應(yīng)用自回歸模型處理EMD方法中的邊界問(wèn)題
白.81外步HL展第13卷第10期2003年10丿J#應(yīng)用自回歸模型處理EMD方法中的邊界問(wèn)題關(guān)張郁山I梁建文2“胡聿賢11.國(guó)家地鳶局地球物理研究所,北京100081: 2.天津大學(xué)土木工程系,天津300072摘耍 提出了一個(gè)“邊篩分,邊延拓”的邊界處理方法,利用H回fl(AR)模型對(duì)一個(gè)給定信號(hào) 的兩端進(jìn)行延拓,較好地處理了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMI)方法中的信號(hào)邊界問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)確的EMI) 分解.白.81外步HL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步HL展第13卷第10期2003年10丿J1055關(guān)鍵詞方法12003-01.16 收稿,2(M)3-05-20 收修改稿國(guó)家門然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):50278090)和教育部留學(xué)回國(guó)人員科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)I:! * 聯(lián)系人 E-ituiil: jwlian& tj cnuninet. net1 Mil l??誋HT變換強(qiáng)震儀記錄到的地面運(yùn)動(dòng),即地震動(dòng),是非平 穩(wěn)的,而且蘊(yùn)涵了地表土層等介質(zhì)的非線性信息. 在傳統(tǒng)的處理這類非平穩(wěn)地震動(dòng)記錄的方法中, Fourier變換能夠在頻域內(nèi)得到非常高的分辨率,但 Fourier譜不能反映信號(hào)的瞬態(tài)信息,因此,在時(shí)域 內(nèi)失去了分辨能力:短時(shí)Fourier變換雖然能夠在 一定程度上描述信號(hào)的瞬時(shí)頻率含量,但是,受到 不確定性原理的制約,不能同時(shí)在時(shí)域和頻域內(nèi)獲 得較髙的分辨率;小波變換是-種多分辨率的信號(hào) 處理方法,能夠同時(shí)任時(shí)域和頻域內(nèi)得到較島的分 辨率,但是其分辨率仍然受到一定的限制MF.皋于Hilbert變換的Hilben譜分析,在處理某些 特殊的非平穩(wěn)信號(hào)時(shí),能夠獲得非常好的結(jié)果;但 是,Hilben譜分析所面臨的問(wèn)題是:對(duì)于大部分非平 穩(wěn)的信號(hào),Hilben譜分析失去了木來(lái)的物理意義.為 此,1998年Huang提出了一種新的信號(hào)處理技術(shù), 其基本的思路是:為了將Hilben變換應(yīng)用到任總非 平穩(wěn)信號(hào),首先利用Huang提出的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解 (einpirical mode decomi心iiion EMI)方法,將給定信 號(hào)分解成若干個(gè)本征模函數(shù)(intrinsic mode funclov IMF):然后,再對(duì)每個(gè)IMF進(jìn)行Hilbert譜分析 (Hilben speciml analysis, HSA),得到每個(gè) IMF 的 Hilben譜;最后,匯總所有MF的Hilbert譜,得到 原始非平穩(wěn)信號(hào)的Hilben譜.這種新的信號(hào)處理方 法被稱為 Hilbcrl-Huaiig transform 簡(jiǎn)稱 HHT.