2018-2019學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二十七章 相似測(cè)試 （新版）新人教版.doc

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第二十七章　相似 27．1　圖形的相似 01　　基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)1　相似圖形 1．下列各組圖形相似的是(B) 2．下列各項(xiàng)中不是相似圖形的是(C) A．放大鏡里看到的三角板與原來的三角板 B．同一張底片洗出的2寸相片和1寸相片 C．哈哈鏡里看到的人像與真人像 D．課本里的中國地圖和教室墻上掛的中國地圖 知識(shí)點(diǎn)2　成比例線段 3．下列各組線段成比例的是(D) A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cm B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm 4．已知線段a，b，c，d成比例，且＝，其中a＝8 cm，b＝4 cm，c＝12 cm，則d＝6cm. 5．在比例尺為1∶200 000的地圖上，測(cè)得A，B兩地間的圖上距離為4.5 cm，則A，B兩地間的實(shí)際距離為9__000m. 知識(shí)點(diǎn)3　相似多邊形 6．兩個(gè)相似多邊形一組對(duì)應(yīng)邊分別為3 cm，4.5 cm，那么它們的相似比為(A) A. B. C. D. 7．(xx重慶A卷)要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)三角形的三邊長分別為5 cm，6 cm和9 cm，另一個(gè)三角形的最短邊長為2.5 cm，則它的最長邊為(C) A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm 　 D．5 cm 8．下列四組圖形中，一定相似的是(D) A．正方形與矩形 B．正方形與菱形 C．菱形與菱形 D．正五邊形與正五邊形 9．如圖是兩個(gè)相似四邊形，已知數(shù)據(jù)如圖所示，則x＝，α＝80． 10．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，A′，B′，C′，D′分別是OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)，判斷四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′是否相似，并說明理由． 解：四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似． 理由：∵A′，B′分別是OA，OB的中點(diǎn)， ∴A′B′∥AB，A′B′＝AB. ∴∠OA′B′＝∠OAB，＝. 同理，∠OA′D′＝∠OAD，＝. ∴∠B′A′D′＝∠BAD，＝. 同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，∠C′B′A′＝∠CBA， ＝＝＝， ∴四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似． 易錯(cuò)點(diǎn)　沒有分情況討論導(dǎo)致漏解 11．已知三條線段的長分別為1 cm、2 cm、 cm，如果另外一條線段與它們是成比例線段，那么另外一條線段的長為__cm，2__cm或__cm. 02　　中檔題 12．用一個(gè)10倍的放大鏡看一個(gè)15的角，看到的角的度數(shù)為(C) A．150 B．105 C．15 D．無法確定大小 13．已知四條線段的長度分別為2，x－1，x＋1，4，且它們是成比例線段，則x的值為(B) A．2 B．3 C．－3 D．3或－3 14．如圖，正五邊形FGHMN與正五邊形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，則下列結(jié)論正確的是(B) A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 15．(教材P28習(xí)題T5變式)如圖，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AD＝1.5，AB＝4.5，AE＝1.8，AC＝5.4. (1)求，，的值； (2)求證：△ADE與△ABC相似. 解：(1)＝＝， ＝＝， ＝＝. (2)證明：∵DE∥BC, ∴∠D＝∠B，∠E＝∠C. 又∵∠DAE＝∠BAC，＝＝， ∴△ADE與△ABC相似． 16．如圖，G是正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).求證：四邊形AFGE與四邊形ABCD相似． 證明：∵四邊形ABCD是正方形，AC是對(duì)角線， ∴∠DAC＝∠BAC＝45. 又∵GE⊥AD，GF⊥AB， ∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG. ∴AE＝EG＝FG＝AF. 又∵∠EAF＝90， ∴四邊形AFGE為正方形． ∴＝＝＝，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC. ∴四邊形AFGE與四邊形ABCD相似． 03　　綜合題 17．(教材P28習(xí)題T8變式)如圖，把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN，矩形DMNC與矩形ABCD相似，已知AB＝4. (1)求AD的長； (2)求矩形DMNC與矩形ABCD的相似比． 解：(1)若設(shè)AD＝x(x＞0)，則DM＝. ∵矩形DMNC與矩形ABCD相似， ∴＝， 即＝.解得x＝4(舍負(fù))． ∴AD的長為4. (2)矩形DMNC與矩形ABCD的相似比為 ＝＝. 27．2　相似三角形 27．2.1　相似三角形的判定 第1課時(shí)　平行線分線段成比例 01　　基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)1　相似三角形的有關(guān)概念 1．如圖所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A) A.＝＝ B.＝ C.＝＝ D.＝ 2．已知△ABC和△A′B′C′相似，且△ABC與△A′B′C′的相似比為R1，△A′B′C′與△ABC的相似比為R2，則R1與R2的關(guān)系是(D) A．R1＝R2 B．R1R2＝－1 C．R1＋R2＝0 D．R1R2＝1 知識(shí)點(diǎn)2　平行線分線段成比例定理及推論 3．如圖，AB∥CD∥EF，則下列結(jié)論不正確的是(C) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 4．(教材P31練習(xí)T2變式)如圖，在△ABC中，DE∥BC.若＝，則＝(C) A. B. C. D. 5．(xx臨沂)如圖，已知AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)O.