2019年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第1章 三角形的證明 1 等腰三角形教案 （新版）北師大版.doc

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1　等腰三角形 第1課時(shí)　三角形的全等和等腰三角形的性質(zhì) 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1．了解作為證明基礎(chǔ)的8條公理的內(nèi)容． 2．使學(xué)生經(jīng)歷“探索—— 發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程，學(xué)會(huì)用綜合法證明等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)定理． 3．讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析幾何證明題的思路，并掌握證明的基本步驟和書寫格式． 4．經(jīng)歷作輔助線的證明過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推理意識(shí)，培養(yǎng)主動(dòng)探究的習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系． 二、重難點(diǎn)目標(biāo) 【教學(xué)重點(diǎn)】 等腰三角形的性質(zhì)及推論． 【教學(xué)難點(diǎn)】 運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及推論解決相關(guān)問題及證明的書寫格式． 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P2～P3的內(nèi)容，完成下面練習(xí)． 【3 min反饋】 1．兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等． 2．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等． 3．等腰三角形的兩底角相等，簡(jiǎn)述為：等邊對(duì)等角． 4．等腰三角形“三線合一”：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合． 5．如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是(　B　) A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BAD＝∠CAD 6．如圖，△ABC≌△CDA，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　D　) A．∠1＝∠2　 B．AC＝CA C．∠D＝∠B　 D．AC＝BC 環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題 活動(dòng)1　小組討論(師生互學(xué)) 【例1】如圖，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80，則∠BCD＝(　　) A．80　 B．100　　 C．140　 D．160 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)由邊相等可以得到什么？這與∠BCD有什么關(guān)系？ 【分析】∵∠BAD＝80，∴∠B＋∠BCD＋∠D＝360－∠BAD＝280.又∵AB＝AC＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝2802＝140. 【答案】C 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))求角的度數(shù)時(shí)，需根據(jù)實(shí)際情況分析：(1)在等腰三角形中，要考慮三角形內(nèi)角和定理；(2)有平行線時(shí)，要考慮平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；(3)兩條相交直線中，對(duì)頂角相等，互為鄰補(bǔ)角的兩角之和等于180. 【例2】等腰三角形的一個(gè)角等于30，求它其余兩角的度數(shù)． 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)等腰三角形的角有什么特征？已知角是頂角還是底角？ 【解答】分情況討論： 當(dāng)?shù)捉菫?0時(shí)，頂角度數(shù)為180－230＝120； 當(dāng)頂角為30時(shí)，底角度數(shù)為(180－30)2＝75. 綜上，該等腰三角形其余兩角的度數(shù)為30，120或75，75. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))已知的一個(gè)銳角可以是等腰三角形的頂角，也可以是底角；一個(gè)鈍角只能是等腰三角形的頂角．分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵． 活動(dòng)2　鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué)) 1．至少有兩邊相等的三角形是(　B　) A．等邊三角形　 B．等腰三角形 C．直角三角形　 D．銳角三角形 2．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝44，則∠B＝68度． 3．已知等腰三角形兩條邊的長(zhǎng)分別是3和6，則它的周長(zhǎng)等于15. 4．如圖所示，已知AB＝AC，F(xiàn)D⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，若∠AFD＝145，則∠EDF＝55度． 5．如圖所示，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB＝AC，∠1＝∠2.求證：AD平分∠BAC. 證明：∵∠1＝∠2，∴BD＝DC.∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ADB≌△ADC，∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC. 活動(dòng)3　拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué)) 【例3】如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，∠ADC＝125.求∠ACB和∠BAC的度數(shù)． 【互動(dòng)探索】根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得AE⊥BC→求出∠CDE→根據(jù)“直角三角形兩銳角互余”求出∠DCE→根據(jù)角平分線的定義求出∠ACB→根據(jù)“等腰三角形兩底角相等”列式求出∠BAC. 【解答】∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125，∴∠CDE＝180－∠ADC＝55，∴∠DCE＝90－∠CDE＝35.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70，∴∠BAC＝180－(∠B＋∠ACB)＝40. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，有兩種類型：一是求邊長(zhǎng)，求邊長(zhǎng)時(shí)應(yīng)利用等腰三角形底邊上的中線與其他兩線互相重合；二是求角度的大小，求角度時(shí)，應(yīng)利用等腰三角形的頂角平分線或底邊上的高與其他兩線互相重合． 環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo) (學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)) 1．兩三角形全等的判定：AAS、ASA、SSS、SAS. 2．等腰三角形 練習(xí)設(shè)計(jì) 請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！ 第2課時(shí)　等邊三角形的性質(zhì) 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1．