2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 開學(xué)第一周 第一章 集合與函數(shù)概念 1.1.2 集合間的基本關(guān)系教案 新人教A版必修1.doc

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1.1.2 集合間的基本關(guān)系 教學(xué)目標(biāo) 三維目標(biāo) 1．理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集，能判斷給定集合間的關(guān)系，提高利用類比發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的能力． 2．在具體情境中，了解空集的含義，掌握并能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系，加強(qiáng)學(xué)生從具體到抽象的思維能力，樹立數(shù)形結(jié)合的思想． 教學(xué)重點(diǎn)：理解集合間包含與相等的含義． 教學(xué)難點(diǎn)：理解空集的含義． 授課過(guò)程 導(dǎo)入新課 思路1.實(shí)數(shù)有相等、大小關(guān)系，如5＝5,5＜7,5＞3等等，類比實(shí)數(shù)之間的關(guān)系，你會(huì)想到集合之間有什么關(guān)系呢？(讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不要急于作出判斷，而是繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生)欲知誰(shuí)正確，讓我們一起來(lái)觀察、研探． 思路2.復(fù)習(xí)元素與集合的關(guān)系——屬于與不屬于的關(guān)系，填空：(1)0____N；(2)____Q；(3)－1.5____R. 類比實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，如5＜7,2≤2，試想集合間是否有類似的“大小”關(guān)系呢？ (答案：(1)∈；(2)；(3)∈) (1)觀察下面幾個(gè)例子： ①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； ②設(shè)A為國(guó)興中學(xué)高一(3)班男生的全體組成的集合，B為這個(gè)班學(xué)生的全體組成的集合； ③設(shè)C＝{x|x是兩條邊相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}； ④E＝{2,4,6}，F(xiàn)＝{6,4,2}． 你能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)集合間有什么關(guān)系嗎？ (2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同樣是子集，有什么區(qū)別？ (3)結(jié)合例子④，類比實(shí)數(shù)中的結(jié)論：“若a≤b，且b≤a，則a＝b”，在集合中，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？ (4)升國(guó)旗時(shí)，每個(gè)班的同學(xué)都聚集在一起站在旗桿附近指定的區(qū)域內(nèi)，從樓頂向下看，每位同學(xué)是哪個(gè)班的，一目了然．試想一下，根據(jù)從樓頂向下看到的，要想直觀表示集合，聯(lián)想集合還能用什么表示？ (5)試用Venn圖表示例子①中集合A和集合B. (6)已知A?B，試用Venn圖表示集合A和B的關(guān)系． (7)任何方程的解都能組成集合，那么x2＋1＝0的實(shí)數(shù)根也能組成集合，你能用Venn圖表示這個(gè)集合嗎？ (8)一座房子內(nèi)沒(méi)有任何東西，我們稱為這座房子是空房子，那么一個(gè)集合沒(méi)有任何元素，應(yīng)該如何命名呢？ (9)與實(shí)數(shù)中的結(jié)論“若a≥b，且b≥c，則a≥c”相類比，在集合中，你能得出什么結(jié)論？ 活動(dòng)：教師從以下方面引導(dǎo)學(xué)生： (1)觀察兩個(gè)集合間元素的特點(diǎn)． (2)從它們含有的元素間的關(guān)系來(lái)考慮．規(guī)定：如果A?B，但存在x∈B，且xA，我們稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)． (3)實(shí)數(shù)中的“≤”類比集合中的?. (4)把指定位置看成是由封閉曲線圍成的，學(xué)生看成集合中的元素，從樓頂看到的就是把集合中的元素放在封閉曲線內(nèi)．教師指出：為了直觀地表示集合間的關(guān)系，我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖． (5)封閉曲線可以是矩形也可以是橢圓等等，沒(méi)有限制． (6)分類討論：當(dāng)A?B時(shí)，AB或A＝B. (7)方程x2＋1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)解． (8)空集記為，并規(guī)定：空集是任何集合的子集，即?A；空集是任何非空集合的真子集，即A(A≠)． (9)類比子集． 討論結(jié)果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中． (2)例子①中A?B，但有一個(gè)元素4∈B，且4A；而例子④中集合E和集合F中的元素完全相同． (3)若A?B，且B?A，則A＝B. (4)可以把集合中元素寫在一個(gè)封閉曲線的內(nèi)部來(lái)表示集合． (5)如圖1所示表示集合A，如圖2所示表示集合B. 圖1 圖2 (6)如圖3和圖4所示． 圖3 圖4 (7)不能．因?yàn)榉匠蘹2＋1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)解． (8)空集． (9)若A?B，B?C，則A?C；若AB，BC，則AC. 思路1 例1 某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在重量和長(zhǎng)度上都合格時(shí)，該產(chǎn)品才合格．若用A表示合格產(chǎn)品的集合，B表示重量合格的產(chǎn)品的集合，C表示長(zhǎng)度合格的產(chǎn)品的集合．