在EMD方法中,信號(hào)兩端的邊界效應(yīng)所帶來(lái) 的誤差會(huì)向內(nèi)傳播,進(jìn)而“污染”整個(gè)數(shù)據(jù)序列, 使得茲后的結(jié)果失去意義,尤其對(duì)于低頻的IMF分 就來(lái)說(shuō),這種邊界效應(yīng)所引起的誤差更加嚴(yán)重. Himng針對(duì)這個(gè)問(wèn)題,提出用“特征波”對(duì)原始信 號(hào)進(jìn)行延拓的方法,但并未公開(kāi)具體的處理方 法,并且已將該方法在美國(guó)申請(qǐng)了專利.此外, Huang指出小,EMI)方法所而臨的邊界延拓問(wèn)題 還沒(méi)有完全解決.因此,解決邊界延拓問(wèn)題對(duì)于 HHT理論、以致對(duì)其他信號(hào)處理,都具有理論和 實(shí)際意義.鄧擁軍等提出了使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對(duì)原始信 號(hào)進(jìn)行延拓來(lái)解決EMI)中的邊界問(wèn)題.木文針對(duì) 同一問(wèn)題,應(yīng)用傳統(tǒng)的IH回歸(auto-regressive,AR) 模熨對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行延拓,提出了 “邊篩分,邊延 拓”的邊界處理方法,計(jì)算結(jié)果表明,該方法對(duì)于 EMD的準(zhǔn)確分解非常有效,對(duì)于低頻IMF分帚也 得到了很好的結(jié)果.1 EMD方法及其邊界問(wèn)題在EMD方法中,Huang將具有如下性質(zhì)的信 號(hào)定義為本征模函數(shù):(1)該信號(hào)的極值點(diǎn)的數(shù)目 與零交點(diǎn)的數(shù)目和等或至多相差一個(gè):(2)該信號(hào) 的極人值點(diǎn)與極小值點(diǎn)關(guān)丁零軸對(duì)稱.HimndJ認(rèn) 為Hilben變換作用到具有上述性質(zhì)的信號(hào)上時(shí),便 能給出物理意義明確的結(jié)果來(lái),即能將IMF中所縊 涵的波內(nèi)調(diào)解機(jī)制(inlra-wavc modulation)提取出 來(lái),所得到的Hilbert譜與小波譜以及其他基丁 Fouri- 3變換時(shí)變頻譜相比,具有非常高的時(shí)頻分辨率.EMI)方法通過(guò)一種被Huang成為“篩分” (sifting)的過(guò)程,對(duì)數(shù)據(jù)逐步進(jìn)行分解,最后得到 一系列IMF分量.具體處理方法是:給定實(shí)信號(hào) 工(J,找出龍(J所有的極人值點(diǎn)并將其用三次樣 條函數(shù)擬合成原始信號(hào)的上包絡(luò)線;找出t()所 有的極小值點(diǎn)并將其用三次樣條兩數(shù)擬合成原始信 號(hào)的下包絡(luò)線:上下包絡(luò)線的均值為原始信號(hào)的平 均包絡(luò)線7?71 (r):將原始信號(hào)“(r)減去?()后 即可得到一個(gè)新的信號(hào)wJ(Z) 7?7|(Z)= /2j(Z)>( 1 )這個(gè)過(guò)程稱為篩分,原始信號(hào)(/)經(jīng)過(guò)一次篩分 后變?yōu)閖般說(shuō)來(lái),/x(z)仍然不是一個(gè)IMF,為此需 要對(duì)它重復(fù)上述篩分處理.重復(fù)處理怡次后,若最 后所得到的信號(hào)滿足IMF條件,就得到了原始信號(hào) 的第1個(gè)IMF分量c/z):力i(i)(r) 一 心(/)=力以(f),ci(/) = h u( t),(2)出門代表原始信號(hào)中最高頻的IMF分農(nóng) 將原始 信號(hào)工(t)減去c,(/)就可以得到去除髙頻成分的殘 余信號(hào)n(/);對(duì)n(z)進(jìn)行上述篩分處理后可以得 到第2個(gè)IMF分屋“&),然后將; !(/)減去c2(z) 后可以得到r3(z);如此重復(fù)下去直到最后一個(gè)殘 余信號(hào)廠”(門不可再分解為止.廣1( /)一 C2( /)=廣2( /人,?_/) - c(/) = rM(z),(3)最后,原始信號(hào)川門可以表示成工()= c;( i)+ 心(/).