2019年高中數(shù)學 3.1.3 概率的基本性質(zhì)學案 新人教A版必修3.doc

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2019年高中數(shù)學 3.1.3 概率的基本性質(zhì)學案 新人教A版必修3 【明目標、知重點】 1．正確理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、對立事件的概念； 2．理解并熟記概率的幾個基本性質(zhì)； 3．會用概率的加法公式求某些事件的概率． 【填要點、記疑點】 1． 事件的關系與運算 定義 表示法 事件的關系 包含關系 一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A(或A?B) 互斥事件 若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥 若A∩B＝?，則A與B互斥 對立事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 若A∩B＝?，且A∪B＝U，則A與B對立 事件的運算 并事件 若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B或A＋B 交事件 若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB) 2.概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍為[0,1]． (2)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0. (3)概率加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 特例：若A與B為對立事件，則P(A)＝1－P(B)． P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0. 【探要點、究所然】 [情境導學]　全運會中某省派兩名女乒乓球運動員參加單打比賽，她們奪取冠軍的概率分別是0.4和0.3，則該省奪取該項冠軍的概率是0.4＋0.3嗎？為什么？為解決這個問題，我們來學習概率的基本性質(zhì)． 探究點一　事件的關系與運算 問題　在拋擲骰子試驗中，我們用集合形式定義如下事件：C1＝{出現(xiàn)1點}，C2＝{出現(xiàn)2點}，C3＝{出現(xiàn)3點}，C4＝{出現(xiàn)4點}，C5＝{出現(xiàn)5點}，C6＝{出現(xiàn)6點}，D1＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}，D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于4}，D3＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于6}，E＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于7}，F(xiàn)＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于6}，G＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，H＝{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，等等． 思考1　上述事件中哪些是必然事件？哪些是隨機事件？哪些是不可能事件？ 答　E是必然事件；F是不可能事件；其余是隨機事件． 思考2　如果事件C1發(fā)生，則一定有哪些事件發(fā)生？反之，成立嗎？在集合中，集合C1與這些集合之間的關系怎樣描述？ 答　如果事件C1發(fā)生，則一定發(fā)生的事件有D1，D3，E，H，反之，如果事件D1，D3，E，H分別成立，能推出事件C1發(fā)生的只有D1.所以從集合的觀點看，事件C1是事件D3，E，H的子集，集合C1與集合D1相等． 小結(jié)　一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)，記作B?A(或A?B)．不可能事件記為?，任何事件都包含不可能事件．如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，反之也成立，(若B?A同時A?B)，我們說這兩個事件相等，即A＝B.如C1＝D1. 思考3　如果事件D2與事件H同時發(fā)生，就意味著哪個事件發(fā)生？ 答　如果事件D2與事件H同時發(fā)生，就意味著事件C5發(fā)生． 反思與感悟　如果某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與B的交事件(或積事件)，記為A∩B或AB. 思考4　事件D3與事件F能同時發(fā)生嗎？ 答　事件D3與事件F不能同時發(fā)生． 小結(jié)　如果A∩B為不可能事件(A∩B＝?)，那么稱事件A與事件B互斥，即事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生． 思考5　事件G與事件H能同時發(fā)生嗎？它們兩個事件有什么關系？ 答　事件G與事件H不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生． 反思與感悟　如果A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件，即事件A與事件B在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生． 