2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練六 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 理.doc

2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練六 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 理考情解讀1.以選擇、填空的形式考查，主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)(特別是離心率)，以及圓錐曲線之間的關(guān)系，突出考查基礎(chǔ)知識、基本技能，屬于基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要考查圓錐曲線的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常常在知識的交匯點處命題，有時以探究的形式出現(xiàn)，有時以證明題的形式出現(xiàn)該部分題目多數(shù)為綜合性問題，考查分析問題、解決問題的能力，綜合運用知識的能力等，屬于中、高檔題，一般難度較大圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)名稱橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF|PM|，點F不在直線l上，PMl于M標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)圖形幾何性質(zhì)范圍|x|a，|y|b|x|ax0頂點(a,0)(0，b)(a,0)(0,0)對稱性關(guān)于x軸，y軸和原點對稱關(guān)于x軸對稱焦點(c,0)(，0)軸 長軸長2a，短軸長2b 實軸長2a，虛軸長2b離心率e(0e1)e(e1)e1準(zhǔn)線x漸近線yx熱點一圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例1若橢圓C：1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，且|PF2|4則F1PF2等于()A30 B60 C120 D150(2)已知拋物線x22py(p>0)的焦點與雙曲線x2y2的一個焦點重合，且在拋物線上有一動點P到x軸的距離為m，P到直線l：2xy40的距離為n，則mn的最小值為_思維啟迪(1)PF1F2中利用余弦定理求F1PF2；(2)根據(jù)拋物線定義得m|PF|1.再利用數(shù)形結(jié)合求最值答案(1)C(2)1解析(1)由題意得a3，c，所以|PF1|2.在F2PF1中，由余弦定理可得cosF2PF1.又因為cosF2PF1(0，180)，所以F2PF1120.(2)易知x22py(p>0)的焦點為F(0,1)，故p2，因此拋物線方程為x24y.根據(jù)拋物線的定義可知m|PF|1，設(shè)|PH|n(H為點P到直線l所作垂線的垂足)，因此mn|PF|1|PH|.易知當(dāng)F，P，H三點共線時mn最小，因此其最小值為|FH|111.思維升華(1)對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求|PF1|PF2|F1F2|，雙曲線的定義中要求|PF1|PF2|F1F2|，拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離相等的轉(zhuǎn)化(2)注意數(shù)形結(jié)合，畫出合理草圖(1)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1(2)如圖，過拋物線y22px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線l于點C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為()Ay29xBy26xCy23xDy2x答案(1)D(2)C解析(1)橢圓的離心率為，a2b.橢圓方程為x24y24b2.雙曲線x2y21的漸近線方程為xy0，漸近線xy0與橢圓x24y24b2在第一象限的交點為，由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為bb4，b25，a24b220.橢圓C的方程為1.(2)如圖，分別過A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由拋物線的定義知，|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，A1AF60.連接A1F，則A1AF為等邊三角形，過F作FF1AA1于F1，則F1為AA1的中點，設(shè)l交x軸于N，則|NF|A1F1|AA1|AF|，即p，拋物線方程為y23x，故選C.熱點二圓錐曲線的幾何性質(zhì)例2(1)已知離心率為e的雙曲線和離心率為的橢圓有相同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個公共點，若F1PF2，則e等于()A. B. C. D3(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1 (a>b>0)的左，右焦點，若在直線x上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.思維啟迪(1)在F1F2P中利用余弦定理列方程，然后利用定義和已知條件消元；(2)可設(shè)點P坐標(biāo)為(，y)，考察y存在的條件答案(1)C(2)D解析(1)設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，焦距為2c，|PF1|m，|PF2|n，且不妨設(shè)m>n，由mn2a1，mn2a2得ma1a2，na1a2.