2019年高中數(shù)學(xué) 2.1.3 分層抽樣學(xué)案 新人教A版必修3.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 2.1.3 分層抽樣學(xué)案 新人教A版必修3 【明目標(biāo)、知重點(diǎn)】 1．理解分層抽樣的概念． 2．會(huì)用分層抽樣從總體中抽取樣本． 3．了解三種抽樣法的聯(lián)系和區(qū)別． 【填要點(diǎn)、記疑點(diǎn)】 1．分層抽樣的概念 在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣． 2．分層抽樣的適用條件 分層抽樣盡量利用事先所掌握的各種信息，并充分考慮保持樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，這對提高樣本的代表性非常重要．當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣的方法． 【探要點(diǎn)、究所然】 [情境導(dǎo)學(xué)]　中國共產(chǎn)黨第十八次代表大會(huì)2 270名代表是從40個(gè)單位中產(chǎn)生的，這40個(gè)單位分別是1─31為省(自治區(qū)、直轄市)、32中央直屬機(jī)關(guān)、33中央國家機(jī)關(guān)、34全國臺(tái)聯(lián)、35解放軍、36武警部隊(duì)、37中央金融系統(tǒng)、38中央企業(yè)系統(tǒng)、39中央香港工委、40中央澳門工委．代表的選舉原則上是按各選舉單位的黨組織數(shù)、黨員人數(shù)進(jìn)行分配的．這種產(chǎn)生代表的方法與我們今天要學(xué)的分層抽樣很相似． 探究點(diǎn)一　分層抽樣的基本思想 問題　某地區(qū)有高中生2 400人，初中生10 900人，小學(xué)生11 000人．當(dāng)?shù)亟逃块T為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視率及其形成原因，要從本地區(qū)的中小學(xué)生抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)怎樣抽取樣本？ 思考1　為方便抽樣，能否從小學(xué)生或初中生或高中生中抽取中小學(xué)生總數(shù)的1%？為什么？ 答　不能，因?yàn)椴煌挲g階段的學(xué)生的近視情況可能存在明顯差異，為了使樣本具有較好的代表性，應(yīng)該分高中、初中、小學(xué)三個(gè)層次分別抽樣． 思考2　在高中，初中和小學(xué)三部分學(xué)生中都按1%的比例抽取，那么各抽取多少人？ 答　高中生中抽取2 4001%＝24(人)，初中生中抽取10 9001%＝109(人)，小學(xué)生中 抽取11 0001%＝110(人)． 思考3　在三類學(xué)生中具體抽取樣本時(shí)，可以用哪種抽樣方法進(jìn)行抽樣？ 答　由于樣本總體較大，可以用系統(tǒng)抽樣． 思考4　上述抽樣方法保證了抽樣的公平性，并且樣本具有較好的代表性，從而是一種科學(xué)、合理的抽樣方法，這種抽樣方法稱為分層抽樣．你能歸納出分層抽樣的概念嗎？ 答　一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣的方法叫分層抽樣． 思考5　適合用分層抽樣的方法抽取樣本的問題有什么特點(diǎn)？ 答　總體由差異明顯的幾部分組成，這樣的問題適合用分層抽樣． 例1　某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動(dòng)物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測．若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．4 B．5 C．6 D．7 答案　C 解析　抽樣比為＝，則抽取的植物油類種數(shù)是10＝2，則抽取的果蔬類食品種數(shù)是20＝4，所以抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是2＋4＝6. 反思與感悟　如果A、B、C三層含有的個(gè)體數(shù)目分別是x、y、z，在A、B、C三層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)目分別是m、n、p，那么有x∶y∶z＝m∶n∶p. 跟蹤訓(xùn)練1　某校有學(xué)生2 000人，其中高三學(xué)生500人．為了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，采用按年級分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取一個(gè)200人的樣本，則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為________． 答案　 50 解析　抽樣比為＝，樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為500＝50. 探究點(diǎn)二　分層抽樣的一般步驟 問題　某單位有職工500人，其中35歲以下的有125人，35歲～49歲的有280人，50歲以上的有95人．為了調(diào)查職工的身體狀況，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本，如何進(jìn)行抽?。? 思考1　該項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用哪種抽樣方法進(jìn)行？