已知集合A，B，C均不是空集． (1)則下列包含關(guān)系哪些成立？ A?B，B?A，A?C，C?A. (2)試用Venn圖表示集合A，B，C間的關(guān)系． 活動(dòng)：學(xué)生思考集合間的關(guān)系以及Venn圖的表示形式．當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B時(shí)，則A?B成立，否則A?B不成立．用相同的方法判斷其他包含關(guān)系是否成立．教師提示學(xué)生注意以下兩點(diǎn)： (1)重量合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品，但合格的產(chǎn)品一定重量合格； 長(zhǎng)度合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品，但合格的產(chǎn)品一定長(zhǎng)度合格． (2)根據(jù)集合A，B，C間的關(guān)系來(lái)畫出Venn圖． 解：(1)包含關(guān)系成立的有：A?B，A?C. (2)集合A，B，C間的關(guān)系用Venn圖表示，如圖5所示． 圖5 變式訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí)3. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合間的包含關(guān)系．其關(guān)鍵是首先明確兩集合中的元素具體是什么． 判斷兩個(gè)集合A，B之間是否有包含關(guān)系的步驟是：先明確集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素之間的關(guān)系，得：集合A中的元素都屬于集合B時(shí)，有A?B；當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B，集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A時(shí)，有AB；當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B，并且集合B中的元素也都屬于集合A時(shí)，有A＝B；當(dāng)集合A中至少有一個(gè)元素不屬于集合B，并且集合B中至少有一個(gè)元素也不屬于集合A時(shí)，有AB，且BA，即集合A，B互不包含. 例2 寫出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． 活動(dòng)：學(xué)生思考子集和真子集的定義，教師提示學(xué)生空集是任何集合的子集，一個(gè)集合不是其本身的真子集．按集合{a，b}的子集所含元素的個(gè)數(shù)分類討論． 解：集合{a，b}的所有子集為，{a}，，{a，b}．真子集為，{a}，. 變式訓(xùn)練 已知集合P＝{1,2}，那么滿足Q?P的集合Q的個(gè)數(shù)是(　　) A．4　　　B．3　　　C．2　　　　D．1 解析：集合P＝{1,2}含有2個(gè)元素，其子集有22＝4個(gè)， 又集合Q?P，所以集合Q有4個(gè)． 答案：A 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查子集和真子集的概念，以及分類討論的思想．通常按子集中所含元素的個(gè)數(shù)來(lái)寫出一個(gè)集合的所有子集，這樣可以避免重復(fù)和遺漏． 思考：集合A中含有n個(gè)元素，那么集合A有多少個(gè)子集？多少個(gè)真子集？ 解：當(dāng)n＝0時(shí)，即空集的子集為，即子集的個(gè)數(shù)是1＝20；當(dāng)n＝1時(shí)，即含有一個(gè)元素的集合如{a}的子集為，{a}，即子集的個(gè)數(shù)是2＝21；當(dāng)n＝2時(shí)，即含有兩個(gè)元素的集合如{a，b}的子集為，{a}，，{a，b}，即子集的個(gè)數(shù)是4＝22.… 集合A中含有n個(gè)元素，那么集合A有2n個(gè)子集，由于一個(gè)集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)個(gè)真子集. 思路2 例1 已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，則實(shí)數(shù)m＝________. 活動(dòng)：先讓學(xué)生思考B?A的含義，根據(jù)B?A，知集合B中的元素都屬于集合A，由集合元素的互異性，列出方程求實(shí)數(shù)m的值．因?yàn)锽?A，所以3∈A，m2∈A.對(duì)m2的值分類討論． 解析：∵B?A，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1. 答案：1 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互異性．本題容易出現(xiàn)m2＝3，其原因是忽視了集合元素的互異性．避免此類錯(cuò)誤的方法是解得m的值后，再代入驗(yàn)證． 討論兩集合之間的關(guān)系時(shí)，通常依據(jù)相關(guān)的定義，觀察這兩個(gè)集合元素的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式. 變式訓(xùn)練 已知集合M＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 分析：集合N是關(guān)于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠，由于NM，則N＝或N≠，要對(duì)集合N是否為空集分類討論． 解：由題意得M＝{x|x＞2}≠，則N＝或N≠.當(dāng)N＝時(shí)，關(guān)于x的方程ax＝1無(wú)解，則有a＝0；當(dāng)N≠時(shí)，關(guān)于x的方程ax＝1有解，則a≠0，此時(shí)x＝，又∵NM，∴∈M.∴＞2.∴0＜a＜.綜上所得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＝0或0＜a＜，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 例2 (1)分別寫出下列集合的子集及其個(gè)數(shù)：，{a}，{a，b}，{a，b，c}． (2)由(1)你發(fā)現(xiàn)集合M中含有n個(gè)元素，則集合M有多少個(gè)子集？ 