進(jìn)一步學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，了解等腰三角形兩底角的平分線(兩腰上的高、中線)的性質(zhì)． 2．學(xué)習(xí)等邊三角形的性質(zhì)，并能夠運(yùn)用其解決問題． 3．把等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行比較，體會(huì)等腰三角形和等邊三角形的相同之處和不同之處． 二、重難點(diǎn)目標(biāo) 【教學(xué)重點(diǎn)】 等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)． 【教學(xué)難點(diǎn)】 等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用． 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P5～P6的內(nèi)容，完成下面練習(xí)． 【3 min反饋】 1．等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等；等腰三角形兩腰上的高相等；等腰三角形兩腰上的中線相等． 2．等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60. 3．一個(gè)等腰非等邊三角形中，它的角平分線、中線及高線的條數(shù)共為(重合的算一條)(　B　) A．9　 B．7　　 C．6　 D．5 4．等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于(　B　) A．頂角　 B．頂角的一半 C．頂角的2倍　 D．底角的一半 環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題 活動(dòng)1　小組討論(師生互學(xué)) 【例1】 如圖，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，求證：DE∥BC. 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)要證DE∥BC，需證∠ADE＝∠ABC，從而結(jié)合已知條件考慮證△BEC≌△CDB即可． 【證明】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，∴∠AEB＝∠ADC＝90，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACD，∴∠EBC＝∠DCB.在△BEC和△CDB中，∵ ∴△BEC≌△CDB，∴BD＝CE，∴AB－BD＝AC－CE，即AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.又∵∠A是△ADE和△ABC的頂角，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的中線相等，兩腰上的高相等． 【例2】如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)BE、DE.若∠ABE＝40，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)． 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)由△ABC是等邊三角形可以得到哪些結(jié)論？如何利用這些結(jié)論求∠CED? 【解答】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60.∵∠ABE＝40，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝20.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))等邊三角形是特殊的三角形，它的三個(gè)內(nèi)角都是60，這個(gè)性質(zhì)常常應(yīng)用在求三角形角度的問題上，所以必須熟練掌握． 活動(dòng)2　鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué)) 1．如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD為對(duì)角線，AB＝BC＝AC＝BD，則∠ADC的大小為(　D　) A．120　 B．135　　 C．145　 D．150 2．如圖所示，△ABC為等邊三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于點(diǎn)R，PS⊥AC于點(diǎn)S，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是(　A　) ①點(diǎn)P在∠BAC的平分線上； ②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP. A．全部正確　 B．僅①和②正確 C．僅②和③正確　 D．僅①和③正確 3．已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為40，則此等腰三角形的頂角為50或130. 4．如圖所示，已知l∥m，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，邊BC與直線m所夾銳角為20，求∠α的度數(shù)． 解：如題圖，過點(diǎn)C作CE∥直線m.∵l∥m，∴l(xiāng)∥m∥CE，∴∠ACE＝∠α，∠BCE＝∠CBF＝20.在等邊三角形ABC中，∠ACB＝60，∴∠α＋∠CBF＝∠ACB＝60，∴∠α＝40. 5．如圖，△ABC為正三角形，點(diǎn)M是邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是邊CA上任意一點(diǎn)，且BM＝CN，BN與AM相交于點(diǎn)Q，求∠BQM的度數(shù)． 解：∵△ABC為正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，∵ ∴△AMB≌△BNC，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60. 活動(dòng)3　拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué)) 【例3】如圖，已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：BM＝EM. 【互動(dòng)探索】要證BM＝EM，由題意證△BDM≌△EDM即可． 【證明】連結(jié)BD.∵在等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，∴∠ABC＝∠ACB＝60，∴∠DBC＝∠ABC＝30.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30，∴∠DBC＝∠E＝30.∵DM⊥BC，∴∠DMB＝∠DME＝90.在△DMB和△DME中，∵ ∴△DMB≌△DME，∴BM＝EM. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))證明線段相等可以利用三角形全等得到．此外，要明確等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性質(zhì)完全適合等邊三角形． 環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo) (學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)) 1．等腰三角形兩底角的平分線相等，等腰三角形兩腰上的高相等；等腰三角形兩腰上的中線相等． 2．等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60. 練習(xí)設(shè)計(jì) 請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！ 第3課時(shí)　等腰三角形的判定與反證法 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1.理解等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明． 2．了解反證法的基本證明思路，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用． 