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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)8 數(shù)列的性質(zhì)和遞推公式 新人教版必修5
1.?dāng)?shù)列1,3,6,10,15,…的遞推公式是( )
A.a(chǎn)n+1=an+n,n∈N*
B.a(chǎn)n=an-1+n,n∈N*,n≥2
C.a(chǎn)n+1=an+(n+1),n∈N*,n≥2
D.a(chǎn)n=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2
答案 B
解析 逐項(xiàng)驗(yàn)證可知B選項(xiàng)合適.
2.已知數(shù)列{an}滿足a1>0,且an+1=an,則數(shù)列{an}是( )
A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列
C.常數(shù)列 D.?dāng)[動(dòng)數(shù)列
答案 B
解析 由a1>0,且an+1=an,
則an>0,又=<1,∴an+1
an+1
D.a(chǎn)n與an+1的大小關(guān)系和n有關(guān)
答案 B
解析 ∵an===1+,
∴an-an+1=-=.
當(dāng)c-1>0時(shí),an>an+1;當(dāng)c-1<0時(shí),an0,所以不對(duì),對(duì)于非零實(shí)數(shù)a應(yīng)討論a>0和a<0兩種情況.
∵an-an-1=-a()n(n≥2),
∴當(dāng)a>0時(shí),an-an-1<0.
∴an0,
∴an>an-1.∴{an}是遞增數(shù)列.
14.已知數(shù)列{an}:,-,,-, …
(1)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)計(jì)算a10,a15,a2n+1;
(3)證明:數(shù)列{|an|} 是遞增數(shù)列.
解析 (1)原數(shù)列變形為:,-,,-,…,分別考查數(shù)列的分子,分母與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系以及符號(hào)相間出現(xiàn),第一項(xiàng)為正,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1.
(2)當(dāng)n=10,則a10=-=-;
當(dāng)n=15時(shí),則a15=;將an中n換成2n+1時(shí),得a2n+1=.
(3)令bn=|an|(n∈N*),
則bn=|(-1)n+1|=.
∵bn+1-bn=-=>0.
∴bn+1>bn.即對(duì)一切正整數(shù)n,恒有|an+1|>|an|成立.因此數(shù)列{|an|}為遞增數(shù)列.
講評(píng) 本題求解時(shí),若與函數(shù)的定義,函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)聯(lián)系容易理解,an=f(n)即為函數(shù)的解析式;a10=f(10),即是函數(shù)在n=10的函數(shù)值;a2n+1=f(2n+1)即為函數(shù)代換,將函數(shù)中的變量n換成了2n+1;當(dāng)|an+1|>|an|時(shí),則數(shù)列在n∈N*時(shí)為遞增數(shù)列,這與函數(shù)單調(diào)遞增定義一樣,即對(duì)一切正整數(shù)n當(dāng)n+1>n,都有|an+1|>|an|,說明數(shù)列中每一項(xiàng)大于前一項(xiàng),即為遞增數(shù)列.
15.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,且an+1+2anan+1-an=0.
(1)寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng);
(2)由(1)寫出數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式;
(3)實(shí)數(shù)是否為這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)?若是,應(yīng)為第幾項(xiàng)?
解析 (1)∵a1=1,an+1+2anan+1-an=0,
∴a2+2a1a2-a1=0,解得a2=.
同理,可以解得a3=,a4=,a5=.
∴數(shù)列的前5項(xiàng)為1,,,,.
(2)由以上可得an=.
(3)令=,得n=50.即是這個(gè)數(shù)列的第50項(xiàng).
?重點(diǎn)班選作題
16.已知an=,則這個(gè)數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是( )
A.a(chǎn)1,a30 B.a(chǎn)1,a9
C.a(chǎn)10,a9 D.a(chǎn)10,a30
答案 C
17.根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,試猜測(cè)第n個(gè)圖中有多少個(gè)點(diǎn).
解析 圖(1)只有1個(gè)點(diǎn),無分支;圖(2)除中間1個(gè)點(diǎn)外,有兩個(gè)分支,每個(gè)分支有1個(gè)點(diǎn);圖(3)除中間1個(gè)點(diǎn)外,有三個(gè)分支,每個(gè)分支有2個(gè)點(diǎn);圖(4)除中間1個(gè)點(diǎn)外,有四個(gè)分支,每個(gè)分支有3個(gè)點(diǎn);…;猜測(cè)第n個(gè)圖中除中間一個(gè)點(diǎn)外,有n個(gè)分支,每個(gè)分支有(n-1)個(gè)點(diǎn),故第n個(gè)圖中個(gè)數(shù)為1+n(n-1)=n2-n+1.
設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列且(n+1)a-na+an+1an=0(n∈N*),求an.
解析 方法一 (累乘法)由(n+1)a-na+an+1an=0,得(an+1+an)(nan+1-nan+an+1)=0.
由于an+1+an>0,∴(n+1)an+1-nan=0.
∴=.
∴an=a1…
=1…=.
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