若＝，AD＝10，則AO＝4． 6．(xx嘉興)如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C；直線DF交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn).已知＝，則＝2． 7．如圖，EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值． 解：∵EG∥BC，∴＝. ∵GF∥CD，∴＝. ∴＝，即＝. ∴FD＝4. ∴AD＝AF＋FD＝10. 知識(shí)點(diǎn)3　相似三角形判定的預(yù)備定理 8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC.若BD＝2AD，則(B) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 9．(xx自貢)如圖，在△ABC中，MN∥BC 分別交AB，AC于點(diǎn)M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，則MN的長為1. 10．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，EF∥BC，分別交AB，AC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，圖中共有幾對(duì)相似三角形？分別是哪幾對(duì)？ 解：共有3對(duì)相似三角形，分別是： △AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC. 易錯(cuò)點(diǎn)　圖形的不唯一導(dǎo)致漏解 11．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，點(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn)，且AP＝2，過點(diǎn)P作BC邊的平行線，交直線AC于點(diǎn)M，則MC的長為6或12． 02　　中檔題 12．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝12，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AD上，且DE＝2AE，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F，則線段AF長為(C) A．4 B．3 C．2.4 D．2 13．如圖，練習(xí)本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫格線上．若線段AB＝4 cm，則線段BC＝12cm. 14．小明正在攀登一個(gè)如圖所示的攀登架，DE和BC是兩根互相平行的固定架，DE＝10米，BC＝18米，小明從底部固定點(diǎn)B開始攀登，攀行8米，遇上第二個(gè)固定點(diǎn)D，小明再攀行多少米可到達(dá)這個(gè)攀登架的頂部A? 解：∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE. ∴＝， 即＝.∴AD＝10. 答：小明再攀行10米可到達(dá)這個(gè)攀登架的頂部A. 15．如圖，已知：AB＝AD，AC＝AE，F(xiàn)G∥DE.求證：△ABC∽△AFG. 證明：∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC≌△ADE. ∴BC＝DE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED. ∵FG∥DE， ∴△AFG∽△ADE. ∴＝＝. ∴＝＝. 又∵∠C＝∠AED＝∠G， ∠B＝∠ADE＝∠F， ∠BAC＝∠FAG， ∴△ABC∽△AFG. 03　　綜合題 16．如圖，AD∥EG∥BC，EG分別交AB，DB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，F(xiàn)G的長． 解：∵在△ABC中，EG∥BC， ∴△AEG∽△ABC. ∴＝， 即＝.∴EG＝6. ∵在△BAD中，EF∥AD， ∴△BEF∽△BAD.∴＝， 即＝.∴EF＝. ∴FG＝EG－EF＝. 第2課時(shí)　相似三角形的判定定理1，2 01　　基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)1　三邊成比例的兩個(gè)三角形相似 1．有甲、乙兩個(gè)三角形木框，甲三角形木框的三邊長分別為1，，，乙三角形木框的三邊長分別為5，，，則甲、乙兩個(gè)三角形(A) A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．無法判斷 2．(教材P34練習(xí)T3變式)已知△ABC的三邊長分別為6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一邊長為4 cm，當(dāng)△DEF的另兩邊長是下列哪一組數(shù)據(jù)時(shí)，這兩個(gè)三角形相似(C) A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm 3．下列四個(gè)三角形中，與圖甲中的三角形相似的是(B) 4．如圖，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，試判斷這兩個(gè)三角形是否相似，并說明理由． 解：相似． 理由：∵＝＝，＝＝， ＝＝， ∴＝＝. ∴△ABC∽△ADE. 知識(shí)點(diǎn)2　兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似 5．如圖，已知△ABC，則下列4個(gè)三角形中，與△ABC相似的是(C) 　 6．如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足下列條件中的(C) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 7．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，則當(dāng)A′B′＝3時(shí)，△ABC∽△A′B′C′. 8．如圖，已知ABAD＝ACAE，∠B＝30，則∠E＝30． 9．如圖，已知在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：△ADQ∽△QCP. 證明：設(shè)正方形的邊長為4a，則AD＝CD＝BC＝4a. ∵Q是CD的中點(diǎn)，BP＝3PC， ∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a. ∴＝＝. 又∵∠D＝∠C＝90， ∴△ADQ∽△QCP. 