(4)i=i通常,原始信號(hào)工(門經(jīng)過(guò)上述EM1)方法分解 后所得到的IMF分量的數(shù)目是很少的,這說(shuō)明 EMI)方法的效率是很高的.原始信號(hào)工(/)經(jīng)過(guò)EMI)分解后,分別對(duì)每個(gè) IMF分磺進(jìn)行Hilbert譜分析(HSA)得到每個(gè)IMF 分量的Hilbert譜,匯總所有IMF分量的Hilbert譜 就得到了原始信號(hào)的Hilbert譜.即給立任恿 一個(gè)IMF,c(C,其Hilbert變換定義為其屮P表小Cauchy主值.c( t )與y( t )可以合成解 析信號(hào)Z(Z):z( f ) = c( f ) + (y( f ),(6)從而,可以怎義時(shí)變的幅值a(t)和相位0( Z)如下:(z)= 5/c2(z) + J>2</),(7)0()= arctan ; .( 8進(jìn)一步可以定義瞬時(shí)頻率時(shí)變幅值“(/)的時(shí)頻分布就泄義為分量c(f)的Hilbert 譜:H(s,f) = H(s(), r)三匕(f),(10)最后,匯總所有分量的Hilbert譜,就得到原始信號(hào) 的 Hilbert 譜:nHS") = 丫 記(如 f).(11)>-i綜上所述,HHT對(duì)信號(hào)的處理可用下面的流 程圖來(lái)表示:式中 HS( r, 3)表示時(shí)變 Hilbert 譜(Hilbert spectrum).上述壟于Hilbert變換及經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的HHT 方法在處理非平穩(wěn)信號(hào)時(shí),得到的Hilbert譜由于不 受不確定性原理的制約,它能h 0時(shí)在時(shí)域和頻域內(nèi) 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#獲得很髙的分辨率.但是,困擾EMD方法的一個(gè) 人問(wèn)題就足數(shù)字信號(hào)的邊界問(wèn)題.下而舉一個(gè)簡(jiǎn)單 的例子說(shuō)明.通常我們所處理的信號(hào)都局限在有限區(qū)間.為 此,考慮下式給出的模擬信號(hào):t)= cos(37v/)+ 1.5cos(9tv/)f 0.3,1.0 (13)圖1給出了限定在指定區(qū)間的原始模擬信號(hào). 可以看出,在區(qū)間0.3,1.0內(nèi),信號(hào)工(門存在3 個(gè)極大值點(diǎn)、3個(gè)極小值點(diǎn);利用三次樣條插值分 別連接極人值點(diǎn)和極小值點(diǎn),所得到的樣條1山線I 然延拓到信號(hào)的邊界處就得到了如圖所示的上下包 絡(luò)線.圖1原始信號(hào)及利用三次樣條西數(shù)得到的組上下包絡(luò)線圖2中的貞實(shí)包絡(luò)線是按照如下方式得出的: 首先,根據(jù)(13)式求出原始信號(hào)在區(qū)間0.3, 1.01 之外的部分;然后,利用三次樣條插值分別連接所 有極人值點(diǎn)和極小值點(diǎn);最后取所得樣條曲線在區(qū) 間0.3,1.0內(nèi)的部分.從圖2中可以看出,如 果事先不知道信號(hào)在所給立區(qū)間之外的部分,只是 利用給肚區(qū)間內(nèi)的極人值和極小值通過(guò)三次樣條插 們來(lái)擬合信號(hào)的上下包絡(luò)線,所得的三次樣條包絡(luò) 線與冀實(shí)樣條包絡(luò)線相比會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)巫失冀.在本例 中,上下包絡(luò)線都出現(xiàn)了失冀,尤其是上包絡(luò)線, 在信號(hào)兩端出現(xiàn)了嚴(yán)$:的失真.這種包絡(luò)線失真引起的誤差故初只會(huì)影響信號(hào) 兩端,但隨著篩分過(guò)程的進(jìn)行,邊界處的誤差會(huì)向 內(nèi)傳播,進(jìn)而“污染”到內(nèi)部的數(shù)據(jù),使得般后的 結(jié)果失去意義.