應用自回歸模型處理EMD方法中的邊界問題

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1、白.81外步HL展第13卷第10期2003年10丿J#應用自回歸模型處理EMD方法中的邊界問題關張郁山I梁建文2“胡聿賢11.國家地鳶局地球物理研究所,北京100081: 2.天津大學土木工程系,天津300072摘耍 提出了一個“邊篩分,邊延拓”的邊界處理方法,利用H回fl(AR)模型對一個給定信號 的兩端進行延拓,較好地處理了經(jīng)驗模態(tài)分解(EMI)方法中的信號邊界問題,實現(xiàn)了準確的EMI) 分解.白.81外步HL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步HL展第13卷第10期2003年10丿J1055關鍵詞方法12003-01.16 收稿,2(M)3-05-20 收修改稿國家門然科學

2、基金(批準號:50278090)和教育部留學回國人員科研啟動基金資助項I:! * 聯(lián)系人 E-ituiil: jwlian& tj cnuninet. net1 Mil l??誋HT變換強震儀記錄到的地面運動,即地震動,是非平 穩(wěn)的,而且蘊涵了地表土層等介質(zhì)的非線性信息. 在傳統(tǒng)的處理這類非平穩(wěn)地震動記錄的方法中, Fourier變換能夠在頻域內(nèi)得到非常高的分辨率,但 Fourier譜不能反映信號的瞬態(tài)信息,因此,在時域 內(nèi)失去了分辨能力:短時Fourier變換雖然能夠在 一定程度上描述信號的瞬時頻率含量,但是,受到 不確定性原理的制約,不能同時在時域和頻域內(nèi)獲 得較髙的分辨率;小波變換是-種

3、多分辨率的信號 處理方法,能夠同時任時域和頻域內(nèi)得到較島的分 辨率,但是其分辨率仍然受到一定的限制MF.皋于Hilbert變換的Hilben譜分析,在處理某些 特殊的非平穩(wěn)信號時,能夠獲得非常好的結(jié)果;但 是,Hilben譜分析所面臨的問題是:對于大部分非平 穩(wěn)的信號,Hilben譜分析失去了木來的物理意義.為 此,1998年Huang提出了一種新的信號處理技術(shù), 其基本的思路是:為了將Hilben變換應用到任總非 平穩(wěn)信號,首先利用Huang提出的經(jīng)驗模態(tài)分解 (einpirical mode decomi心iiion EMI)方法,將給定信 號分解成若干個本征模函數(shù)(intrinsic m

4、ode funclov IMF):然后,再對每個IMF進行Hilbert譜分析 (Hilben speciml analysis, HSA),得到每個 IMF 的 Hilben譜;最后,匯總所有MF的Hilbert譜,得到 原始非平穩(wěn)信號的Hilben譜.這種新的信號處理方 法被稱為 Hilbcrl-Huaiig transform 簡稱 HHT.在EMD方法中,信號兩端的邊界效應所帶來 的誤差會向內(nèi)傳播,進而“污染”整個數(shù)據(jù)序列, 使得茲后的結(jié)果失去意義,尤其對于低頻的IMF分 就來說,這種邊界效應所引起的誤差更加嚴重. Himng針對這個問題,提出用“特征波”對原始信 號進行延拓的方法,但

5、并未公開具體的處理方 法,并且已將該方法在美國申請了專利.此外, Huang指出小,EMI)方法所而臨的邊界延拓問題 還沒有完全解決.因此,解決邊界延拓問題對于 HHT理論、以致對其他信號處理,都具有理論和 實際意義.鄧擁軍等提出了使用神經(jīng)網(wǎng)絡方法對原始信 號進行延拓來解決EMI)中的邊界問題.木文針對 同一問題,應用傳統(tǒng)的IH回歸(auto-regressive,AR) 模熨對原始數(shù)據(jù)進行延拓,提出了 “邊篩分,邊延 拓”的邊界處理方法,計算結(jié)果表明,該方法對于 EMD的準確分解非常有效,對于低頻IMF分帚也 得到了很好的結(jié)果.1 EMD方法及其邊界問題在EMD方法中,Huang將具有如下性

6、質(zhì)的信 號定義為本征模函數(shù):(1)該信號的極值點的數(shù)目 與零交點的數(shù)目和等或至多相差一個:(2)該信號 的極人值點與極小值點關丁零軸對稱.HimndJ認 為Hilben變換作用到具有上述性質(zhì)的信號上時,便 能給出物理意義明確的結(jié)果來,即能將IMF中所縊 涵的波內(nèi)調(diào)解機制(inlra-wavc modulation)提取出 來,所得到的Hilbert譜與小波譜以及其他基丁 Fouri- 3變換時變頻譜相比,具有非常高的時頻分辨率.EMI)方法通過一種被Huang成為“篩分” (sifting)的過程,對數(shù)據(jù)逐步進行分解,最后得到 一系列IMF分量.具體處理方法是:給定實信號 工(J,找出龍(J所