易錯(cuò)點(diǎn)　對(duì)應(yīng)邊沒有確定時(shí)容易漏解 10. (xx隨州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝2，點(diǎn)E在邊AC上，當(dāng)AE＝或時(shí)，以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似． 02　　中檔題 11．如圖，在正方形網(wǎng)格上，若使△ABC∽△PBD，則點(diǎn)P應(yīng)在________處(C) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 12．如圖，在等邊△ABC中，D，E分別在AC，AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，則有(B) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 13．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，∠AED＝∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點(diǎn)F，G，且＝. (1)求證：△ADF∽△ACG； (2)若＝，求的值． 解：(1)證明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC， ∴∠ADF＝∠C. 又∵＝， ∴△ADF∽△ACG. (2)∵△ADF∽△ACG. ∴＝＝. ∴＝1. 14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6 cm，BC＝8 cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0＜t＜2)，連接PQ.若以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求t的值． 解：由題意，得BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm. ①∵∠PBQ＝∠ABC， ∴若△BPQ∽△BAC，則還需＝， 即＝.解得t＝1. ②∵∠PBQ＝∠CBA， ∴若△BPQ∽△BCA，則還需＝， 即＝.解得t＝. 綜上所述，當(dāng)t＝1或時(shí)，以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似． 03　　綜合題 15．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC邊上截取AD＝BC，連接BD. (1)通過計(jì)算，判斷AD2與ACCD 的大小關(guān)系； (2)求∠ABD 的度數(shù)． 解：(1)∵AD＝BC＝， ∴AD2＝()2＝. ∵AC＝1， ∴CD＝1－＝. ∴AD2＝ACCD. (2)∵AD2＝ACCD， ∴BC2＝ACCD，即＝. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴＝. 又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD. ∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC. 設(shè)∠A＝∠ABD＝x，則∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x. ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x. ∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180. 解得x＝36. ∴∠ABD＝36. 第3課時(shí)　相似三角形的判定定理3 01　　基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)1　兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似 1．有一個(gè)角為30的兩個(gè)直角三角形一定(B) A．全等 B．相似 C．既全等又相似 D．無法確定 2．(教材P36練習(xí)T2變式)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于點(diǎn)D，則下列說法中錯(cuò)誤的是(C) A．△ACD∽△CBD B．△ACD∽△ABC C．△BCD∽△ABC D．△BCD∽△BAC 3．(xx永州)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，則邊AC的長為(B) A．2 B．4 C．6 D．8 4．(xx邵陽)如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，連接AE，交CD于點(diǎn)F，連接BF.寫出圖中任意一對(duì)相似三角形：答案不唯一．如：△EFC∽△AFD，△EAB∽△AFD，△EFC∽△EAB． 5．已知在△ABC中，∠A＝40，∠B＝75，下圖各三角形中與△ABC相似的是△EFD，△HGK. 6．如圖，點(diǎn)D，E在BC上，且FD∥AB，F(xiàn)E∥AC.求證：△ABC∽△FDE. 證明：∵FD∥AB，F(xiàn)E∥AC， ∴∠B＝∠FDE，∠C＝∠FED. ∴△ABC∽△FDE. 7．甲、乙兩位同學(xué)同解一道題目：“如圖，F(xiàn)， G是直線AB上的兩點(diǎn)，D是AC上的一點(diǎn)，且DF∥CB，∠E＝∠C，請(qǐng)寫出與△ABC相似的三角形，并加以證明”． 甲同學(xué)的解答得到了老師的好評(píng)． 乙同學(xué)的解答是這樣的：“與△ABC相似的三角形只有△AFD，證明如下： ∵DF∥CB， ∴△AFD∽△ABC.” 乙同學(xué)的解答正確嗎？若不正確，請(qǐng)你改正． 解：乙同學(xué)的解答不正確． 與△ABC相似的三角形還有△GFE，應(yīng)該補(bǔ)上．證明如下： ∵DF∥BC， ∴∠GFE＝∠ABC. 又∵∠E＝∠C， ∴△GFE∽△ABC. 知識(shí)點(diǎn)2　斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似 8．在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90，添加下列條件不能判定兩個(gè)三角形相似的是(D) A．∠B＝∠B1 B.＝ C.＝ D.＝ 9．一個(gè)直角三角形的一條直角邊長和斜邊長分別為8 cm和15 cm，另一個(gè)直角三角形的一條直角邊長和斜邊長分別為6 cm和 cm，這兩個(gè)直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形． 10．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，則當(dāng)A′B′＝10時(shí)，△ABC∽△A′B′C′. 易錯(cuò)點(diǎn)　斜邊和直角邊比例不唯一導(dǎo)致漏解 11．