而我們實(shí)際處理的信號(hào)都是有限長(zhǎng) 度的離散信號(hào)/(),( = 1,N),而且,我們事圖2樣條曲線延拓所得上卜包絡(luò)線及真實(shí)樣 條上下包絡(luò)線先無(wú)法知道給定數(shù)據(jù)之外的信號(hào).因此,在進(jìn)行 EMD處理時(shí),我們就需耍根據(jù)己知數(shù)據(jù),按照一 定規(guī)則加以延拓,進(jìn)而在信號(hào)兩端分別獲得附加的 極大值和極小值;然后根據(jù)信號(hào)門少的所有極大值 點(diǎn)和兩個(gè)附加的極人值點(diǎn)構(gòu)造三次樣條上包絡(luò)線; 根據(jù)信號(hào)11身的所有極小值點(diǎn)和兩個(gè)附加的極小值 點(diǎn)構(gòu)造三次樣條下包絡(luò)線:這兩條包絡(luò)線如果與冀 實(shí)樣條包絡(luò)線接近,則我們就能有效地控制數(shù)據(jù)邊 界所帶來(lái)的誤差.本文提出“邊篩分、邊延拓”的邊界處理方 法,利用自回歸模型(AR模型),通過(guò)線性預(yù)測(cè)對(duì) 數(shù)據(jù)進(jìn)行延拓由于自回歸模型最后所得到的線性 方程組的系數(shù)矩陣是對(duì)稱的Tocplitz矩陣,采用 Levins-Durbin遞推算法能夠快速地求得AR模型 的系數(shù),因此,在篩分的過(guò)程中,采用此算法對(duì)數(shù) 據(jù)加以延拓,即“邊篩分、邊延拓”,能夠有效地 對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行篩分,而且也能獲得較髙的計(jì)算速度.2利用自回歸模型對(duì)信號(hào)進(jìn)行延拓& n)之前的”個(gè)數(shù)據(jù) tr( ?-/?) j:( n /) + 1),- 1)已知,我們希望利用這“個(gè) 數(shù)據(jù)的線性組合來(lái)預(yù)測(cè)工(和)的值.記H H )是對(duì)真 實(shí)值工(“)的預(yù)測(cè),則有(14)根據(jù)線性預(yù)測(cè)方法,通過(guò)使紂預(yù)測(cè)值/( ”)與真實(shí) 值工(”)之間總的預(yù)測(cè)誤差功率最小,系數(shù)可 以求出.系數(shù)4 求出后,根據(jù)(14)式求出()的預(yù)測(cè)值H ”),然后根據(jù)新的數(shù)據(jù)序列6( ” + 1), ,工(一 1),龍(刃)來(lái)預(yù)測(cè)n + 1 HJ刻j-( n + 1 ) 的值2(+ 1),依次類推,可以求出工(刃-1)以后 任總時(shí)刻離散信號(hào)的預(yù)測(cè)值.當(dāng)然,距離T( 2/ - 1) 越遠(yuǎn)的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值Z間的誤差也就越人,但是 我們所耍預(yù)測(cè)的是已知數(shù)據(jù)外雖近的極人值和極小 值,I人I此需要預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)不會(huì)離已知數(shù)據(jù)的邊界 太遠(yuǎn),從而預(yù)測(cè)的樣條包絡(luò)線能夠具有較好的將 度.利用同樣的方法可以對(duì)同一數(shù)據(jù)序列進(jìn)行反向 預(yù)測(cè).圖3給出了利用線性預(yù)測(cè)得出的(13)式信號(hào) 的樣條上下包絡(luò)線及真實(shí)的包絡(luò)線,從中可以看 出,兩者Z間誤差非常小.圖4給出了相應(yīng)的預(yù)測(cè) 半均包絡(luò)線與其實(shí)平均包紹線,同樣可以看出,兩 者非常接近圖4所給出的平均包絡(luò)線參加最后的圖3貞實(shí)樣條卜下包絡(luò)線與預(yù)測(cè)樣條上下包絡(luò)線圖4真實(shí)樣條半均包絡(luò)線與預(yù)測(cè)樣條平均包絡(luò)線在對(duì)一個(gè)給定信號(hào)(它可以為原始信號(hào)久(/), 也可以為前一次篩分處理所得的殘余信號(hào)W 見(jiàn)(2)式)進(jìn)行篩分處理之前,首先利用AR模型對(duì) 其進(jìn)行線性預(yù)測(cè),得出上下三次樣條包絡(luò),然后再 對(duì)其進(jìn)行篩分,這種計(jì)算方法即為“邊篩分,邊延 拓”的算法.