又F1PF2，4c2m2n2mna3a，4，即4，解得e，故選C.(2)設(shè)P，線段F1P的中點Q的坐標(biāo)為，當(dāng)存在時，則，由1，得y2，y20，但注意到b22c20，即2c2b2>0，即3c2a2>0，即e2>，故<e<1.當(dāng)不存在時，b22c20，y0，此時F2為中點，即c2c，得e，綜上，得e<1，即所求的橢圓離心率的取值范圍是.思維升華解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點為F，以O(shè)F為直徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點的兩點A、B，若()0，則雙曲線的離心率e為()A2 B3 C. D.(2)(xx課標(biāo)全國)已知F為雙曲線C：x2my23m(m>0)的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為()A. B3 C.m D3m答案(1)C(2)A解析(1)設(shè)OF的中點為C，則2，由題意得，20，ACOF，AOAF，又OAF90，AOF45，即雙曲線的漸近線的傾斜角為45，tan 451，則雙曲線的離心率e ，故選C.(2)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(m>0)，其漸近線方程為y xx，即yx，不妨選取右焦點F(，0)到其中一條漸近線xy0的距離求解，得d.故選A.熱點三直線與圓錐曲線例3過橢圓1(a>b>0)的左頂點A作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點為B，與y軸的交點為C，已知.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)動直線ykxm與橢圓有且只有一個公共點P，且與直線x4相交于點Q，若x軸上存在一定點M(1,0)，使得PMQM，求橢圓的方程思維啟迪(1)根據(jù)和點B在橢圓上列關(guān)于a、b的方程；(2)聯(lián)立直線ykxm與橢圓方程，利用0，0求解解(1)A(a,0)，設(shè)直線方程為y2(xa)，B(x1，y1)，令x0，則y2a，C(0,2a)，(x1a，y1)，(x1,2ay1)，x1a(x1)，y1(2ay1)，整理得x1a，y1a，點B在橢圓上，()2()21，即1e2，e.(2)，可設(shè)b23t，a24t，橢圓的方程為3x24y212t0，由，得(34k2)x28kmx4m212t0，動直線ykxm與橢圓有且只有一個公共點P，0，即64k2m24(34k2)(4m212t)0，整理得m23t4k2t，設(shè)P(x1，y1)則有x1，y1kx1m，P(，)，又M(1,0)，Q(4,4km)，x軸上存在一定點M(1,0)，使得PMQM，(1，)(3，(4km)0恒成立，整理得34k2m2.34k23t4k2t恒成立，故t1.橢圓的方程為1.思維升華待定系數(shù)法是求圓錐曲線方程的基本方法；解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，解方程組或利用弦長公式等簡化計算；涉及中點弦問題時，也可用“點差法”求解在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點P到兩點(，0)，(，0)的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為曲線C，直線l過點E(1,0)且與曲線C交于A，B兩點(1)求曲線C的軌跡方程；(2)求AOB面積的最大值解(1)由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以(，0)，(，0)為焦點，長半軸長為2的橢圓，故曲線C的方程為y21.(2)因為直線l過點E(1,0)，可設(shè)直線l的方程為xmy1或y0(舍)，則整理得(m24)y22my30.由(2m)212(m24)>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)解得y1，y2.則|y2y1|.因為SAOB|OE|y2y1|.設(shè)g(t)t，t，t.則g(t)在區(qū)間，)上為增函數(shù)，所以g(t).所以SAOB，當(dāng)且僅當(dāng)m0時取等號所以SAOB的最大值為.1對涉及圓錐曲線上點到焦點距離或焦點弦的問題，恰當(dāng)選用定義解題，會效果明顯，定義中的定值是標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)2橢圓、雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為Ax2By21，其中A、B是不等的常數(shù)，A>B>0時，表示焦點在y軸上的橢圓；B>A>0時，表示焦點在x軸上的橢圓；AB<0時表示雙曲線3求雙曲線、橢圓的離心率的方法：(1)直接求出a，c，計算e；(2)根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系，然后把b用a，c代換，求.4通徑：過雙曲線、橢圓、拋物線的焦點垂直于對稱軸的弦稱為通徑，雙曲線、橢圓的通徑長為，過橢圓焦點的弦中通徑最短；拋物線通徑長是2p，過拋物線焦點的弦中通徑最短橢圓上點到焦點的最長距離為ac，最短距離為ac.5拋物線焦點弦性質(zhì)：已知AB是拋物線y22px(p>0)的焦點弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2；(2)|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)；(3)SAOB；(4)為定值；(5)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切真題感悟1(xx廣東)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)，離心率等于，則C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由題意知：c3，e，a2.b2c2a2945，故所求雙曲線方程為1.2(xx遼寧)已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為()A. B.C. D.