活動(dòng)：學(xué)生思考子集的含義，并試著寫出子集．(1)按子集中所含元素的個(gè)數(shù)分類寫出子集；(2)由(1)總結(jié)當(dāng)n＝0，n＝1，n＝2，n＝3時(shí)子集的個(gè)數(shù)規(guī)律，歸納猜想出結(jié)論． 解：(1)的子集有：，即有1個(gè)子集； {a}的子集有：，{a}，即{a}有2個(gè)子集； {a，b}的子集有：，{a}，，{a，b}，即{a，b}有4個(gè)子集； {a，b，c}的子集有：，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即{a，b，c}有8個(gè)子集． (2)由(1)可得：當(dāng)n＝0時(shí)，集合M有1＝20個(gè)子集； 當(dāng)n＝1時(shí)，集合M有2＝21個(gè)子集； 當(dāng)n＝2時(shí)，集合M有4＝22個(gè)子集； 當(dāng)n＝3時(shí)，集合M有8＝23個(gè)子集； 因此含有n個(gè)元素的集合M有2n個(gè)子集. 變式訓(xùn)練 已知集合A{2,3,7}，且A中至多有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合A有(　　) A．3個(gè)　　　B．4個(gè)　　　C．5個(gè)　　　D．6個(gè) 解析：對(duì)集合A所含元素的個(gè)數(shù)分類討論． A＝或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6個(gè)． 答案：D 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查子集的概念以及分類討論和歸納推理的能力．集合M中含有n個(gè)元素，則集合M有2n個(gè)子集，有2n－1個(gè)真子集，記住這個(gè)結(jié)論，可以提高解題速度．寫一個(gè)集合的子集時(shí)，按子集中元素的個(gè)數(shù)來(lái)寫不易發(fā)生重復(fù)和遺漏現(xiàn)象. ：課本本節(jié)練習(xí)1,2. 【補(bǔ)充練習(xí)】1．判斷正誤： (1)空集沒(méi)有子集．(　　) (2)空集是任何一個(gè)集合的真子集．(　　) (3)任一集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集．(　　) (4)若B?A，那么凡不屬于集合A的元素，則必不屬于B.(　　) 分析：關(guān)于判斷題應(yīng)確實(shí)把握好概念的實(shí)質(zhì)． 解：該題的4個(gè)命題，只有(4)是正確的，其余全錯(cuò)． 對(duì)于(1)，(2)來(lái)講，由規(guī)定：空集是任何一個(gè)集合的子集，且是任一非空集合的真子集． 對(duì)于(3)來(lái)講，可舉反例，空集這一個(gè)集合就只有自身一個(gè)子集． 對(duì)于(4)來(lái)講，當(dāng)x∈B時(shí)必有x∈A，則xA時(shí)也必有xB. 2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，寫出A的真子集． 分析：區(qū)分子集與真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一個(gè)含有n個(gè)元素的集合的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，則該題先找該集合的元素，后找真子集． 解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2， 即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}． 真子集：，{1}，{2}，{0}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7個(gè)． 3．(1)下列命題正確的是(　　) A．無(wú)限集的真子集是有限集 B．任何一個(gè)集合必定有兩個(gè)子集 C．自然數(shù)集是整數(shù)集的真子集 D．{1}是質(zhì)數(shù)集的真子集 (2)以下五個(gè)式子中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為(　　) ①{1}∈{0,1,2}?、趝1，－3}＝{－3,1}?、踸0,1,2}?{1,0,2}　④∈{0,1,2}?、荨蕒0} A．5　　　B．2　　　C．3　　　D．4 (3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，則下列關(guān)系正確的是(　　) A．a(chǎn)M B．a(chǎn)M C．{a}∈M D．{a}M 解析：(1)該題要在四個(gè)選擇項(xiàng)中找到符合條件的選擇項(xiàng)，必須對(duì)概念把握準(zhǔn)確，無(wú)限集的真子集有可能是無(wú)限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一個(gè)子集，即它本身，排除B；由于1不是質(zhì)數(shù)，排除D. (2)該題涉及到的是元素與集合、集合與集合的關(guān)系． ①應(yīng)是{1}?{0,1,2}，④應(yīng)是?{0,1,2}，⑤應(yīng)是?{0}． 故錯(cuò)誤的有①④⑤. (3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，因3＜a＜4，故a是M的一個(gè)元素， 因此{(lán)a}是{x|3＜x＜4}的真子集，那么{a}M. 答案：(1)C　(2)C　(3)D 4．判斷如下集合A與B之間有怎樣的包含或相等關(guān)系： (1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}； (2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}． 解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}， 故A，B都是由奇數(shù)構(gòu)成的，即A＝B. (2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，又x＝4n＝22n， 在x＝2m中，m可以取奇數(shù)，也可以取偶數(shù)；而在x＝4n中，2n只能是偶數(shù)． 故集合A，B的元素都是偶數(shù)，但B中元素是由A中部分元素構(gòu)成，則有BA. 