按照此算法,對(duì)(13)式所給出的模擬 信號(hào)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解,所得結(jié)果與原始的兩個(gè)簡(jiǎn) 諧波信號(hào)如圖5所示.從中可以看出,對(duì)丁高頻分 星來(lái)說(shuō),按照本文所建議的算法,利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分 解所得的結(jié)果與真實(shí)分量相差不人,邊界效應(yīng)僅在 信號(hào)兩端引起微小的誤差,對(duì)屮間人部分?jǐn)?shù)據(jù)沒(méi)有 影響;對(duì)丁低頻分量來(lái)說(shuō),盡管數(shù)據(jù)邊端所引起的 誤差傳播到了數(shù)據(jù)內(nèi)部,但是,按照本文算法所得 的低頻分屋與冀實(shí)分量Z間非常接近,而且,此分 量只有半個(gè)波存在,這種分解效果非常令人滿意.白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#圖5 EMD分解所得本征模函數(shù)號(hào)頁(yè)實(shí)簡(jiǎn)諧波分戢(a)IMF|:白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#通過(guò)上而模擬信號(hào)的結(jié)果可以看出:數(shù)據(jù)邊端 所引起的誤差對(duì)低頻分応的影響較人,對(duì)高頻分量 影響較?。话凑铡斑吅Y分、邊延拓”的算法,利用AR模型,通過(guò)線性預(yù)測(cè)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行延拓,可以有 效地抑制數(shù)據(jù)邊端誤差對(duì)EMI)分解結(jié)果屮低頻分 量的影響.白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J1059圖6 El Centro地底波記錄下而,利用上述方法對(duì)一實(shí)際地震動(dòng)記錄E1 Centro波的分解為例加以說(shuō)明.圖6給出了原始El Centro波的加速度記錄.在 此,苗先使用Huang的EMI)程序,對(duì)此地震波 加以分解,得到8個(gè)IMF分最:然后使用本文提出 的“邊篩分,邊延拓”的計(jì)笄方法對(duì)同一地震波加 以分解,同樣可以得到8個(gè)IMF分量:瑕后將兩種 結(jié)果加以比較,以驗(yàn)證本文方法的有效性.比較結(jié) 果示丁圖7中,由丁數(shù)據(jù)邊端所引起的誤差對(duì)高頻 分量影響不大,主耍是影響低頻分量,所以圖中只 給出了故后4個(gè)IMF分量的比較結(jié)果,對(duì)丁前4個(gè) 較高頻【MF分就來(lái)說(shuō),兩者兒乎完全一致,在此不 再給出.白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#(7S&M2U白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#圖7本文方法與EMI)程序所得低頻IMF分晝的比較(a分顯:5: (b)分雖6:(c分昴7: d)分雖8白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#圖7中,實(shí)線為本文所得結(jié)果;虛線為Himng 的EMI)軟件計(jì)算所得結(jié)果.