如圖，已知∠ACB＝∠ABD＝90，AB＝，AC＝2，則AD的長為3或3時(shí)，圖中兩直角三角形相似． 02　　中檔題 12．如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是(D) A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C.＝ D.＝ 13．如圖，在△ABC中，AE交BC于點(diǎn)D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，則DC的長等于(A) A. B. C. D. 14．下列命題：①所有的等腰三角形都相似；②有一個(gè)角是50的兩個(gè)等腰三角形相似；③有一個(gè)角是60的兩個(gè)等腰三角形相似；④有一個(gè)角是110的兩個(gè)等腰三角形相似；⑤所有的等腰直角三角形都相似．其中真命題是③④⑤(填序號(hào))． 15．(xx齊齊哈爾)經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的線段把三角形分成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)是等腰三角形，另外一個(gè)三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”．如圖，線段CD是△ABC的“和諧分割線”，△ACD為等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46，則∠ACB的度數(shù)為113或92． 16．如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60，求AE的長． 解：∵△ABC是邊長為9的等邊三角形， ∴∠B＝∠C＝60，AB＝BC＝AC＝9. ∴∠BAD＋∠ADB＝120. ∵∠ADE＝60， ∴∠CDE＋∠ADB＝120. ∴∠BAD＝∠CDE. 又∵∠B＝∠C， ∴△ABD∽△DCE. ∴＝，即＝.∴CE＝2. ∴AE＝9－2＝7. 03　　綜合題 17．如圖，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，DP交AC于點(diǎn)Q. (1)求證：△APQ∽△CDQ； (2)P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿AB邊以每秒1個(gè)單位長度的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t為何值時(shí)，DP⊥AC? 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∴∠APQ＝∠CDQ. 又∵∠AQP＝∠CQD， ∴△APQ∽△CDQ. (2)當(dāng)t＝5時(shí)，DP⊥AC. 理由：∵t＝5，∴AP＝5. ∴＝. 又∵＝， ∴＝. 又∵∠PAD＝∠ADC＝90， ∴△PAD∽△ADC. ∴∠ADP＝∠DCA. ∵∠ADP＋∠CDP＝∠ADC＝90， ∴∠DCA＋∠CDP＝90. ∴∠DQC＝90，即DP⊥AC. 小專題(四)　相似三角形的基本模型 模型1　X字型及其變形 (1)如圖1，對(duì)頂角的對(duì)邊平行，則△ABO∽△DCO； (2)如圖2，對(duì)頂角的對(duì)邊不平行，且∠OAB＝∠OCD，則△ABO∽△CDO. 1．(xx恩施)如圖所示，在正方形ABCD中，G為CD邊中點(diǎn)，連接AG并延長交BC邊的延長線于點(diǎn)E，對(duì)角線BD交AG于點(diǎn)F，已知FG＝2，則線段AE的長度為(D) A．6 B．8 C．10 D．12 2．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是． 3．如圖，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的長． 解：∵∠ADE＝∠ACB， ∴180－∠ADE＝180－∠ACB， 即∠BDF＝∠ECF. 又∵∠BFD＝∠EFC， ∴△BDF∽△ECF. ∴＝，即＝. ∴DF＝4. 模型2　A字型及其變形 (1)如圖1，公共角的對(duì)邊平行，則△ADE∽△ABC； (2)如圖2，公共角的對(duì)邊不平行，且有另一對(duì)角相等，則△ADE∽△ABC； (3)如圖3，公共角的對(duì)邊不平行，兩個(gè)三角形有一條公共邊，且有另一對(duì)角相等，則△ACD∽△ABC.常見的結(jié)論有：AC2＝ADAB. ) 4．如圖，在△ABC中，AD是中線，BC＝8，∠B＝∠DAC，則線段AC的長為(B) A．4 B．4 C．6 D．4 5．如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點(diǎn)G，AF⊥DE于點(diǎn)F，∠EAF＝∠GAC.求證：△ADE∽△ABC. 證明：∵AF⊥DE，AG⊥BC， ∴∠AFE＝∠AGC＝90， ∵∠EAF＝∠GAC， ∴∠AEF＝∠ACG. 又∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC. 6．如圖，AD與BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BD上，且AB∥EF∥CD，求證：＋＝. 證明：∵AB∥EF， ∴△DEF∽△DAB. ∴＝. 又∵EF∥CD， ∴△BEF∽△BCD. ∴＝. ∴＋＝＋＝＝1. ∴＋＝. 模型3　雙垂型 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結(jié)論有：CA2＝ADAB，BC2＝BDBA，CD2＝DADB. 7．如圖，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D為垂足，且AD＝3，AC＝3，則斜邊AB的長為(B) A．3 B．15 C．9 D．3＋3 8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，CD是斜邊AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC＝3． 模型4　一線三等角型 (1)如圖1，Rt△ABD與Rt△BCE的斜邊互相垂直，則有△ABD∽△CEB； (2)如圖2，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，∠B＝∠ACD＝∠E，則△ABC∽△CED.特殊地，連接AD，當(dāng)點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)時(shí)，△ABC∽△CED∽△ACD. 　　 　 圖1　 　 　 　　　　　　　圖2 9．(xx江西)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90.求證：△EBF∽△FCG. 