U(j,i)=X(j-1+(M-1)*(i-2));
end
end
U=U;
%作出圖形
mesh(x,y,U);
title(五點(diǎn)差分格式Laplace方程Diriclet問(wèn)題的解的圖像)
xlabel(x)
ylabel(y)
25、
zlabel(Laplace方程Diriclet問(wèn)題的解 U)
return;
正方形區(qū)域Laplace方程五點(diǎn)差分格式
5、一階雙曲型方程的差分方法
function [U x t]=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type)
%一階雙曲型方程的差分格式
%[U x t]=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type)
%
%方程:u_t+C*u_x=0 0 <= t <= uT, 0 <= x <= uX
%初值條件:u(x,0)=phi(x)
26、
%
%輸出參數(shù):U -解矩陣，第一行表示初值，第二行表示第2個(gè)時(shí)間層……
% x -橫坐標(biāo)
% t -縱坐標(biāo)，時(shí)間
%輸入?yún)?shù):uX -變量x的上界
% uT -變量t的上界
% M -變量x的等分區(qū)間數(shù)
% N -變量t的等分區(qū)間數(shù)
% C -系數(shù)
% phi -初值條件函數(shù)，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)
% psi1,psi2 -邊值條件函數(shù)，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)
% type -差分格式，從下列值中選取
% -type=LaxFriedrichs，采用Lax-Friedrichs差分格式求解
% -type=C
27、ourantIsaacsonRees，采用Courant-Isaacson-Rees差分格式求解
% -type=LeapFrog，采用Leap-Frog（蛙跳）差分格式求解
% -type=LaxWendroff，采用Lax-Wendroff差分格式求解
% -type=CrankNicolson，采用Crank-Nicolson差分格式求解，此格式需調(diào)用追趕法
% 求解三對(duì)角線性方程組
%
h=uX/M;%變量x的步長(zhǎng)
k=uT/N;%變量t的步長(zhǎng)
r=k/h;%步長(zhǎng)比
x=(0:M)*h;
t=(0:N)*k;
U=ze
28、ros(M+1,N+1);
%初值條件
for i=1:M+1
U(i,1)=phi(x(i));
end
%邊值條件
for j=1:N+1
U(1,j)=psi1(t(j));
U(M+1,j)=psi2(t(j));
%U(1,j)=NaN;
%U(M+1,j)=NaN;
end
switch type
%Lax-Friedrichs差分格式
case LaxFriedrichs
if abs(C*r)>1
disp(|C*r|>1，Lax-Friedrichs差分格式不穩(wěn)定！)
end
%逐
29、層求解
for j=1:N
for i=2:M
U(i,j+1)=(U(i+1,j)+U(i-1,j))/2-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j))/2;
end
end
%Courant-Isaacson-Rees差分格式
case CourantIsaacsonRees
if C<0
disp(C<0，采用前差公式)
if C*r<-1
disp(Courant-Isaacson-Lees差分格式不穩(wěn)定！)
end
%逐層求解
30、for j=1:N
for i=2:M
U(i,j+1)=(1+C*r)*U(i,j)-C*r*U(i+1,j);
end
end
else
disp(C>0，采用后差公式)
if C*r>1
disp(Courant-Isaacson-Lees差分格式不穩(wěn)定！)
end
%逐層求解
for j=1:N
for i=2:M
U(i,j+1)=C*r*U(i-1,j)+(1-C*r)*U(i,j);
end
31、 end
end
%Leap-Frog（蛙跳）差分格式
case LeapFrog
phi2=input(請(qǐng)輸入第二層初值條件函數(shù)：psi2=);
if abs(C*r)>1
disp(|C*r|>1，Leap-Frog差分格式不穩(wěn)定！)
end
%第二層初值條件
for i=1:M+1
U(i,2)=phi2(x(i));
end
%逐層求解
for j=2:N
for i=2:M
U(i,j+1)=U(i,j-1)-C*r*(U(i+1,j)-U
32、(i-1,j));
end
end
%Lax-Wendroff差分格式
case LaxWendroff
if abs(C*r)>1
disp(|C*r|>1，Lax-Wendroff差分格式不穩(wěn)定！)
end
%逐層求解
for j=1:N
for i=2:M
U(i,j+1)=U(i,j)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j))/2+C^2*r^2*(U(i+1,j)-2*U(i,j)+U(i-1,j))/2;
end
end
%Cra
33、nk-Nicolson隱式差分格式，需調(diào)用追趕法求解三對(duì)角線性方程組的算法
case CrankNicolson
Diag=zeros(1,M-1);%矩陣的對(duì)角線元素
Low=zeros(1,M-2);%矩陣的下對(duì)角線元素
Up=zeros(1,M-2);%矩陣的上對(duì)角線元素
for i=1:M-2
Diag(i)=4;
Low(i)=-r*C;
Up(i)=r*C;
end
Diag(M-1)=4;
B=zeros(M-1,M-1);
for i=1:M-2
B(i,i
34、)=4;
B(i,i+1)=-r*C;
B(i+1,i)=r*C;
end
B(M-1,M-1)=4;
%逐層求解，需要使用追趕法（調(diào)用函數(shù)EqtsForwardAndBackward）
for j=1:N
b1=zeros(M-1,1);
b1(1)=r*C*(U(1,j+1)+U(1,j))/2;
b1(M-1)=-r*C*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2;
b=B*U(2:M,j)+b1;
U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b);
end
otherwise
disp(差分格式類型輸入有誤！)
return;
end
U=U;
%作出圖形
mesh(x,t,U);
title([type 格式求解一階雙曲型方程的解的圖像]);
xlabel(空間變量 x);
ylabel(時(shí)間變量 t);
zlabel(一階雙曲型方程的解 U);
return;
16
練題
偏微分方程數(shù)值解法的MATLAB源碼學(xué)練結(jié)合