從圖中可以看出,對(duì) 丁較髙頻分量,兩者符合程度非常好:對(duì)于較低頻 分磺,盡管兩者存在一定誤差,但相差不是很人; 雖然最后一個(gè)分鹹在邊界處相差較人,但是與高頻 分量相比,它的尺度非常小,它的誤差可以忽略.3結(jié)論本文提出一個(gè)EMI)方法中邊界處理的“邊篩 分、邊延拓”方法,利用AR模型,通過(guò)線性預(yù)測(cè) 對(duì)信號(hào)兩端加以延拓,分別獲得附加的極人值點(diǎn)和 極小值點(diǎn),然后利用三次樣條插值將附加的極值點(diǎn) 與信號(hào)本身的極值點(diǎn)連接起來(lái),從而擬合出原始信 號(hào)的上下包絡(luò)線,垠后,通過(guò)篩分處理,將原始數(shù) 據(jù)分解成一系列本征模函數(shù).本文的“邊篩分、邊延拓”方法充分利用了H 回歸線性預(yù)測(cè)模型算法簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高、有限幾 步內(nèi)預(yù)測(cè)精度高的特點(diǎn),避免了對(duì)原始信號(hào)一次性 延拓而需要延拓多個(gè)極值點(diǎn)導(dǎo)致的梢度下降問(wèn)題: 同時(shí),“邊篩分、邊延拓”方法還充分利用了低頻 信號(hào)門回!H線性預(yù)測(cè)精度高的特點(diǎn),可以有效地抑 制信號(hào)邊端謀差劉EMD分解結(jié)果中低頻分駅的影 響.致謝 本文部分研究?jī)?nèi)容得到了美國(guó)Colorado School of Mines的I3y Zhang教授的幫助,在此表 示感謝.參考文獻(xiàn)1 Huang N E et al The empirical mode decomposition and theHilbert S|xx?truni for nonlinear and non-stationary- time scries analysis. 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Pmfessiorvil Edition VI. 0,Princeton Satellite Systems Princeton: New Jersey* 2000白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#國(guó)家自然科學(xué)基金研究專著逐段決定馬爾可夫骨架過(guò)程劉國(guó)欣 侯振挺 鄒捷中 苦湖南科學(xué)技術(shù)出版社定價(jià):30.00元本書是研究逐段決定馬爾可夫骨架過(guò)程的專著.逐段決定馬爾 可夫骨架過(guò)程,簡(jiǎn)稱逐段決定過(guò)程(PDP),是侯振挺教授T 1996年 提出的馬爾可夫骨架過(guò)程中應(yīng)用最廣泛的一類過(guò)程.逐段決定馬爾可夫骨架過(guò)程是指具有一列隨機(jī)時(shí)刻作為跳躍點(diǎn), 而在兩相鄰跳躍點(diǎn)之間為決定性軌道的隨機(jī)過(guò)程,在系統(tǒng)科學(xué)、11 動(dòng)控制、風(fēng)險(xiǎn)理論等渚多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.全書共分為五章, 系統(tǒng)地介紹了逐段決定馬爾可夫骨架過(guò)程的基本概念和性質(zhì),特別 對(duì)逐段決定馬爾可夫骨架過(guò)程中垠亜要的過(guò)程類,逐段決定馬爾可 夫過(guò)程(PI)MI),進(jìn)行了深入地探討,內(nèi)容包括準(zhǔn)備知識(shí),一般跳過(guò) 程的鞅表示,逐段決定馬爾可夫骨架過(guò)程,逐段決定馬爾可夫過(guò)程 及其在風(fēng)險(xiǎn)理論中的應(yīng)用,其中許多屬作者近年來(lái)在這方浙的研 究成果.本書的讀者對(duì)象為概率統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)科學(xué)、H動(dòng)控制、風(fēng)險(xiǎn)理論等專業(yè)的人學(xué)髙年級(jí)學(xué)生、研究生、教 師與有關(guān)科研人員.