例1　判斷下列各對事件是否是互斥事件，并說明理由． 某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學去參加演講比賽，其中： (1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”； (2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”； (3)“至少有1名男生”和“全是男生”； (4)“至少有1名男生”和“全是女生”． 解　(1)是互斥事件． 理由是：在所選的2名同學中，“恰有1名男生”實質(zhì)是選出的是“1名男生和1名女生”，它與“恰有2名男生”不可能同時發(fā)生，所以是一對互斥事件． (2)不是互斥事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”兩種結(jié)果，它們可能同時發(fā)生． (3)不是互斥事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，這與“全是男生”可同時發(fā)生． (4)是互斥事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果，它和“全是女生”不可能同時發(fā)生． 反思與感悟　如果A、B是兩個互斥事件，反映在集合上，是表示A、B這兩個事件所含結(jié)果組成的集合彼此互不相交． 跟蹤訓練1　一個射手進行一次射擊，試判斷下列事件哪些是互斥事件？哪些是對立事件？ 事件A ：命中環(huán)數(shù)大于7環(huán)； 事件B ：命中環(huán)數(shù)為10環(huán)； 事件C ：命中環(huán)數(shù)小于6環(huán)； 事件D ：命中環(huán)數(shù)為6、7、8、9、10環(huán)． 解　A 與C 互斥(不可能同時發(fā)生)，B 與C 互斥，C 與D 互斥，C 與D 是對立事件(至少一個發(fā)生)． 探究點二　概率的幾個基本性質(zhì) 思考1　概率的取值范圍是什么？為什么？ 答　概率的取值范圍是0～1之間，即0≤P(A)≤1；由于事件的頻數(shù)總是小于或等于試驗的次數(shù)，所以，頻率在0～1之間，因而概率的取值范圍也在0～1之間． 思考2　必然事件、不可能事件的概率分別是多少？為什么？ 答　必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0；必然事件是在試驗中一定要發(fā)生的事件，所以頻率為1，因而概率是1，不可能事件是在試驗中一定不發(fā)生的事件，所以頻率為0，因而概率是0. 思考3　如果事件A與事件B互斥，則事件A∪B發(fā)生的頻數(shù)與事件A、B發(fā)生的頻數(shù)有什么關系？fn(A∪B)與fn(A)、fn(B)有什么關系？進一步得到P(A∪B)與P(A)、P(B)有什么關系？ 答　若事件A與事件B互斥，則A∪B發(fā)生的頻數(shù)等于事件A發(fā)生的頻數(shù)與事件B發(fā)生的頻數(shù)之和，從而有fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B)，由此得到P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，這就是概率的加法公式. 小結(jié)　如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 思考4　如果事件A與事件B互為對立事件，P(A∪B)與P(A)、P(B)有什么關系？由此可得出什么結(jié)論？ 答　由對立事件的定義可知，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即 1＝P(A)＋P(B)，從而得出P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 例2　如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，那么取到紅心(事件A)的概率是，取到方塊(事件B)的概率是，問： (1)取到紅色牌(事件C)的概率是多少？ (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？ 解　(1)因為C＝A∪B，且A與B不會同時發(fā)生，所以事件A與事件B互斥，根據(jù)概率的加法公式得 P(C)＝P(A)＋P(B)＝. (2)事件C與事件D互斥，且C∪D為必然事件，因此事件C與事件D是對立事件，P(D)＝1－P(C)＝. 反思與感悟　事件C是事件A與事件B的并，且A與B互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解，事件C與事件D是對立事件，因此P(D)＝1－P(C)． 跟蹤訓練2　袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，已知得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，試求得到黑球、黃球、綠球的概率分別是多少？ 解　設得到黑球、黃球的概率分別為x，y，由題意得 解得：x＝，y＝，1－－－＝. 所以得到黑球、黃球、綠球的概率分別是，，. 例3　某公務員去開會，他乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4. (1)求他乘火車或乘飛機去的概率； (2)求他不乘輪船去的概率； (3)如果他乘某種交通工具的概率為0.5，請問他有可能乘哪種交通工具？ 解　(1)記“他乘火車”為事件A，“他乘輪船”為事件B，“他乘汽車”為事件C，“他乘飛機”為事件D.