【備戰(zhàn)】高考數(shù)學(xué) 歷屆真題專題05 三角函數(shù) 理

20、2010山東理數(shù)） 1. （2010福建理數(shù)）14．已知函數(shù)和的圖象的對(duì)稱軸完全相同。若，則的取值范圍是 。 【答案】 【解析】由題意知，，因?yàn)?，所以，由三角函?shù)圖象知： 的最小值為，最大值為，所以的取值范圍是。 2.（2010江蘇卷）10、定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點(diǎn)P2,則線段P1P2的長(zhǎng)為_______▲_____。 [解析] 考查三角函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想。線段P1P2的長(zhǎng)即為sinx的值， 且其中的x滿足6cosx=5tanx，解得si

21、nx=。線段P1P2的長(zhǎng)為 3.（2010江蘇卷）13、在銳角三角形ABC，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，，則=____▲_____。 [解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。一題多解。 （方法一）考慮已知條件和所求結(jié)論對(duì)于角A、B和邊a、b具有輪換性。 當(dāng)A=B或a=b時(shí)滿足題意，此時(shí)有：，，， ，= 4。 （方法二）， （2010浙江理數(shù)）（18）(本題滿分l4分)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知 (I)求sinC的值； (Ⅱ)當(dāng)a=2， 2sinA=sinC時(shí)，求b及c的長(zhǎng)． 解析：本題主要考

22、察三角變換、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，同事考查運(yùn)算求解能力。 （Ⅰ）解：因?yàn)閏os2C=1-2sin2C=，及0＜C＜π 所以sinC=. （Ⅱ）解：當(dāng)a=2，2sinA=sinC時(shí)，由正弦定理，得 c=4 由cos2C=2cos2C-1=，J及0＜C＜π得 cosC= 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得 b2b-12=0 解得 b=或2 所以 b= b= c=4 或 c=4 （2010全國(guó)卷2理數(shù)）（17）（本小題滿分10分） 中，為邊上的一點(diǎn)，，，，求． 【命題意圖】本試題主要

23、考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和差公式和正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握情況. （2010遼寧理數(shù)）（17）（本小題滿分12分） 在△ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，且 （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求的最大值. 解： （Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得 即 由余弦定理得 故 ，A=120 ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得： 故當(dāng)B=30時(shí)，sinB+sinC取得最大值1。

24、 ……12分 （2010江西理數(shù)）17.（本小題滿分12高☆考♂資♀源*網(wǎng)分） 已知函數(shù)。 (1) 當(dāng)m=0時(shí)，求在區(qū)間上的取值范圍； (2) 當(dāng)時(shí)，，求m的值。 【解析】考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求值問題。依托三角函數(shù)化簡(jiǎn)，考查函數(shù)值域，作為基本的知識(shí)交匯問題，考查基本三角函數(shù)變換，屬于中等題. 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)， ，由已知，得 從而得：的值域?yàn)? （2） 化簡(jiǎn)得： 當(dāng)，得：，， 代入上式，m=-2. （2010北京理數(shù)）（15）（本小題共13分） 已知函數(shù)。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值和

25、最小值。 解：（I） （II） = =, 因?yàn)椋? 所以，當(dāng)時(shí)，取最大值6；當(dāng)時(shí)，取最小值 （2010四川理數(shù)）（19）（本小題滿分12分） （Ⅰ）證明兩角和的余弦公式； 由推導(dǎo)兩角和的正弦公式. （Ⅱ）已知△ABC的面積，且，求cosC. 本小題主要考察兩角和的正、余弦公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)及運(yùn)算能力。 解：(1)①如圖，在執(zhí)教坐標(biāo)系xOy內(nèi)做單位圓O，并作出角α、β與－β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點(diǎn)P1，終邊交⊙O于P2；角β的始邊為OP2

26、，終邊交⊙O于P3；角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于P4. 則P1(1,0),P2(cosα,sinα) P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))由P1P3＝P2P4及兩點(diǎn)間的距離公式，得 [cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2 展開并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ) ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分 ②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα sin(α＋β

27、)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)] ＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β) ＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分 （2010天津理數(shù)）（17）（本小題滿分12分） 已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值； （Ⅱ）若，求的值。 （Ⅱ）解：由（1）可知 又因?yàn)?，所? 由，得 從而 所以 （2010廣東理數(shù)）16、（本小題滿分14分） 已知函數(shù)在時(shí)取得最大值4．　 (1)求的最小正周期； (2)求的解析式； (3)若(α

28、+)=,求sinα。 ，，，，． （2010山東理數(shù)） （2010湖南理數(shù)）16．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的最大值； （II）求函數(shù)的零點(diǎn)的集合。 （2010湖北理數(shù)） 16．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)f(x)= （Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。 （2010福建理數(shù)）19．（本小題滿分13分） 。，輪船位于港口O北偏西且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小船沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速

