·全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

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1、中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會 “《數(shù)學(xué)周報》杯”2010年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案 一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分） 1．若，則的值為（ ）． （A） （B） （C） （D） 解： 由題設(shè)得． 2．若實數(shù)a，b滿足，則a的取值范圍是 （ ）． （A）a≤ （B）a≥4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4 解．C 因為b是實數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程 的判別式 ≥0,解得a≤或 a

2、≥4． 3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135，∠C＝120，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長為（ ）． （A） （B） （第3題） （C） （D） 解：D 如圖，過點A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)． 由已知可得 （第3題） BE=AE=，CF＝，DF＝2， 于是 EF＝4＋． 過點A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得 AD＝． 4．在一列數(shù)……中，已知，且當k≥2時， （取整符號表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（ ）． (A) 1 (B) 2

3、 (C) 3 (D) 4 解：B 由和可得 ，，，， ，，，， …… 因為2010=4502+2，所以=2． 5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點坐標分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點P（0，2）繞點A旋轉(zhuǎn)180得點P1，點P1繞點B旋轉(zhuǎn)180得點P2，點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180得點P3，點P3繞點D旋轉(zhuǎn)180得點P4，……，重復(fù)操作依次得到點P1，P2，…， 則點P2010的坐標是（ ）． （第5題） （A）（2010，2） （B）（2

4、010，） （C）（2012，） （D）（0，2） 解：B由已知可以得到，點，的坐標分別為（2，0），（2，）． 記，其中． 根據(jù)對稱關(guān)系，依次可以求得： ，，，． 令，同樣可以求得，點的坐標為（），即（）， 由于2010=4502+2，所以點的坐標為（2010，）． 二、填空題 6．已知a＝－1，則2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ． 解：0 由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是 2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0． 7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一

5、條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝ ． 解：15 設(shè)在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得 ， ① ， ② ． ③ 由①②，得，所以，x=30． 故 （分）． （第8題 8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，

6、多邊形OABCDE的頂點坐標分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經(jīng)過點M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達式是 ． （第8題） 解： 如圖，延長BC交x軸于點F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點N． 由已知得點M（2，3）是OB，AF的中點，即點M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因為點N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以， 過點N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分． 于

7、是，直線即為所求的直線． 設(shè)直線的函數(shù)表達式為，則 解得 ,故所求直線的函數(shù)表達式為． （第9題） 9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點F，C，過點C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則 ． 解： 見題圖，設(shè)． 因為Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 ． 又因為 FC＝DC＝AB，所以 即 ， 解得，或（舍去）． 又Rt△∽Rt△，所以， 即=． 10．對于i=2，3，…，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．若的最小值滿足，則正整數(shù)的最小值為

8、 ． 解： 因為為的倍數(shù)，所以的最小值滿足 ， 其中表示的最小公倍數(shù)． 由于 ， 因此滿足的正整數(shù)的最小值為． 三、解答題（共4題，每題20分，共80分） 11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF. 求證： （第12A題） ． （第12B題） （第11題） （第12B題） 證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D. 因為BE和CF都是直徑，所以 ED⊥BC， FD⊥BC， 因此D，E，F(xiàn)三點共線. ………

9、…（5分） 連接AE，AF，則 （第11題） ， 所以，△ABC∽△AEF. …………（10分） 作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得 ， 從而 ， 所以 . …………（20分） 12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，B. 已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標原點）. （1）求實數(shù)a，b，k的值； （2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求所

10、有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標. （第12題） 解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線上， 所以k=4. 故雙曲線的函數(shù)表達式為. 設(shè)點B（t，），，AB所在直線的函數(shù)表達式為，則有 解得，. 于是，直線AB與y軸的交點坐標為，故 ，整理得， 解得，或t＝（舍去）．所以點B的坐標為（，）． 因為點A，B都在拋物線（a0）上，所以 解得 …………（10分） （2）如圖，因為AC∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以. （第12題） 設(shè)拋物線（a0）與x軸負半軸相交于點D， 則點D的坐標為（，0）. 因為∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB

11、=. （i）將△繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到△.這時，點(，2)是CO的中點，點的坐標為（4，）. 延長到點，使得=，這時點（8，）是符合條件的點. （ii）作△關(guān)于x軸的對稱圖形△，得到點（1，）；延長到點，使得＝，這時點E２（2，）是符合條件的點． 所以，點的坐標是（8，），或（2，）. …………（20分） 13．求滿足的所有素數(shù)p和正整數(shù)m. ．解：由題設(shè)得， 所以，由于p是素數(shù)，故，或. ……（5分） （1）若，令，k是正整數(shù)，于是， ， 故，從而. 所以解得 …………（10分） （2）若

12、，令，k是正整數(shù). 當時，有， ， 故，從而，或2. 由于是奇數(shù)，所以，從而. 于是 這不可能. 當時，，；當，，無正整數(shù)解；當時，，無正整數(shù)解. 綜上所述，所求素數(shù)p=5，正整數(shù)m=9. …………（20分） 14．從1，2，…，2010這2010個正整數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和都能被33整除？ 解：首先，如下61個數(shù)：11，，，…，（即1991）滿足題設(shè)條件. …………（5分） 另一方面，設(shè)是從1，2，…，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對于這n個數(shù)中的任意4個數(shù)，因為 ， ， 所以 . 因此，所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù). …………（10分） 設(shè)，i=1，2，3，…，n. 由，得， 所以，，即≥11. …………（15分） ≤， 故≤60. 所以，n≤61. 綜上所述，n的最大值為61. …………（20分） 9