點(diǎn)評(píng)：此題是集合中較抽象的題目．要注意其元素的合理尋求． 5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}滿足QP，求a所取的一切值． 解：因P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，當(dāng)a＝0時(shí)，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，QP成立．又當(dāng)a≠0時(shí)，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，要QP成立，則有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝.綜上所述，a＝0或a＝－或a＝. 點(diǎn)評(píng)：這類題目給的條件中含有字母，一般需分類討論．本題易漏掉a＝0，ax＋1＝0無(wú)解，即Q為空集的情況，而當(dāng)Q＝時(shí)，滿足QP. 6．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，要使AP?B，求滿足條件的集合P. 解：A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}＝，B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－1,1，－4}， 由AP?B知集合P非空，且其元素全屬于B，即有滿足條件的集合P為 {1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}． 點(diǎn)評(píng)：要解決該題，必須確定滿足條件的集合P的元素，而做到這點(diǎn)，必須明確A，B，充分把握子集、真子集的概念，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)集合是解決問(wèn)題的首要條件． 7．設(shè)A＝{0,1}，B＝{x|x?A}，則A與B應(yīng)具有何種關(guān)系？ 解：因A＝{0,1}，B＝{x|x?A}， 故x為，{0}，{1}，{0,1}，即{0,1}是B中一元素．故A∈B. 點(diǎn)評(píng)：注意該題的特殊性，一集合是另一集合的元素． 8．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， (1)若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)當(dāng)x∈Z時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)； (3)當(dāng)x∈R時(shí)，沒(méi)有元素x使x∈A與x∈B同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：(1)當(dāng)m＋1＞2m－1即m＜2時(shí)，B＝滿足B?A. 當(dāng)m＋1≤2m－1即m≥2時(shí)，要使B?A成立，需可得2≤m≤3. 綜上所得實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤3. (2)當(dāng)x∈Z時(shí)，A＝{－2，－ 1,0,1,2,3,4,5}， ∴A的非空真子集的個(gè)數(shù)為28－2＝254. (3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又沒(méi)有元素x使x∈A與x∈B同時(shí)成立． 則①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2時(shí)滿足條件； ②若B≠，則要滿足條件：或解之，得m＞4. 綜上有m＜2或m＞4. 點(diǎn)評(píng)：此問(wèn)題解決要注意：不應(yīng)忽略；找A中的元素；分類討論思想的運(yùn)用． 問(wèn)題：已知A?B，且A?C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，則滿足上述條件的集合A共有多少個(gè)？ 活動(dòng)：學(xué)生思考A?B，且A?C所表達(dá)的含義．A?B說(shuō)明集合A是集合B的子集，即集合A中元素屬于集合B，同理有集合A中元素屬于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素． 思路1：寫出由集合B和集合C的公共元素組成的集合，得滿足條件的集合A； 思路2：分析題意，僅求滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為求集合B和集合C的公共元素所組成的集合的子集個(gè)數(shù)． 解法1：因A?B，A?C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，滿足A?B，有：，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32(個(gè))． 又滿足A?C的集合A有：，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16(個(gè))． 其中同時(shí)滿足A?B，A?C的有8個(gè)：，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，實(shí)際上到此就可看出，上述解法太繁． 解法2：題目只求集合A的個(gè)數(shù)，而未讓說(shuō)明A的具體元素，故可將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求B，C的公共元素組成集合的子集數(shù)是多少．顯然公共元素有0,2,4，組成集合的子集有23＝8(個(gè))． 點(diǎn)評(píng)：有關(guān)集合間關(guān)系的問(wèn)題，常用分類討論的思想來(lái)解決；關(guān)于集合的子集個(gè)數(shù)的結(jié)論要熟練掌握，其應(yīng)用非常廣泛． 課堂筆記 本節(jié)課學(xué)習(xí)了： ①子集、真子集、空集、Venn圖等概念； ②能判斷存在子集關(guān)系的兩個(gè)集合誰(shuí)是誰(shuí)的子集，進(jìn)一步確定其是否是真子集； ③清楚兩個(gè)集合包含關(guān)系的確定，主要靠其元素與集合關(guān)系來(lái)說(shuō)明．