29、度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇。 （1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ （2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。沟眯⊥芤宰疃虝r(shí)間與輪船相遇，并說明理由。 此時(shí)，在中，，故可設(shè)計(jì)航行方案如下： 航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇。 （2010安徽理數(shù)）16、（本小題滿分12分） 設(shè)是銳角三角形，分別是內(nèi)角所對(duì)邊長(zhǎng)，并且 。 (Ⅰ)求角的值； (Ⅱ)若，求（其中）。 （2010江蘇卷）17、（本小題滿分14分） 某

30、興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。 (1) 該小組已經(jīng)測(cè)得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值； (2) 該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測(cè)量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問d為多少時(shí)，-最大？ [解析] 本題主要考查解三角形的知識(shí)、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。 （1），同理：，。 AD—AB=DB，故得，解得：。 因此，算出的電視塔的高度H是124m。 （2）由題設(shè)知，得， ，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)

31、，取等號(hào)） 故當(dāng)時(shí)，最大。 因?yàn)椋瑒t，所以當(dāng)時(shí)，-最大。 故所求的是m。 （2010江蘇卷）23.（本小題滿分10分） 已知△ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)。 （1） 求證cosA是有理數(shù)；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。 [解析] 本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。滿分10分。 （方法一）（1）證明：設(shè)三邊長(zhǎng)分別為，，∵是有理數(shù)， 是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對(duì)于除法的具有封閉性， ∴必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù)。 （2）①當(dāng)時(shí)，顯然cosA是有理數(shù)； 當(dāng)時(shí)，∵，因?yàn)閏osA是有理數(shù)， ∴

32、也是有理數(shù)； ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。 當(dāng)時(shí)，， ， ， 解得： ∵cosA，，均是有理數(shù)，∴是有理數(shù)， ∴是有理數(shù)。 即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。 綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。 （方法二）證明：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知 是有理數(shù)。 （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和都是有理數(shù)。 ①當(dāng)時(shí)，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。 ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，和都是有理數(shù)。 當(dāng)時(shí)，由， ， 及①和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù)。 即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。 綜合①、②可知，對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。 【2009年高考試題】

33、 1．(2009山東文理3)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位, 再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式是( ). A. B. C. D. 答案:A 解析：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)即的圖象,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,故選A. 2．(2009浙江文理8)已知是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是( ) 答案：D 解析：對(duì)于振幅大于1時(shí)，三角函數(shù)的周期為，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了． 3．(2009天津理7)已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù)的圖象，只要將的圖象 A 向左平移個(gè)單位

34、長(zhǎng)度 B 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 答案：A 解析：由于，則，，又 ，故，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 4．(2009江蘇4)函數(shù)為常數(shù)， 在閉區(qū)間上的圖象如圖所示，則 . 解析：考查三角函數(shù)的周期知識(shí)。 ，，所以， 6．(2009海南理14)已知函數(shù)(>0, )的圖像如圖所示，則 =________________ 解析：由圖可知， 答案： 5．(2009安徽文理16)在△ABC中，sin(C-A)=1,sinB=. (Ⅰ)求sinA的值； (Ⅱ)設(shè)AC=，

35、求△ABC的面積. 本小題主要考查三角恒等變換、正弦定理、解三角形等有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。本小題滿分12分 6.（2009寧夏海南理15）（本小題滿分12分） 為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟。 第三步：計(jì)算MN. 由余弦定理 . 方案二：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有： A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角，；B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的府角，；A，B的距離 d

36、 （如圖所示）. ②第一步：計(jì)算BM . 由正弦定理?。? 　　　第二步：計(jì)算BN . 由正弦定理?。? 第三步：計(jì)算MN . 由余弦定理 7．(2009山東理17)設(shè)函數(shù)。 (Ⅰ)求函數(shù)的最大值和最小正周期； (Ⅱ)設(shè)A，B，C為的三個(gè)內(nèi)角，若，且C為銳角，求。 解：(1)∵與互相垂直，則，即，代入得，又，∴. (2)∵，，∴，則，∴ 9．(2009江蘇15) 設(shè)向量 (1)若與垂直，求的值； (2)求的最大值; (3)若，求證：∥. [解析] 本小題主要考查向量的基本概念，同時(shí)考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角

37、和的正弦與余弦公式，考查運(yùn)算和證明得基本能力。滿分14分。 10．(2009浙江理18)在ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且滿足=, =3. (Ⅰ)求的面積； (Ⅱ)若b+c=6,求a的值。 解析：(I)因?yàn)?，，又由，得? (II)對(duì)于，又，或，由余弦定理得， 11．(2009天津理17)在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值： (II) 求sin的值 本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的正弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力。滿分12