二、重難點(diǎn)目標(biāo) 【教學(xué)重點(diǎn)】 掌握等腰三角形的判定定理． 【教學(xué)難點(diǎn)】 利用反證法進(jìn)行證明． 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P8～P9的內(nèi)容，完成下面練習(xí)． 【3 min反饋】 1．有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，簡(jiǎn)述為：等角對(duì)等邊． 2．先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法． 3．用反證法證明命題“一個(gè)三角形的三個(gè)外角中，至多有一個(gè)銳角”的第一步是假設(shè)三角形的三個(gè)外角中，有兩個(gè)銳角． 4．如圖所示，在△ABC中，∠A＝36，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．若在邊AB上截取BE＝BC，連結(jié)DE，則圖中等腰三角形共有(　D　) A．2個(gè)　 B．3個(gè)　　 C．4個(gè)　 D．5個(gè) 環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題 活動(dòng)1　小組討論(師生互學(xué)) 【例1】 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的平分線，AE與CD交于點(diǎn)F，求證：△CEF是等腰三角形． 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)要證△CEF是等腰三角形，結(jié)合已知條件考慮證明CE＝CF即可． 【證明】∵在△ABC中，∠ACB＝90，∴∠B＋∠BAC＝90.∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC.又∵∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形． 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))“等角對(duì)等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，是先有角相等再有邊相等，只限于在同一個(gè)三角形中，若在兩個(gè)不同的三角形中，此結(jié)論不一定成立． 【例2】求證：△ABC中不能有兩個(gè)鈍角． 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)用反證法證明時(shí)，假設(shè)什么？ 【證明】假設(shè)△ABC中能有兩個(gè)鈍角，不妨設(shè)∠A＜90，∠B＞90，∠C＞90， 所以∠A＋∠B＋∠C＞180， 這與三角形的內(nèi)角和為180矛盾，所以假設(shè)不成立， 因此原命題正確，即△ABC中不能有兩個(gè)鈍角． 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))反證法的步驟：(1)假設(shè)結(jié)論不成立；(2)從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；(3)假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論反面的所有可能的情況．如果只有一種，那么否定一種就可以了；如果有多種情況，則必須一一否定． 活動(dòng)2　鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué)) 1．用反證法證明命題“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中(　C　) A．有一個(gè)內(nèi)角大于60 B．有一個(gè)內(nèi)角小于60 C．每一個(gè)內(nèi)角都大于60 D．每一個(gè)內(nèi)角都小于60 2．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，則圖中的等腰三角形有(　D　) A．1個(gè)　 B．2個(gè)　　 C．3個(gè)　 D．4個(gè) 3．如圖，在43的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B分別在格點(diǎn)上，在圖中確定格點(diǎn)C，則以A、B、C為頂點(diǎn)的等腰三角形有3個(gè)． 4．用反證法證明等腰三角形的底角必為銳角． 證明：不妨設(shè)等腰三角形△ABC中，∠A為頂角，則分情況證明．①設(shè)∠B、∠C都是直角，則∠B＋∠C＝180，故∠A＋∠B＋∠C＝180＋∠A＞180，這與三角形內(nèi)角和等于180矛盾；②設(shè)∠B、∠C都是鈍角，則∠B＋∠C＞180，故∠A＋∠B＋∠C＞180，這與三角形內(nèi)角和等于180矛盾．綜上所述，假設(shè)①②錯(cuò)誤，所以∠B、∠C只能為銳角，即等腰三角形的底角必為銳角． 5．如圖所示，D為△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD＝BE，求證：△ABC是等腰三角形． 證明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90，∴∠A＋∠D＝90，∠C＋∠1＝90，∴∠A＋∠D＝∠C＋∠1.∵BD＝BE，∴∠2＝∠D.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠D，∴∠A＋∠D＝∠C＋∠D，∴∠A＝∠C，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形． 活動(dòng)3　拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué)) 【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE. (1)求證：△DEF是等腰三角形； (2)當(dāng)∠A＝50時(shí)，求∠DEF的度數(shù)． 【互動(dòng)探索】(1)根據(jù)“等邊對(duì)等角”可得∠B＝∠C，從而利用“邊角邊”證明△BDE≌△CEF，進(jìn)而根據(jù)“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”可得DE＝EF，即可證得結(jié)論；(2)根據(jù)“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”可得∠BDE＝∠CEF，從而得到∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的外角定理求出∠B＝∠DEF，進(jìn)而求出∠DEF. 【解答】(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵ ∴△BDE≌△CEF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形． (2)∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50，AB＝AC，∴∠B＝(180－∠A)＝65，∴∠DEF＝65. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))等腰三角形提供了很多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段． 環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo) (學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)) 1．等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(等角對(duì)等邊)． 2．反證法的步驟：(1)假設(shè)結(jié)論不成立；(2)從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；(3)假設(shè)不成立，則結(jié)論成立． 練習(xí)設(shè)計(jì) 請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！ 第4課時(shí)　 等邊三角形的判定及含30角的直角三角形的性質(zhì) 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1．