7、有的極人值點并將其用三次樣 條函數(shù)擬合成原始信號的上包絡線;找出t()所 有的極小值點并將其用三次樣條兩數(shù)擬合成原始信 號的下包絡線:上下包絡線的均值為原始信號的平 均包絡線7?71 (r):將原始信號“(r)減去?()后 即可得到一個新的信號wJ(Z) 7?7|(Z)= /2j(Z)( 1 )這個過程稱為篩分,原始信號(/)經(jīng)過一次篩分 后變?yōu)閖般說來,/x(z)仍然不是一個IMF,為此需 要對它重復上述篩分處理.重復處理怡次后,若最 后所得到的信號滿足IMF條件,就得到了原始信號 的第1個IMF分量c/z):力i(i)(r) 一 心(/)=力以(f),ci(/) = h u( t),(2)

8、出門代表原始信號中最高頻的IMF分農(nóng) 將原始 信號工(t)減去c,(/)就可以得到去除髙頻成分的殘 余信號n(/);對n(z)進行上述篩分處理后可以得 到第2個IMF分屋“&),然后將; !(/)減去c2(z) 后可以得到r3(z);如此重復下去直到最后一個殘 余信號廠”(門不可再分解為止.廣1( /)一 C2( /)=廣2( /人,?_/) - c(/) = rM(z),(3)最后,原始信號川門可以表示成工()= c;( i)+ 心(/).(4)i=i通常,原始信號工(門經(jīng)過上述EM1)方法分解 后所得到的IMF分量的數(shù)目是很少的,這說明 EMI)方法的效率是很高的.原始信號工(/)經(jīng)過EM

9、I)分解后,分別對每個 IMF分磺進行Hilbert譜分析(HSA)得到每個IMF 分量的Hilbert譜,匯總所有IMF分量的Hilbert譜 就得到了原始信號的Hilbert譜.即給立任恿 一個IMF,c(C,其Hilbert變換定義為其屮P表小Cauchy主值.c( t )與y( t )可以合成解 析信號Z(Z):z( f ) = c( f ) + (y( f ),(6)從而,可以怎義時變的幅值a(t)和相位0( Z)如下:(z)= 5/c2(z) + J2-i綜上所述,HHT對信號的處理可用下面的流 程圖來表示:式中 HS( r, 3)表示時變 Hilbert 譜(Hilbert sp

10、ectrum).上述壟于Hilbert變換及經(jīng)驗模態(tài)分解的HHT 方法在處理非平穩(wěn)信號時,得到的Hilbert譜由于不 受不確定性原理的制約,它能h 0時在時域和頻域內(nèi) 白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#獲得很髙的分辨率.但是,困擾EMD方法的一個 人問題就足數(shù)字信號的邊界問題.下而舉一個簡單 的例子說明.通常我們所處理的信號都局限在有限區(qū)間.為 此,考慮下式給出的模擬信號:t)= cos(37v/)+ 1.5cos(9tv/)f 0.3,1.0 (13)圖1給出了限定在指定區(qū)間的原始模擬信號. 可以看出,在區(qū)間0.3,1.0內(nèi),信號工(門存在3 個極大值點、3個極小值點

11、;利用三次樣條插值分 別連接極人值點和極小值點,所得到的樣條1山線I 然延拓到信號的邊界處就得到了如圖所示的上下包 絡線.圖1原始信號及利用三次樣條西數(shù)得到的組上下包絡線圖2中的貞實包絡線是按照如下方式得出的: 首先,根據(jù)(13)式求出原始信號在區(qū)間0.3, 1.01 之外的部分;然后,利用三次樣條插值分別連接所 有極人值點和極小值點;最后取所得樣條曲線在區(qū) 間0.3,1.0內(nèi)的部分.從圖2中可以看出,如 果事先不知道信號在所給立區(qū)間之外的部分,只是 利用給肚區(qū)間內(nèi)的極人值和極小值通過三次樣條插 們來擬合信號的上下包絡線,所得的三次樣條包絡 線與冀實樣條包絡線相比會出現(xiàn)嚴巫失冀.在本例 中,上

12、下包絡線都出現(xiàn)了失冀,尤其是上包絡線, 在信號兩端出現(xiàn)了嚴$:的失真.這種包絡線失真引起的誤差故初只會影響信號 兩端,但隨著篩分過程的進行,邊界處的誤差會向 內(nèi)傳播,進而“污染”到內(nèi)部的數(shù)據(jù),使得般后的 結(jié)果失去意義.而我們實際處理的信號都是有限長 度的離散信號/(),( = 1,N),而且,我們事圖2樣條曲線延拓所得上卜包絡線及真實樣 條上下包絡線先無法知道給定數(shù)據(jù)之外的信號.因此,在進行 EMD處理時,我們就需耍根據(jù)己知數(shù)據(jù),按照一 定規(guī)則加以延拓,進而在信號兩端分別獲得附加的 極大值和極小值;然后根據(jù)信號門少的所有極大值 點和兩個附加的極人值點構(gòu)造三次樣條上包絡線; 根據(jù)信號11身的所有