證明：∵四邊形ABCD為正方形， ∴∠B＝∠C＝90. ∴∠BEF＋∠BFE＝90. ∵∠EFG＝90， ∴∠BFE＋∠CFG＝90. ∴∠BEF＝∠CFG. ∴△EBF∽△FCG. 10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合)，滿足∠DEF＝∠B，且點(diǎn)D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上． (1)求證：△BDE∽△CEF； (2)當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：FE平分∠DFC. 證明：(1)∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵∠BDE＝180－∠B－∠DEB，∠CEF＝180－∠DEF－∠DEB，且∠DEF＝∠B， ∴∠BDE＝∠CEF. ∴△BDE∽△CEF. (2)∵△BDE∽△CEF，∴＝. ∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE.∴＝. ∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF. ∴∠DFE＝∠CFE，即FE平分∠DFC. 11．如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且∠BEF＝90. (1)求證：△ABE∽△DEF； (2)若AB＝4，延長EF交BC的延長線于點(diǎn)G，求BG的長． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形， ∴∠A＝∠D＝90. ∴∠ABE＋∠AEB＝90. ∵∠BEF＝90，∴∠AEB＋∠DEF＝90. ∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF. (2)∵AB＝AD＝4，E為AD的中點(diǎn)， ∴AE＝DE＝2. 由(1)知，△ABE∽△DEF， ∴＝，即＝. ∴DF＝1.∴CF＝3. ∵ED∥CG， ∴△EDF∽△GCF. ∴＝，即＝. ∴GC＝6. ∴BG＝BC＋GC＝10. 周測(cè)(27.1～27.2.1) (時(shí)間：45分鐘　滿分：100分) 一、選擇題(每小題4分，共32分) 1．如圖，已知直線a∥b∥c，直線m交直線a，b，c于點(diǎn)A，B，C，直線n交直線a，b，c于點(diǎn)D，E，F(xiàn).若＝，則＝(B) A. B. C. D．1 2．下列兩個(gè)圖形一定相似的是(D) A．任意兩個(gè)等腰三角形 　　　　　B．任意兩個(gè)矩形 C．任意兩個(gè)菱形 　　　　　 D．任意兩個(gè)等邊三角形 3．如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，連接AF交DE于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中一定正確的是(C) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 4．如圖，在?ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，則AB的長為(C) A. B．8 C．10 D．16 5．在三角形紙片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虛線剪下，能使陰影部分的三角形與△ABC相似的是(D) 　A　　　　　B　　　　　C　　　　　D 6．如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，下列條件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝ADAB；③AB邊上與點(diǎn)C距離相等的點(diǎn)D有兩個(gè)；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有(B) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 7．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步驟作圖： 第一步，分別以點(diǎn)A，D為圓心，以大于AD的長為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)M，N； 第二步，連接MN分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)； 第三步，連接DE，DF. 若BD＝6，AF＝4，CD＝3，則BE的長是(D) A．2 B．4 C．6 D．8 8．在研究相似問題時(shí)，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下： 甲：將邊長為3，4，5的三角形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1，則新三角形與原三角形相似． 乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似． 對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是(A) 　　　 圖1　　　　　　　　　　　圖2 A．兩人都對(duì) B．兩人都不對(duì) C．甲對(duì)，乙不對(duì) D．甲不對(duì)，乙對(duì) 二、填空題(每小題4分，共24分) 9．在比例尺為1∶10 000 000的地圖上，量得甲、乙兩個(gè)城市之間的距離是8 cm，那么甲、乙兩個(gè)城市之間的實(shí)際距離應(yīng)為800__km. 10．如圖，x＝2． 11．如圖，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是AB∥DE(答案不唯一)．(只需寫一個(gè)條件，不添加輔助線和字母) 12．如圖，點(diǎn)O是△ABC中任意一點(diǎn)，且AD＝OD，BE＝BO，CF＝CO，則△ABC∽△DEF，其相似比為3∶2． 13．如圖，在△ABC中，AB＝6，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)M在DE上，且ME＝DM.則當(dāng)AM⊥BM時(shí)，BC的長為8． 14．如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點(diǎn)O，AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，連接CD，OD，給出以下四個(gè)結(jié)論： ①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CEAB. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是①④． 三、解答題(共44分) 15．(10分)如圖，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.求： (1)的值； (2)BC的長． 