理解等邊三角形的判定定理及其證明，理解含有30角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能利用這些定理解決一些簡(jiǎn)單的問題． 2．經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維． 二、重難點(diǎn)目標(biāo) 【教學(xué)重點(diǎn)】 等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明． 【教學(xué)難點(diǎn)】 理解并掌握含30角直角三角形的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用其解決有關(guān)問題． 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P10～P12的內(nèi)容，完成下面練習(xí)． 【3 min反饋】 1．三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形． 2．在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半． 3．等邊三角形中，兩條中線所夾的鈍角的度數(shù)為(　A　) A．120　 B．130　　 C．150　 D．160 4．下列三角形：①有兩個(gè)角等于60；②有一個(gè)角等于60的等腰三角形；③三個(gè)外角(每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有(　D　) A．①②③　 B．①②④ C．①③　 D．①②③④ 環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題 活動(dòng)1　小組討論(師生互學(xué)) 【例1】已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足關(guān)系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，試說明△ABC是等邊三角形． 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)證明△ABC是等邊三角形應(yīng)從哪些角度考慮？(邊、角)．結(jié)合已知條件，本題應(yīng)從邊的角度考慮證明△ABC是等邊三角形． 【證明】原關(guān)系式整理，得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0， ∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0， ∴(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等邊三角形． 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))(1)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)非負(fù)數(shù)都等于零；(2)有兩邊相等的三角形是等腰三角形，三邊都相等的三角形是等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形． 【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠B＝30，CD是斜邊AB上的高，AD＝3 cm，則AB的長(zhǎng)度是(　　) A．3 cm　 B．6 cm　　 C．9 cm　 D．12 cm 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90，∴∠ACD＝∠B＝30，∴在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm.即AB的長(zhǎng)度是12 cm. 【答案】D 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))運(yùn)用含30角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)時(shí)，要分清線段所在的直角三角形． 活動(dòng)2　鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué)) 1．若三角形中，三條中線都垂直于所對(duì)的邊，則此三角形是(　D　) A．等腰三角形　 B．鈍角三角形 C．直角三角形　 D．等邊三角形 2．下列說法錯(cuò)誤的是(　C　) A．等邊三角形是等腰三角形 B．一個(gè)外角的平分線平行于一邊的三角形是等腰三角形 C．有兩個(gè)內(nèi)角不相等的三角形不是等腰三角形 D．有兩個(gè)內(nèi)角分別是70和40的三角形是等腰三角形 3．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，則∠B＝60. 4．在△ABC中，∠B＝∠C＝15，AB＝2 cm，CD⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)度是1 cm. 5．如圖所示，P、Q是△ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度數(shù)． 解：∵PA＝PQ＝AQ，∴△APQ是等邊三角形，∴∠APQ＝∠PQA＝∠QAP＝60.∵PA＝PB，∴∠B＝∠PAB.又∵∠B＋∠PAB＝∠APQ＝60，∴∠PBA＝∠PAB＝30.同理，∠QAC＝30，∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30＋60＋30＝120. 活動(dòng)3　拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué)) 【例3】如圖，在△EBD中，EB＝ED，點(diǎn)C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AB＝BC.試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論． 【互動(dòng)探索】由CE＝CD，EB＝ED，根據(jù)“等邊對(duì)等角”及三角形外角性質(zhì)，可得∠CBE＝∠ECB.再由BE⊥CE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠ECB＝60.又∵AB＝BC，從而得出△ABC是等邊三角形． 【解答】△ABC是等邊三角形．證明如下： ∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D. 又∵∠ECB＝∠CED＋∠D， ∴∠ECB＝2∠D. ∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D， ∴∠ECB＝2∠CBE，∴∠CBE＝∠ECB. ∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90. 又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180， ∴∠ECB＋∠ECB＋90＝180， ∴∠ECB＝60. 又∵AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形． 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))(1)已知一個(gè)三角形中兩邊相等，要證明這個(gè)三角形是等邊三角形，有兩種方法：①證明另一邊也與這兩邊相等；②證明這個(gè)三角形中有一個(gè)角等于60.(2)已知一個(gè)三角形中有一個(gè)角等于60，要證明這個(gè)三角形是等邊三角形，有兩種方法：①證明另外兩個(gè)角也等于60；②證明這個(gè)三角形中有兩邊相等． 環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo) (學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)) 1．等邊三角形的判定定理： 2．含30角的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半． 練習(xí)設(shè)計(jì) 請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！