答案D解析拋物線y22px的準(zhǔn)線為直線x，而點A(2,3)在準(zhǔn)線上，所以2，即p4，從而C：y28x，焦點為F(2,0)設(shè)切線方程為y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.因為切點在第一象限，所以k.將k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以點B的坐標(biāo)為(8,8)，所以直線BF的斜率為.押題精練1已知拋物線y22px的焦點F與雙曲線1的右焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為K，點A在拋物線上且|AK|AF|，則AFK的面積為()A4 B8C16 D32答案D解析F(，0)，雙曲線1的右焦點為(4,0)，4，p8，拋物線方程為y216x，K(4,0)，設(shè)A(x，y)，|AK|AF|(x4)2y22(x4)22y2，解得x2y224x160，與y216x聯(lián)立，解得x4，y8，AFK的面積為32.2設(shè)橢圓1(a>b>0)的左、右頂點分別為A、B，點P在橢圓上且異于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點(1)若直線AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率；(2)若|AP|OA|，證明：直線OP的斜率k滿足|k|>.(1)解設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，y00.由題意，有1.由A(a,0)，B(a,0)，得kAP，kBP.由kAP kBP，可得xa22y，代入并整理得(a22b2)y0.由于y00，故a22b2.于是e2，所以橢圓的離心率e.(2)證明方法一依題意，直線OP的方程為ykx，設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)由條件得消去y0并整理，得x，由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00.而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k224.又a>b>0，故(1k2)2>4k24，即k21>4，因此k2>3，所以|k|>.方法二依題意，直線OP的方程為ykx，可設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，kx0)由點P在橢圓上，有1.因為a>b>0，kx00，所以<1，即(1k2)x<a2.由|AP|OA|及A(a,0)，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00，于是x0.代入，得(1k2)<a2，解得k2>3，所以|k|>.(推薦時間：60分鐘)一、選擇題1已知橢圓1(0<b<2)，左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|AF2|的最大值為5，則b的值是()A1 B. C. D.答案D解析由橢圓的方程，可知長半軸長a2；由橢圓的定義，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由橢圓的性質(zhì)，可知過橢圓焦點的弦中，通徑最短，即3，可求得b23，即b.2已知雙曲線1(a>0，b>0)以及雙曲線1的漸近線將第一象限三等分，則雙曲線1的離心率為()A2或 B.或C2或 D.或答案A解析由題意，可知雙曲線1的漸近線的傾斜角為30或60，則或.則e 或2.故選A.3已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是yx，它的一個焦點在拋物線y224x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是yx，可設(shè)雙曲線的方程為x2(>0)因為雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點在拋物線y224x的準(zhǔn)線上，所以F(6,0)是雙曲線的左焦點，即336，9，所以雙曲線的方程為1.故選B.4已知橢圓1 (a>b>0)，A(4,0)為長軸的一個端點，弦BC過橢圓的中心O，且0，|2|，則其焦距為()A. B.C. D.答案C解析由題意，可知|，且a4，又|2|，所以，|2|.故|.又0，所以.故OAC為等腰直角三角形，|2.不妨設(shè)點C在第一象限，則點C的坐標(biāo)為(2,2)，代入橢圓的方程，得1，解得b2.所以c2a2b242，c.故其焦距為2c.5設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則OAB的面積為()A. B. C. D.答案D解析由已知得焦點坐標(biāo)為F(，0)，因此直線AB的方程為y(x)，即4x4y30.方法一聯(lián)立拋物線方程，化簡得4y212y90，則yA，B，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.方法二聯(lián)立方程得x2x0，則xA，xB，故xAxB.根據(jù)拋物線的定義有|AB|xAxBp12，同時原點到直線AB的距離為h，因此SOAB|AB|h.6橢圓M：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點，且12的最大值的取值范圍是c2,3c2，其中c，則橢圓M的離心率e的取值范圍是()A， B，C(，1) D，1)答案B解析設(shè)P(x，y)，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，則(cx，y)，(cx，y)，x2y2c2.