13、極小值點和兩個附加的極小值 點構(gòu)造三次樣條下包絡線:這兩條包絡線如果與冀 實樣條包絡線接近,則我們就能有效地控制數(shù)據(jù)邊 界所帶來的誤差.本文提出“邊篩分、邊延拓”的邊界處理方 法,利用自回歸模型(AR模型),通過線性預測對 數(shù)據(jù)進行延拓由于自回歸模型最后所得到的線性 方程組的系數(shù)矩陣是對稱的Tocplitz矩陣,采用 Levins-Durbin遞推算法能夠快速地求得AR模型 的系數(shù),因此,在篩分的過程中,采用此算法對數(shù) 據(jù)加以延拓,即“邊篩分、邊延拓”,能夠有效地 對數(shù)據(jù)進行篩分,而且也能獲得較髙的計算速度.2利用自回歸模型對信號進行延拓& n)之前的”個數(shù)據(jù) tr( ?-/?) j:( n

14、/) + 1),- 1)已知,我們希望利用這“個 數(shù)據(jù)的線性組合來預測工(和)的值.記H H )是對真 實值工(“)的預測,則有(14)根據(jù)線性預測方法,通過使紂預測值/( ”)與真實 值工(”)之間總的預測誤差功率最小,系數(shù)可 以求出.系數(shù)4 求出后,根據(jù)(14)式求出()的預測值H ”),然后根據(jù)新的數(shù)據(jù)序列6( ” + 1), ,工(一 1),龍(刃)來預測n + 1 HJ刻j-( n + 1 ) 的值2(+ 1),依次類推,可以求出工(刃-1)以后 任總時刻離散信號的預測值.當然,距離T( 2/ - 1) 越遠的預測值與真實值Z間的誤差也就越人,但是 我們所耍預測的是已知數(shù)據(jù)外雖近的極

15、人值和極小 值,I人I此需要預測的數(shù)據(jù)點不會離已知數(shù)據(jù)的邊界 太遠,從而預測的樣條包絡線能夠具有較好的將 度.利用同樣的方法可以對同一數(shù)據(jù)序列進行反向 預測.圖3給出了利用線性預測得出的(13)式信號 的樣條上下包絡線及真實的包絡線,從中可以看 出,兩者Z間誤差非常小.圖4給出了相應的預測 半均包絡線與其實平均包紹線,同樣可以看出,兩 者非常接近圖4所給出的平均包絡線參加最后的圖3貞實樣條卜下包絡線與預測樣條上下包絡線圖4真實樣條半均包絡線與預測樣條平均包絡線在對一個給定信號(它可以為原始信號久(/), 也可以為前一次篩分處理所得的殘余信號W 見(2)式)進行篩分處理之前,首先利用AR模型對

16、其進行線性預測,得出上下三次樣條包絡,然后再 對其進行篩分,這種計算方法即為“邊篩分,邊延 拓”的算法.按照此算法,對(13)式所給出的模擬 信號進行經(jīng)驗模態(tài)分解,所得結(jié)果與原始的兩個簡 諧波信號如圖5所示.從中可以看出,對丁高頻分 星來說,按照本文所建議的算法,利用經(jīng)驗模態(tài)分 解所得的結(jié)果與真實分量相差不人,邊界效應僅在 信號兩端引起微小的誤差,對屮間人部分數(shù)據(jù)沒有 影響;對丁低頻分量來說,盡管數(shù)據(jù)邊端所引起的 誤差傳播到了數(shù)據(jù)內(nèi)部,但是,按照本文算法所得 的低頻分屋與冀實分量Z間非常接近,而且,此分 量只有半個波存在,這種分解效果非常令人滿意.白.81外步ilL展第13卷第10期2003年

17、10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#圖5 EMD分解所得本征模函數(shù)號頁實簡諧波分戢(a)IMF|:白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#通過上而模擬信號的結(jié)果可以看出:數(shù)據(jù)邊端 所引起的誤差對低頻分応的影響較人,對高頻分量 影響較??;按照“邊篩分、邊延拓”的算法,利用AR模型,通過線性預測對數(shù)據(jù)進行延拓,可以有 效地抑制數(shù)據(jù)邊端誤差對EMI)分解結(jié)果屮低頻分 量的影響.白.81外步