這四個事件兩兩不可能同時發(fā)生，故它們彼此互斥，所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D) ＝0.3＋0.4＝0.7. 即他乘火車或乘飛機去的概率為0.7. (2)設他不乘輪船去的概率為P，則 P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8， 所以他不乘輪船去的概率為0.8. (3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5， P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5， 故他可能乘火車或乘輪船去，也有可能乘汽車或乘飛機去． 反思與感悟　1.互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 2．對于一個較復雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當這些事件彼此互斥時，原事件的概率就是這些簡單事件的概率的和． 3．當求解的問題中有“至多”、“至少”、“最少”等關鍵詞語時，常?？紤]其反面，通過求其反面，然后轉(zhuǎn)化為所求問題． 跟蹤訓練3　甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，乙獲勝的概率為，求： (1)甲獲勝的概率； (2)甲不輸?shù)母怕剩? 解　(1)“甲獲勝”和“和棋或乙獲勝”是對立事件， 所以“甲獲勝”的概率P＝1－－＝.即甲獲勝的概率是. (2)方法一：設事件A為“甲不輸”，可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝. 方法二：設事件A為“甲不輸”，可看成是“乙獲勝”的對立事件，所以P(A)＝1－＝. 即甲不輸?shù)母怕适? 【當堂測、查疑缺】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．給出以下結(jié)論： ①互斥事件一定對立． ②對立事件一定互斥． ③互斥事件不一定對立． ④事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率． ⑤事件A與B互斥，則有P(A)＝1－P(B)． 其中正確命題的個數(shù)為 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　對立必互斥，互斥不一定對立，∴②③正確，①錯； 又當A∪B＝A時，P(A∪B)＝P(A)，∴④錯； 只有A與B為對立事件時，才有P(A)＝1－P(B)， ∴⑤錯． 2．拋擲一枚骰子，“向上的點數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點數(shù)是2或3”為事件B，則 (　　) A．A?B B．A＝B C．A＋B表示向上的點數(shù)是1或2或3 D．AB表示向上的點數(shù)是1或2或3 答案　C 解析　設A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}， ∴A＋B表示向上的點數(shù)為1或2或3. 3．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么，互斥而不對立的事件是(　　) A．至少有一個紅球與都是紅球 B．至少有一個紅球與都是白球 C．至少有一個紅球與至少有一個白球 D．恰有一個紅球與恰有兩個紅球 答案　D 解析　A項中，若取出的3個球是3個紅球，則這兩個事件同時發(fā)生，故它們不是互斥事件，所以A項不符合題意；B項中，這兩個事件不能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，則它們是互斥事件且是對立事件，所以B項不符合題意；C項中，若取出的3個球是1個紅球2個白球時，它們同時發(fā)生，則它們不是互斥事件，所以C項不符合題意；D項中，這兩個事件不能同時發(fā)生，是互斥事件，若取出的3個球都是紅球，則它們都沒有發(fā)生，故它們不是對立事件，所以D項符合題意． 4．一商店有獎促銷活動中有一等獎與二等獎兩個獎項，其中中一等獎的概率為0.1，中二等獎的概率為0.25，則不中獎的概率為________． 答案　0.65 解析　中獎的概率為0.1＋0.25＝0.35，中獎與不中獎互為對立事件，所以不中獎的概率為1－0.35＝0.65. 5．在擲骰子的游戲中，向上的數(shù)字是1或2的概率是________． 答案　 解析　事件“向上的數(shù)字是1”與事件“向上的數(shù)字是2”為互斥事件，且二者發(fā)生的概率都是，所以“向上的數(shù)字是1或2”的概率是＋＝. 【呈重點、現(xiàn)規(guī)律】 1．互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的，它們兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系．在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，但不可能兩個都發(fā)生；而兩個對立事件必有一個發(fā)生，但是不可能兩個事件同時發(fā)生，也不可能兩個事件都不發(fā)生．所以兩個事件互斥，它們未必對立；反之兩個事件對立，它們一定互斥． 2．互斥事件的概率加法公式是一個很基本的計算公式，解題時要在具體的情景中判斷各事件間是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 3．求復雜事件的概率通常有兩種方法： (1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的并事件； (2)先求其對立事件的概率，再求所求事件的概率．