《2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時(shí)集訓(xùn)：31 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時(shí)集訓(xùn)：31 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 Word版含解析（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例
建議用時(shí)：45分鐘
一、選擇題
1．(2018全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，ab＝－1，則a(2a－b)＝
( )
A．4 B．3
C．2 D．0
B [a(2a－b)＝2a2－ab＝2－(－1)＝3，故選B.]
2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b與b垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為( )
A. B．－
C. D．－
D [∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，
∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．
∵λa＋b與b垂直， ∴(λa＋b)b＝0，
∴(－2λ＋1
2、,3λ＋2)(1,2)＝0，
即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－.]
3．已知向量a，b滿足|a|＝1，b＝(2,1)，且ab＝0，則|a－b|＝( )
A. B.
C．2 D.
A [因?yàn)閨a|＝1，b＝(2,1)，且ab＝0，所以|a－b|2＝a2＋b2－2ab＝1＋5－0＝6，所以|a－b|＝.故選A.]
4.如圖在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D被陰影遮住，請(qǐng)?jiān)O(shè)法計(jì)算＝( )
A．10 B．11
C．12 D．13
B [以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，＝(4,1)，＝＝(2,3)，∴＝
3、42＋13＝11，故選B.]
5．(2019銀川模擬)已知i，j為互相垂直的單位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a與b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是( )
A.∪ B.
C．(－∞，－2)∪ D.
C [不妨令i＝(1,0)，j＝(0,1)，
則a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，
因?yàn)樗鼈兊膴A角為銳角，
所以ab＝1－2λ＞0且a，b不共線，
所以λ＜且λ≠－2，故選C.]
6．(2019河北衡水模擬三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,4)，則“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不
4、充分也不必要條件
C [由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2ab＋b2＝a2＋b2，得ab＝0，得(1，k)(2,4)＝0，解得k＝－，所以“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要條件．故選C.]
7．(2019寶雞模擬)在直角三角形ABC中，角C為直角，且AC＝BC＝1，點(diǎn)P是斜邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)，則＋＝( )
A．0 B．1
C. D．－
B [以點(diǎn)C的坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨設(shè)P，所以＋＝(＋)＝＋＝1.故選B.]
二、填空題
8．已知平面向量a，b滿足a(a＋b)＝3
5、，且|a|＝2，|b|＝1，則向量a與b的夾角的正弦值為________．
[∵a(a＋b)＝a2＋ab＝22＋21cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，
∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，
∴sin〈a，b〉＝＝.]
9．已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，則a在b方向上的投影等于________．
－ [∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，
∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2ab＝5＋2ab＝3，
∴ab＝－1，∴a在b方向上的投影為＝－.]
10．(2019天津高考)在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝
6、5，∠A＝30，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且AE＝BE，則＝________.
－1 [法一：∵∠BAD＝30，AD∥BC，∴∠ABE＝30，又EA＝EB，∴∠EAB＝30，
在△EAB中，AB＝2，∴EA＝EB＝2.
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
則A(0,0)，D(5,0)，E(1，)，B(3，)，
∴＝(2，－)，＝(1，)，
∴＝(2，－)(1，)＝－1.
法二：同法一，求出EB＝EA＝2，
以，為一組基底，
則＝－，＝＋＝－，
∴＝(－)
＝－2＋－2
＝52－12－25＝－1.]
1．(2018石家莊二模)若兩個(gè)非零向量
7、a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為( )
A. B.
C. D.
A [法一：由|a＋b|＝|a－b|知，ab＝0，所以a⊥b.將|a－b|＝2|b|兩邊平方，得|a|2－2ab＋|b|2＝4|b|2，所以|a|2＝3|b|2，所以|a|＝|b|，所以cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝，所以向量a＋b與a的夾角為，故選A.
法二：∵|a＋b|＝|a－b|，∴a⊥b.
在四邊形ABCO中，設(shè)||＝|b|＝1，|a＋b|＝2|b|＝2，
∴|a|＝，
∴〈a＋b，a〉＝∠BOA，
∴在Rt△OBC中，∠BOA＝.]
2．已知平面向量a，b，c滿足|
8、a|＝|b|＝|c|＝1，若ab＝，則(a＋c)(2b－c)的最小值為( )
A．－2 B．－
C．－1 D．0
B [因?yàn)閍b＝|a||b|cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝.不妨設(shè)a＝(1,0)，b＝，c＝(cos θ，sin θ)，則(a＋c)(2b－c)＝2ab－ac＋2bc－c2＝1－cos θ＋2－1＝sin θ，所以(a＋c)(2b－c)的最小值為－，故選B.]
3．在△ABC中，a，b，c為A，B，C的對(duì)邊，a，b，c成等比數(shù)列，a＋c＝3，cos B＝，則＝________.
－ [由a，b，c成等比數(shù)列得ac＝b2，在△ABC中，由余弦定理可
9、得cos B＝＝，則＝，解得ac＝2，
則＝accos(π－B)＝－accos B＝－.]
4．(2019江蘇高考)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE＝2EA，AD與CE交于點(diǎn)O.若＝6，則的值是________．
[法一：過D作DF∥EC，交AB于F.
∵D為BC的中點(diǎn)，∴F為BE的中點(diǎn)，
又BE＝2EA，∴EF＝EA，
又DF∥EO，∴AO＝AD，
∴＝＝(＋)．
∴＝(＋)
＝.
∵＝6，
∴＝2－2＋，
∴2＝32，∴||＝||，∴＝.
法二：由于題目中對(duì)∠BAC沒有限制，所以不妨設(shè)∠BAC＝90，AB＝c，AC＝b，建立如圖所示的平面直
10、角坐標(biāo)系．
則E，D，
易得lAD：y＝x，lEC：＋＝1，
聯(lián)立得解得
則O.
由＝6得6＝0，
∴c2＝3b2，∴c＝b，∴＝.]
1．已知平面向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，(c－2a)(c－b)＝0，則|c|的最大值與最小值的和為( )
A．0 B.
C. D.
D [∵a⊥(a－2b)，∴a(a－2b)＝0，
即a2＝2ab，又|a|＝|b|＝1，
∴ab＝，a與b的夾角為60.
設(shè)＝a，＝b，＝c，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則a＝，b＝(1,0)．
設(shè)c＝(x，y)，則c－2a＝(x－
11、1，y－)，
c－b＝(x－1，y)．
又∵(c－2a)(c－b)＝0，
∴(x－1)2＋y(y－)＝0.
即(x－1)2＋2＝，
∴點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)M為圓心，為半徑的圓．
又|c|＝表示圓M上的點(diǎn)與原點(diǎn)O(0,0)之間的距離，所以|c|max＝|OM|＋，|c|min＝|OM|－，
∴|c|max＋|c|min＝2|OM|＝2＝，故選D.]
2．已知在△ABC所在平面內(nèi)有兩點(diǎn)P，Q，滿足＋＝0，＋＋＝，若||＝4，||＝2，S△APQ＝，則sin A＝________，＝________.
4 [由＋＝0知，P是AC的中點(diǎn)，由＋＋＝，可得＋＝－，即＋＝，即＝2，
∴Q是AB邊靠近B的三等分點(diǎn)，
∴S△APQ＝S△ABC＝S△ABC，
∴S△ABC＝3S△APQ＝3＝2.
∵S△ABC＝||||sin A＝42sin A＝2，
∴sin A＝，∴cos A＝，
∴＝||||cos A＝4.]
2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時(shí)集訓(xùn)：31 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 Word版含解析