18、ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J1059圖6 El Centro地底波記錄下而,利用上述方法對一實際地震動記錄E1 Centro波的分解為例加以說明.圖6給出了原始El Centro波的加速度記錄.在 此,苗先使用Huang的EMI)程序,對此地震波 加以分解,得到8個IMF分最:然后使用本文提出 的“邊篩分,邊延拓”的計笄方法對同一地震波加 以分解,同樣可以得到8個IMF分量:瑕后將兩種 結(jié)果加以比較,以驗證本文方法的有效性.比較結(jié) 果示丁圖7中,由丁數(shù)據(jù)邊端所引起的誤差對高頻 分量影響不大,主耍是影響低頻分量,所以圖中只 給

19、出了故后4個IMF分量的比較結(jié)果,對丁前4個 較高頻【MF分就來說,兩者兒乎完全一致,在此不 再給出.白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#(7S&M2U白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#圖7本文方法與EMI)程序所得低頻IMF分晝的比較(a分顯:5: (b)分雖6:(c分昴7: d)分雖8白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#圖7中,實線為本文所得結(jié)果;虛線為Himng

20、 的EMI)軟件計算所得結(jié)果.從圖中可以看出,對 丁較髙頻分量,兩者符合程度非常好:對于較低頻 分磺,盡管兩者存在一定誤差,但相差不是很人; 雖然最后一個分鹹在邊界處相差較人,但是與高頻 分量相比,它的尺度非常小,它的誤差可以忽略.3結(jié)論本文提出一個EMI)方法中邊界處理的“邊篩 分、邊延拓”方法,利用AR模型,通過線性預測 對信號兩端加以延拓,分別獲得附加的極人值點和 極小值點,然后利用三次樣條插值將附加的極值點 與信號本身的極值點連接起來,從而擬合出原始信 號的上下包絡線,垠后,通過篩分處理,將原始數(shù) 據(jù)分解成一系列本征模函數(shù).本文的“邊篩分、邊延拓”方法充分利用了H 回歸線性預測模型算法

21、簡單、計算效率高、有限幾 步內(nèi)預測精度高的特點,避免了對原始信號一次性 延拓而需要延拓多個極值點導致的梢度下降問題: 同時,“邊篩分、邊延拓”方法還充分利用了低頻 信號門回!H線性預測精度高的特點,可以有效地抑 制信號邊端謀差劉EMD分解結(jié)果中低頻分駅的影 響.致謝 本文部分研究內(nèi)容得到了美國Colorado School of Mines的I3y Zhang教授的幫助,在此表 示感謝.參考文獻1 Huang N E et al The empirical mode decomposition and theHilbert S|xx?truni for nonlinear and non-st

22、ationary- time scries analysis. Proc Roy Soc lxnd* Series A- 1998. 454: 8992 Huang N E et al. A new view of nonlinear water waves: TheHilbert s|xx?truin. /ini Rev Fluid Mech 1999,31: 4173 Hiiang N E et ml. A new spectral representation of earthquake data: Hilbert spectral analysis of station TCU129.

23、 ChiChi, Taiwan,21. Sqteinber 1999 Bull Soc Seism Ani 200b 91: 13104鄧擁軍,等.EMD方法及Hilbert變換中邊界問題的處理.科學 通報.200L 46(3): 2575 Hilbert-Huang Transform Toolbox. Pmfessiorvil Edition VI. 0,Princeton Satellite Systems Princeton: New Jersey* 2000白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#白.81外步ilL展第13卷第10期2003年10丿J#國家自然科學基金

24、研究專著逐段決定馬爾可夫骨架過程劉國欣 侯振挺 鄒捷中 苦湖南科學技術(shù)出版社定價:30.00元本書是研究逐段決定馬爾可夫骨架過程的專著.逐段決定馬爾 可夫骨架過程,簡稱逐段決定過程(PDP),是侯振挺教授T 1996年 提出的馬爾可夫骨架過程中應用最廣泛的一類過程.逐段決定馬爾可夫骨架過程是指具有一列隨機時刻作為跳躍點, 而在兩相鄰跳躍點之間為決定性軌道的隨機過程,在系統(tǒng)科學、11 動控制、風險理論等渚多領域有著廣泛的應用.全書共分為五章, 系統(tǒng)地介紹了逐段決定馬爾可夫骨架過程的基本概念和性質(zhì),特別 對逐段決定馬爾可夫骨架過程中垠亜要的過程類,逐段決定馬爾可 夫過程(PI)MI),進行了深入地探討,內(nèi)容包括準備知識,一般跳過 程的鞅表示,逐段決定馬爾可夫骨架過程,逐段決定馬爾可夫過程 及其在風險理論中的應用,其中許多屬作者近年來在這方浙的研 究成果.本書的讀者對象為概率統(tǒng)計、系統(tǒng)科學、H動控制、風險理論等專業(yè)的人學髙年級學生、研究生、教 師與有關科研人員.

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