解：(1)∵AD＝4，DB＝8， ∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12. ∴＝＝. (2)∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴＝. 又∵DE＝3， ∴＝. ∴BC＝9. 16．(10分)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，∠DBC＝∠A. (1)求證：△BDC∽△ABC； (2)如果BC＝，AC＝3，求CD的長． 解：(1)證明： ∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C， ∴△BDC∽△ABC. (2)∵△BDC∽△ABC， ∴＝， 即＝. ∴CD＝2. 17．(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝12 cm，OB＝6 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA邊向點(diǎn)A以1 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BO邊向點(diǎn)O以1 cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，用t(單位：s)表示移動(dòng)的時(shí)間(0≤t≤6)，那么當(dāng)t為何值時(shí)，△POQ與△AOB相似？ 解：①∵∠POQ＝∠BOA，若△POQ∽△BOA， 則＝，即＝.解得t＝2. ②∵∠POQ＝∠AOB，若△POQ∽△AOB， 則＝，即＝.解得t＝4. 綜上所述，當(dāng)t＝2或4 s時(shí)，△POQ與△AOB相似． 18．(12分)如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90，點(diǎn)O是AC邊上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)D，連接OD. (1)求證：△ADO∽△ACB； (2)若⊙O的半徑為1，求證：AC＝ADBC. 證明：(1)∵AB是 ⊙O的切線， ∴OD⊥AB. ∴∠ADO＝90. ∵∠ACB＝90， ∴∠ACB＝∠ADO. 又∵∠A＝∠A， ∴△ADO∽△ACB. (2)由(1)，知△ADO∽△ACB， ∴＝. ∴ADBC＝ACOD. 又∵OD＝1， ∴AC＝ADBC. 27．2.2　相似三角形的性質(zhì) 01　　基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)1　相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比 1．已知△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為4∶1，則△ABC與△DEF對(duì)應(yīng)邊上的高之比為4∶1 . 2．如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為3∶4，AD，A′D′分別是邊BC，B′C′上的中線，則AD∶A′D′＝3∶4． 3．若兩個(gè)三角形相似，相似比為8∶9，則它們對(duì)應(yīng)角平分線之比是8∶9，若其中較小三角形的一條角平分線的長為6 cm，則另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角平分線長為__cm． 4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB邊上的中線，C′D′是A′B′邊上的中線，CD＝4 cm，C′D′＝10 cm，AE是△ABC的一條高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中對(duì)應(yīng)高線A′E′的長． 解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB邊上的中線，C′D′是A′B′邊上的中線，且AE，A′E′是對(duì)應(yīng)的高線， ∴＝， 即＝. ∴A′E′＝12 cm. 知識(shí)點(diǎn)2　相似三角形周長的比等于相似比 5．如圖，AB∥CD，＝，則△AOB的周長與△DOC的周長的比是(D) A. B. C. D. 6．如果兩個(gè)相似三角形的一組對(duì)應(yīng)邊分別為3 cm和5 cm，且較小三角形的周長為15 cm，那么較大三角形的周長為25cm. 7．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周長分別為20 cm和25 cm，且BC＝5 cm，DF＝4 cm，求EF和AC的長． 解：∵相似三角形周長的比等于相似比， ∴＝. ∴EF＝BC＝5＝(cm)． 同理，＝. ∴AC＝DF＝4＝(cm)． ∴EF的長是 cm，AC的長是 cm. 知識(shí)點(diǎn)3　相似三角形面積的比等于相似比的平方 8．(xx內(nèi)江)已知△ABC與△A1B1C1相似，且相似比為1∶3，則△ABC與△A1B1C1的面積比為(D) A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9 9．(xx自貢)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．若△ADE的面積為4，則△ABC的面積為(D) A．8 B．12 C．14 D．16 10．(xx荊門)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)為CD邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)，連接AF，BE交于點(diǎn)G，則S△EFG∶S△ABG＝(C) A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1 02　　中檔題 11．如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，則下列結(jié)論中正確的是(C) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 12．(教材P43習(xí)題T12變式)(xx隨州)如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成面積相等的兩部分，則的值為(C) A．1 B. C.－1 D.＋1 13．如圖，直線l1，l2，…，l6是一組等距離的平行線，過直線l1上的點(diǎn)A作兩條射線，分別與直線l3，l6相交于點(diǎn)B，E和C，F(xiàn).若BC＝2，則EF的長是5． 14．在?ABCD中，M，N是AD邊上的三等分點(diǎn)，連接BD，MC相交于O點(diǎn)，則S△MOD∶S△COB＝或． 15．如圖，D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面積為15，求△ACD的面積． 