不同年齡段的職工中，按什么比例抽取人數(shù)？三個(gè)年齡層次的職工分別抽取多少人？ 答　分層抽樣．都按5∶1，即每5人中抽取一人． 35歲以下：125＝25(人)，35歲～49歲：280＝56(人)，50歲以上：95＝19(人)． 思考2　在分層抽樣中，如果總體的個(gè)體數(shù)為N，樣本容量為n，第i層的個(gè)體數(shù)為k，則在第i層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)如何算？ 答　由于抽取比例為，所以第i層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)為k. 思考3　在各年齡段具體如何抽樣？怎樣獲得所需樣本？ 答　用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取相應(yīng)數(shù)量的個(gè)體；將各層抽取的個(gè)體合在一起，就得到所取樣本． 思考4　一般地，分層抽樣的操作步驟如何？ 答　第一步，按某種特征將總體分成若干部分(層)； 第二步，計(jì)算樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比； 第三步，依據(jù)抽樣比在各層分別按簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本； 第四步，綜合每層抽樣，組成樣本． 思考5　樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比是分層抽樣的比例常數(shù)，按這個(gè)比例可以確定各層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)，如果各層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)不都是整數(shù)該如何處理？ 答　如果不能調(diào)整樣本容量，可以剔除不是整數(shù)層中的個(gè)體，剔除個(gè)體時(shí)一般使用簡單隨機(jī)抽樣法抽取被剔除的個(gè)體，目的是為了保證每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等． 例2　寫出“問題”中的解題步驟． 解　(1)按年齡將150名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲以上的職工． (2)確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)．抽樣比為＝，則在不到35歲的職工中抽取125＝25(人)；在35歲至49歲的職工中抽取280＝56(人)；在50歲以上的職工中抽取95＝19(人)． (3)在各層分別按抽簽法或隨機(jī)數(shù)法抽取樣本． (4)綜合每層抽樣，組成容量為100的樣本． 反思與感悟　如果總體中的個(gè)體有差異，那么就用分層抽樣抽取樣本．用分層抽樣抽取樣本時(shí)，要把性質(zhì)、結(jié)構(gòu)相同的個(gè)體組成一層． 跟蹤訓(xùn)練2　某市的3個(gè)區(qū)共有高中學(xué)生20 000人，且3個(gè)區(qū)的高中學(xué)生人數(shù)之比為2∶3∶5，現(xiàn)要從所有學(xué)生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，調(diào)查該市高中學(xué)生的視力情況，試寫出抽樣過程． 解　(1)由于該市高中學(xué)生的視力有差異，按3個(gè)區(qū)分成三層，用分層抽樣來抽取樣本． (2)確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)，在3個(gè)區(qū)分別抽取的學(xué)生人數(shù)之比也是2∶3∶5，所以抽取的學(xué)生人數(shù)分別是200＝40；200＝60；200＝100. (3)在各層分別按系統(tǒng)抽樣法抽取樣本． (4)綜合每層抽樣，組成容量為200的樣本． 探究點(diǎn)三　三種抽樣方法的比較 思考　簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣既有其共性，又有其個(gè)性，根據(jù)下表，你能對三種抽樣方法作一個(gè)比較嗎？ 方法類別 共同特點(diǎn) 抽樣特征 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨機(jī)抽樣 系統(tǒng)抽樣 分層抽樣 答　 方法類別 共同特點(diǎn) 抽樣特征 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨機(jī)抽樣 抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等 從總體中逐個(gè)不放回抽取 簡單隨機(jī)抽樣是基礎(chǔ) 總體中的個(gè)體數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體分成均衡幾部分，按規(guī)則關(guān)聯(lián)抽取 用簡單隨機(jī)抽樣抽取起始號碼 總體中的個(gè)體數(shù)較多 分層抽樣 將總體分成幾層，按比例分層抽取 用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣對各層抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 例3　某高級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號1,2，…，270，并將整個(gè)編號依次分為10段．