又x2y2可看作P(x，y)到原點的距離的平方，所以(x2y2)maxa2，所以()maxb2，所以c2b2a2c23c2，即e2，所以e.故選B.二、填空題7.已知雙曲線C的焦點、實軸端點恰好是橢圓1的長軸端點、焦點，則雙曲線C的漸近線方程是_答案4x3y0解析橢圓1的長軸端點為(5,0)、焦點為(3,0)，所以雙曲線的焦點為(5,0)，實軸端點為(3,0)，設(shè)雙曲線的方程為1，即c5，a3，b4，所以漸近線方程為：yx，即4x3y0.8已知點P(0,2)，拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，線段PF與拋物線C的交點為M，過M作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，若PQF90，則p_.答案解析由拋物線的定義可得|MQ|MF|，F(xiàn)(，0)，又PQQF，故M為線段PF的中點，所以M(，1)，把M(，1)，代入拋物線y22px(p>0)得，12p，解得p，故答案為.9拋物線C的頂點在原點，焦點F與雙曲線1的右焦點重合，過點P(2,0)且斜率為1的直線l與拋物線C交于A，B兩點，則弦AB的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離為_答案11解析因為雙曲線1的右焦點坐標(biāo)是(3,0)所以3，所以p6.即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y212x.設(shè)過點P(2,0)且斜率為1的直線l的方程為yx2，聯(lián)立y212x消去y可得x216x40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1,282，則x1x216，所以弦AB的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離為11.故填11.10已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的左，右焦點，點P在雙曲線上且不與頂點重合，過F2作F1PF2的角平分線的垂線，垂足為A.若|OA| b，則該雙曲線的離心率為_答案解析延長F2A交PF1于B點，則|PB|PF2|，依題意可得|BF1|PF1|PF2|2a.又因為點A是BF2的中點所以得到|OA|BF1|，所以ba.所以ca.所以離心率為.三、解答題11已知曲線C上的動點P(x，y)滿足到定點A(1,0)的距離與到定點B(1,0)的距離之比為.(1)求曲線C的方程；(2)過點M(1,2)的直線l與曲線C交于兩點M、N，若|MN|4，求直線l的方程解(1)由題意得|PA|PB|故化簡得：x2y26x10(或(x3)2y28)即為所求(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x1.將x1代入方程x2y26x10得y2，所以|MN|4，滿足題意當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為ykxk2，由圓心到直線的距離d2，解得k0，此時直線l的方程為y2.綜上所述，滿足題意的直線l的方程為x1或y2.12如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(a，b)(a>b>0)為動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓1的左，右焦點已知F1PF2為等腰三角形(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF2上的動點，滿足2，求點M的軌跡方程解(1)設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)，由題意，可得|PF2|F1F2|，即2c，整理得2()210，得1(舍)或，所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得橢圓方程為3x24y212c2.直線PF2的方程為y(xc)所以A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得5x28cx0，解得x10，x2c，得方程組的解不妨設(shè)A(c，c)，B(0，c)，M的坐標(biāo)為(x，y)，則(xc，yc)，(x，yc)，由y(xc)，得cxy，于是(yx，yx)，(x，x)，由2，得(yx)x(yx)x2，化簡得18x216xy150，將y代入cxy，得c，由c>0，得x>0.因此，點M的軌跡方程是18x216xy150(x>0)13(xx北京)已知A，B，C是橢圓W：y21上的三個點，O是坐標(biāo)原點(1)當(dāng)點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；(2)當(dāng)點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由解(1)由橢圓W：y21，知B(2,0)線段OB的垂直平分線x1.在菱形OABC中，ACOB，將x1代入y21，得y.|AC|yAyC|.菱形的面積S|OB|AC|2.(2)假設(shè)四邊形OABC為菱形點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，可設(shè)AC的方程為ykxm(k0，m0)由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則，km.線段AC中點M，M為AC和OB交點，kOB.又k1，AC與OB不垂直O(jiān)ABC不是菱形，這與假設(shè)矛盾綜上，四邊形OABC不是菱形