解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C， ∴△ACD∽△BCA. ∴＝()2＝()2＝. ∴＝. ∵△ABD的面積為15， ∴S△ACD＝5. 16．兩個(gè)相似三角形的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊的長分別是35 cm和14 cm，它們的周長相差60 cm，求這兩個(gè)三角形的周長． 解：∵兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比是35∶14＝5∶2，周長的比等于相似比， ∴可以設(shè)一個(gè)三角形的周長是5x，則另一個(gè)三角形的周長是2x. ∵周長相差60 cm，∴5x－2x＝60，解得x＝20. ∴這兩個(gè)三角形的周長分別為100 cm，40 cm. 17．如圖，在△ABC中，BC>AC，點(diǎn)D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分線CF交AD于F，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接EF. (1)求證：EF∥BC； (2)若四邊形BDFE的面積為6，求△ABD的面積． 解：(1)證明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB， ∴AF＝DF. 又∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)， ∴EF是△ABD的中位線． ∴EF∥BD，即EF∥BC. (2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD. ∴＝()2. 又∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴＝. ∴＝.∴S△AEF＝S△ABD. ∴S△ABD－6＝S△ABD.∴S△ABD＝8. 03　　綜合題 18．(xx內(nèi)江)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分線，且CM⊥AB，M為垂足，AM＝AB.若四邊形ABCD的面積為，則四邊形AMCD的面積是1． 小專題(五)　三角形內(nèi)接特殊四邊形問題 ——教材P58T11的變式與應(yīng)用 教材母題：如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC＝120 mm，高AD＝80 mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，這個(gè)正方形零件的邊長是多少？ 【母題分析】　(1)從總體上講本題考查的是相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比． (2)解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)：由EF∥GH，得到△AEF∽△ABC. (3)考查形式：正方形內(nèi)接于三角形，解決正方形的邊長與三角形邊長之間的關(guān)系． 解：設(shè)正方形的邊長為x mm，則EF＝x mm， ∵AD⊥BC，AD＝80 mm， ∴AK＝(80－x)mm. ∵正方形EFHG內(nèi)接于△ABC，∴EF∥GH. ∴△AEF∽△ABC.∴＝， 即＝.解得x＝48. ∴這個(gè)正方形零件的邊長是48 mm. 解決本題的關(guān)鍵： (1)“內(nèi)接”，所謂內(nèi)接就是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形的邊上，正因如此，故：①正方形的一邊與三角形的一邊平行，從而得到三角形相似；②大三角形的高等于正方形的邊長與小三角形的高之和． (2)方程思想：利用相似三角形的性質(zhì)——“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”這個(gè)等量關(guān)系，將已知邊和未知邊放在一個(gè)方程中． 1．如圖，矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)G在邊AC上，△ADG的面積是40，△ABC的面積是90，AM⊥BC于點(diǎn)M，交DG于點(diǎn)N，則AN∶AM＝2∶3． 2．(xx岳陽)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“今有直角三角形，勾(短直角邊)長為5步，股(長直角邊)長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步？”該問題的答案是步． 3．如圖，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且邊FG落在BC上，AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，那么EH的長為． 4．如圖，已知銳角三角形ABC中，邊BC長為12，高AD長為8.矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，EF交AD于點(diǎn)K. (1)求的值； (2)設(shè)EH＝x，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值． 解：(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∵AK，AD分別是△AEF，△ABC的高， ∴＝. ∴＝＝. (2)∵EH⊥BC，AD⊥BC，∴EH∥AD. ∴△BEH∽△BAD.∴＝①. ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC. ∴＝②. ①＋②，得＋＝1. ∵EH＝x，AD＝8，BC＝12， ∴EF＝12－x. ∴S＝EHEF＝－x2＋12x＝－(x－4)2＋24. ∵0＜x＜8， ∴當(dāng)x＝4時(shí)，S有最大值，最大值為24. 小專題(六)　相似三角形的性質(zhì)與判定 類型1　利用相似三角形求線段長 1．(xx北京)如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F.若AB＝4，AD＝3，則CF的長為． 2．如圖，已知菱形BEDF內(nèi)接于△ABC，點(diǎn)E，D，F(xiàn)分別在AB，AC和BC上．若AB＝15 cm，BC＝12 cm，則菱形的邊長為cm. 3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，且∠ADE＝∠B.如果DE∶AD＝2∶5，BD＝3，那么AC＝. 4．(xx深圳)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90，點(diǎn)P在AC上，PM交AB于點(diǎn)E，PN交BC于點(diǎn)F，當(dāng)PE＝2PF時(shí)，AP＝3. 5．