38、分。 (Ⅰ)解：在△ABC中，根據(jù)正弦定理， 于是AB= (Ⅱ)解：在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得cosA= 于是 sinA= 從而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A= 所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin= 12.（2009福建理）（本小題滿分13分） 如圖，某市擬在長(zhǎng)為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng) 賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù) y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為 S(3，2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽 運(yùn)動(dòng)員

39、的安全，限定MNP=120 （I）求A , 的值和M，P兩點(diǎn)間的距離； （II）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長(zhǎng)？ 本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想， 解法一 （Ⅰ）依題意，有，，又，。 當(dāng) 是， 又 （Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120，MP=5， 設(shè)∠PMN=，則0<<60 由正弦定理得 , 故 0<<60，當(dāng)=30時(shí)，折線段賽道MNP最長(zhǎng) 亦即，將∠PMN設(shè)計(jì)為30時(shí)，折線段道MNP最長(zhǎng) 解法二：

40、（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120，MP=5， 由余弦定理得∠MNP= 即 故 從而，即 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，折線段道MNP最長(zhǎng) 注：本題第（Ⅱ）問答案及其呈現(xiàn)方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設(shè)計(jì)方式，還可以設(shè)計(jì)為：①；②；③點(diǎn)N在線段MP的垂直平分線上等 13.（2009遼寧理14）（本小題滿分12分） 如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離（計(jì)算

41、結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449） 解: 在△ABC中，∠DAC=30, ∠ADC=60－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180－60－60=60， 故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA， ……5分 在△ABC中， 即AB= 因此，BD= 故B，D的距離約為0.33km。 ……12分 【2008年高考試題】 1．(2008山東卷)函數(shù)的圖象是 答案：A 解析：本題考查復(fù)合函數(shù)的圖象。 是偶函數(shù)，可排除B,D; 由排除C,選A。 2．(2008山東卷)已知，則的值

42、是 (A)-　　　　(B) (C)- (D) 答案：C 解析：本題考查三角函數(shù)變換與求值。 ， 3．(2008山東理科卷)已知a，b，c為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量m＝()，n＝(cosA,sinA).若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，則角B＝. 答案： 解析：本題考查解三角形 ，， ，。 4．(2008江蘇卷)的最小正周期為，其中，則 。 解析：本小題考查三角函數(shù)的周期公式。。 答案：10 ＝( ) y x 1 1 O A．1 B．2

43、 C． D． 答案：B 解析：由圖象知函數(shù)的周期，所以 7．(2008海南、寧夏理科卷)( ) A． B． C． D． 答案：C 解析：，選C。 8．(2008山東卷)已知函數(shù)f(x)＝為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為 (Ⅰ)求f()的值； (Ⅱ)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間. 故　f(x)=2cos2x. 因?yàn)? (Ⅱ)將f(x)的圖象向右平移個(gè)個(gè)單位后，得到的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原

44、來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象. 　所以 當(dāng) (k∈Z), 即4kπ＋≤≤x≤4kπ+ (k∈Z)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減. 因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為　　　(k∈Z) 9．(2008廣東卷)已知函數(shù)，的最大值是1，其圖像經(jīng)過點(diǎn)． (1)求的解析式； （1） 求的值； (2) 求的值。 【解析】本小題考查三角函數(shù)的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式。由條件得， 為銳角， 故。同理可得， 因此。 (1)。 (2)， ，從而。 11．(2009廣東文16)已知向量互相垂直，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 【2007年高考試題】

45、 1．(2007山東理5)函數(shù)的最小正周期和最大值分別為( ) A．， B．， C．， D．， 答案：A 解析：化成的形式進(jìn)行判斷即。 2．(2007廣東理3)若函數(shù)，則是( ) A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù) C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù) 答案：D 3．(2007海南、寧夏理3) 已知頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，，． (1)若，求的值； (2)若是鈍角，求的取值范圍． 解析： (1)，，若c=5， 則，∴，∴sin∠A＝； 2)若∠A為鈍角，則解得，∴c的取值范圍是； 6．(2007海南寧夏理17)

46、如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)與．現(xiàn)測(cè)得，并在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋笏撸? 解：在中，． 由正弦定理得． 所以． 在中，． 7．(2007山東理20)如圖，甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，問乙船每小時(shí)航行多少海里？ 北 乙 甲 解法一：如圖，連結(jié)，由已知， ， 北 甲 乙 ， 又， 是等邊三角形， ， 由已知，，， 在中，由余弦定理， ． ． 因此，乙船的速度的大小為(海里/小時(shí))． 答：乙船每小時(shí)航行海里． ． ． 由正弦定理  第57頁(yè)