如果抽得號碼有下列四種情況： ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254； ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是 (　　) A．②③都不能為系統(tǒng)抽樣 B．②④都不能為分層抽樣 C．①④都可能為系統(tǒng)抽樣 D．①③都可能為分層抽樣 答案　D 解析　如果按分層抽樣時(shí)，在一年級抽取108＝4(人)，在二、三年級各抽取81＝3(人)，則在號碼段1,2，…，108抽取4個(gè)號碼，在號碼段109,110，…，189抽取3個(gè)號碼，在號碼段190,191，…，270抽取3個(gè)號碼，①②③符合，所以①②③可能是分層抽樣，④不符合，所以④不可能是分層抽樣；如果按系統(tǒng)抽樣時(shí)，抽取出的號碼應(yīng)該是“等距”的，①③符合，②④不符合，所以①③都可能為系統(tǒng)抽樣，②④都不能為系統(tǒng)抽樣． 反思與感悟　根據(jù)樣本的號碼判斷抽樣方法時(shí)，要緊扣三類抽樣方法的特征．利用簡單隨機(jī)抽樣抽取的樣本號碼沒有規(guī)律性；利用分層抽樣抽取的樣本號碼有規(guī)律性，即在每一層抽取的號碼個(gè)數(shù)m等于該層所含個(gè)體數(shù)目與抽樣比的積，并且應(yīng)該恰有m個(gè)號碼在該層的號碼段內(nèi)；利用系統(tǒng)抽樣取出的樣本號碼也有規(guī)律性，其號碼按從小到大的順序排列，則所抽取的號碼是：l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k.其中，l為第一個(gè)樣本號碼(l≤k)，n為樣本容量(n＝1,2,3，…)，l是第一組中的號碼，k為分段間隔＝總體容量/樣本容量． 跟蹤訓(xùn)練3　一個(gè)總體中的80個(gè)個(gè)體編號為0,1,2，…，79，并依次將其分為8個(gè)組，組號為0,1，…，7，要用下述抽樣方法抽取一個(gè)容量為8的樣本：即在第0組先隨機(jī)抽取一個(gè)號碼i，則第k組抽取的號碼為10k＋j，其中j＝，若先在0組抽取的號碼為6，則所抽到的8個(gè)號碼依次為________________． 答案　6,17,28,39,40,51,62,73 解析　因?yàn)閕＝6，∴第1組抽取號碼為101＋(6＋1)＝17，第2組抽取號碼為102＋(6＋2)＝28，第3組抽取號碼為103＋(6＋3)＝39，第4組抽取號碼為104＋(6＋4－10)＝40，第5組抽取號碼為105＋(6＋5－10)＝51，第6組抽取號碼為106＋(6＋6－10)＝62，第7組抽取號碼為107＋(6＋7－10)＝73. 【當(dāng)堂測、查疑缺】 1．為了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是 (　　) A．簡單的隨機(jī)抽樣 B．按性別分層抽樣 C．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣 答案　C 解析　結(jié)合三種抽樣的特點(diǎn)及抽樣要求求解．由于三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況差別較大，故需按學(xué)段分層抽樣． 2．某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本．若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為 (　　) A．7 B．15 C．25 D．35 答案　B 解析　青年職工、中年職工、老年職工三層之比為7∶5∶3，所以樣本容量為7＝15. 3．簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三者的共同特點(diǎn)是 (　　) A．將總體分成幾部分，按預(yù)先設(shè)定的規(guī)則在各部分抽取 B．抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等 C．將總體分成幾層，然后分層按照比例抽取 D．沒有共同點(diǎn) 答案　B 4．一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人，若用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為21的樣本，則抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為________． 答案　12 解析　設(shè)抽取男運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為n，則＝，解之得n＝12. 【呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律】 1．用分層抽樣從個(gè)體為N的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本時(shí)，在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等． 2．分層抽樣是建立在簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣基礎(chǔ)上的，由于它充分利用了已知信息，考慮了保持樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，因此它獲取的樣本更具代表性，在實(shí)用中更為廣泛． 3．簡單隨機(jī)抽樣是基礎(chǔ)，系統(tǒng)抽樣與分層抽樣是補(bǔ)充和發(fā)展，三者相輔相成，對立統(tǒng)一．