(xx江西)如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分線，BD交AC于點(diǎn)E，求AE的長． 解：∵BD為∠ABC的平分線， ∴∠ABD＝∠DBC. 又∵AB∥CD， ∴∠D＝∠ABD. ∴∠DBC＝∠D.∴BC＝CD＝4. ∵∠AEB＝∠CED， ∴△AEB∽△CED. ∴＝. ∴＝＝2. ∴AE＝2EC，即EC＝AE. ∵AC＝AE＋EC＝6， ∴AE＋AE＝6，即AE＝4. 類型2　利用相似三角形求角度 6．如圖，A，B，C，P四點(diǎn)均在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則∠BAC的度數(shù)是135. 7．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，D為CB延長線上一點(diǎn)，E為BC延長線上一點(diǎn)，且AB2＝BDCE.若∠BAC＝40，則∠DAE＝110. 類型3　利用相似三角形求比值 8．如圖，AB∥DC，AC與BD交于點(diǎn)E，EF∥DC交BC于點(diǎn)F，CE＝5，CF＝4，AE＝BC，則等于(B) A. B. C. D. 9．如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE，CD相交于點(diǎn)O.若S△DOE∶S△COA＝1∶25，則S△BDE與S△CDE的比是(B) A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶25 10．(xx達(dá)州)如圖，E，F(xiàn)是?ABCD對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AE＝CF＝AC.連接DE，DF并延長，分別交AB，BC于點(diǎn)G，H，連接GH，則的值為(C) A. B. C. D．1 11．(xx桂林)如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作EA⊥CA交DB的延長線于點(diǎn)E.若AB＝3，BC＝4，則的值為. 類型4　利用相似三角形證明等積式與比例式 12．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BD＝2AD，CE＝2AE.求證： (1)△ADE∽△ABC； (2)DFBF＝EFCF. 證明：(1)∵BD＝2AD，CE＝2AE， ∴AB＝3AD，AC＝3AE. ∴＝＝. ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. (2)∵＝＝， ∴DE∥BC. ∴△DEF∽△CBF. ∴＝. ∴DFBF＝EFCF. 13．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，ED，CB的延長線交于點(diǎn)F.求證：＝. 證明：∵∠ACB＝90，CD⊥AB， ∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90. ∴∠A＝∠BCD. ∴△ABC∽△CBD. ∴＝，即＝. 又∵E為AC中點(diǎn)， ∴AE＝CE＝ED. ∴∠A＝∠EDA. ∵∠EDA＝∠BDF， ∴∠FCD＝∠BDF. 又∵∠F為公共角， ∴△FDB∽△FCD. ∴＝. ∴＝. 類型5　利用相似求點(diǎn)的坐標(biāo) 14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－4，0)，B(0，2)，連接AB并延長到C，連接CO.若△COB∽△CAO，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(B) A．(1，) B．(，) C．(，2) D．(，2) 　　 15．如圖，已知直線y＝－x＋2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一點(diǎn)C，使B，O，C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△AOB相似，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－4，0)或(－1，0)或(1，0)． 小專題(七)　圓與相似 1．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，交BC邊于點(diǎn)E，AD＝5，BD＝2，則DE的長為(D) A. B. C. D. 2．如圖，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圓，D是上一點(diǎn)，BD交AC于點(diǎn)E.若BC＝4，AD＝，則AE的長是(C) A．3 B．2 C．1 D．1.2 3．(xx巴中)如圖所示，⊙O的兩弦AB，CD交于點(diǎn)P，連接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，則AC∶BD＝4∶3． 4．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，作PD∥AB，交CA的延長線于點(diǎn)P，連接AD，BD.求證： (1)PD是⊙O的切線； (2)△PAD∽△DBC. 證明：(1)連接OD. ∵∠DCA＝∠DCB， ∴＝.∴OD⊥AB. ∵AB∥PD，∴OD⊥PD. ∵點(diǎn)D在⊙O上，OD為⊙O的半徑， ∴PD是⊙O的切線． (2)∵∠PAD＋∠CAD＝180，∠DBC＋∠CAD＝180， ∴∠PAD＝∠DBC. 由(1)可得：∠PDA＝∠BCD＝45， ∴△PAD∽△DBC. 5．如圖，以△ABC的邊AC為直徑的⊙O交AB邊于點(diǎn)M，交BC邊于點(diǎn)N，連接AN，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)P，∠BCP＝∠BAN.求證： (1)△ABC為等腰三角形； (2)AMCP＝ANCB. 證明：(1)∵AC為⊙O的直徑， ∴∠ANC＝90. ∵PC是⊙O的切線， ∴∠BCP＝∠CAN. ∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN. 又∵AN⊥BC， ∴AB＝AC.∴△ABC為等腰三角形． (2)連接MN∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180， ∴∠PBC＝∠AMN. 由(1)知∠BCP＝∠BAN， ∴△BPC∽△MNA. ∴＝，即AMCP＝ANCB. 6．(xx聊城)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，作ED⊥EB交AB于點(diǎn)D，⊙O是△BED的外接圓． (1)求證：AC是⊙O的切線； (2)已知⊙O的半徑為2.5，BE＝4，求BC，AD的長． 解：(1)證明：連接OE， ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB. ∵BE平分∠ABC，∠OBE＝∠EBC.∴∠OEB＝∠EBC.∴OE∥BC.