2018-2019學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二十二章 二次函數(shù) 小專題7 二次函數(shù)與幾何圖形綜合習(xí)題 （新版）新人教版.doc

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小專題7　二次函數(shù)與幾何圖形綜合 類型1　線段相關(guān)問題 1．(山西農(nóng)業(yè)大學(xué)附中月考)如圖，拋物線經(jīng)過A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三點(diǎn)． (1)求拋物線的解析式； (2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA＋PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三點(diǎn)在拋物線上， ∴解得 ∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－. (2)∵拋物線的解析式為y＝x2－2x－， ∴其對(duì)稱軸為直線x＝－＝－＝2， 連接BC，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求點(diǎn)． ∵B(5，0)，C(0，－)， ∴設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)， ∴解得 ∴直線BC的解析式為y＝x－， 當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1－＝－. ∴P(2，－)． 類型2　圖形面積問題 2．(陽泉市平定縣月考)如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2－4x＋c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A(－4，0)． (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)在拋物線上存在點(diǎn)P，滿足S△AOP＝8，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：(1)由已知條件，得 解得 ∴此二次函數(shù)的解析式為y＝－x2－4x. (2)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－4，0)，∴AO＝4. 設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，則S△AOP＝4h＝8. 解得h＝4. ①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，－x2－4x＝4. 解得x＝－2. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，4)． ②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，－x2－4x＝－4. 解得x1＝－2＋2，x2＝－2－2. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2＋2，－4)或(－2－2，－4)． 綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(－2，4)，(－2＋2，－4)，(－2－2，－4)． 3．(呂梁孝義市期末)綜合與探究： 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線W的函數(shù)解析式為y＝－x2＋2x＋3.拋物線W與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)為D，直線l經(jīng)過A，C兩點(diǎn)． (1)求點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)； (2)將直線l向下平移m個(gè)單位，對(duì)應(yīng)的直線為l′. ①若直線l′與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，與y軸的正半軸交于點(diǎn)F，△AEF的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出自變量m的取值范圍； ②求m的值為多少時(shí)，S的值最大？最大值為多少？ (3)若將拋物線W也向下平移m個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P落在△AOC的內(nèi)部(不包括△AOC的邊界)．請(qǐng)直接寫出m的取值范圍． 解：(1)當(dāng)y＝0時(shí)，得－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝3，x2＝－1. ∴A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(3，0)，(－1，0)． 當(dāng)x＝0時(shí)，得y＝3，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，3)． ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(1，4)． (2)①設(shè)直線l的解析式為y＝kx＋b，則有 解得 ∴直線l的解析式為y＝－x＋3. ∴直線l′的解析式為y＝－x＋3－m. 當(dāng)y＝0時(shí)，解得x＝3－m，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(3－m，0)． 當(dāng)x＝0時(shí)，解得y＝3－m，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3－m)． ∴AE＝3－(3－m)＝m，OF＝3－m. ∴S＝AEOF＝m(3－m)＝－m2＋m(0＜m＜3)． ②∵S＝－m2＋m＝－(m－)2＋，－<0， ∴當(dāng)m＝時(shí)，S的值最大，最大值為. (3)3＜m＜4. 類型3　特殊圖形相關(guān)問題 4．(陽泉市平定縣月考)綜合與探究： 如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3經(jīng)過點(diǎn)A(2，－3)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝3OB. (1)求拋物線的解析式； (2)若點(diǎn)D在y軸上，且∠BDO＝∠BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)； (3)若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)由y＝ax2＋bx－3得C(0，－3)，∴OC＝3， ∵OC＝3OB，∴OB＝1.∴B(－1，0)． 把A(2，－3)，B(－1，0)代入y＝ax2＋bx－3得解得 ∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－3. (2)連接AC，作BF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于F，如圖1， ∵A(2，－3)，C(0，－3)，∴AF∥x軸，∴F(－1，－3)． ∴BF＝3，AF＝3，∴∠BAC＝45. 設(shè)D(0，m)，則OD＝|m|， ∵∠BDO＝∠BAC，∴∠BDO＝45，∴OD＝OB＝1， ∴|m|＝1，∴m＝1， ∴D1(0，1)，D2(0，－1)． (3)設(shè)M(a，a2－2a－3)，N(1，n)， ①以AB為邊，則AB∥MN，AB＝MN，如圖2，過M作ME⊥對(duì)稱軸于E，AF⊥x軸于F，則△ABF≌△NME(AAS)， ∴NE＝AF＝3，ME＝BF＝3， ∴|a－1|＝3，∴a＝4或a＝－2， ∴M(4，5)或(－2，5)． ②以AB為對(duì)角線，BN＝AM，BN∥AM，如圖3， 則N在x軸上，M與C重合，∴M(0，－3)． 綜合上述，存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，M(4，5)或(－2，5)或(0，－3)．